(共14张PPT)
第十六章 函数及其图象
数学活动 探索函数增减性的证明
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
05
课堂小结
06
作业布置
04
课堂练习
01
教学目标
理解并掌握用作差法证明函数增减性的基本原理和步骤；
01
能理解一次函数增减性的代数证明过程，并类比证明反比例函数的增减性；
体会从特殊到一般、从形到数的数学思想方法，培养逻辑推理能力。
02
03
02
新知导入
在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左向右下降。我们可以证明这一性质的正确性。
观看动画的函数图象变化，
得出你的结论
03
新知探究
我们知道，要比较两个数的大小，可以先求出它们的差。若，则；若，则；若，则。反之也正确。
根据这一事实，可以证明上述结论。
设一次函数，当自变量分别取，且时，对应的函数值分别为，。它们的差为
（=
03
新知探究
由假设可知，，这样，我们就得到如下结论：
(1)当时，，即，亦即。也就是说，随的增大而增大。
(2)当时，，即，亦即。也就是说，随的增大而减小。
这就是一次函数的增减性。
【思考】试用类似的方法证明反比例函数的增减性。
03
新知探究
设反比例函数（），在每一象限内取，则与同号，即。
由得，又，故。
（1）当时，，则，即随增大而减小。
（2）当时，，则，即随增大而增大。
04
课堂练习
1.已知一次函数y=kx+b的图象经过，两点，且当时，，则k的值为（ ）．
A． B．2 C． D．
解：由题意可得：，
∵一次函数y=kx+b的图象经过，两点
∴且∴
即2k= 1，∴ ，故选：C．
04
课堂练习
2. 若点，点，点都在一次函数y=-kx+10的图象上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
解∵点在一次函数的图象上，∴，解得：，
∴一次函数解析式为，∵，
∴随的增大而减小，又∵点，点都在一次函数的图象上，且2>-1，∴，故选：．
05
课堂小结
探索函数增减性的证明
k>0时y随x增大而增大
k<0时y随x增大而减小
一次函数
反比例函数
证明方法
k>0时在每个象限内y随x增大而减小
k<0时在每个象限内y随x增大而增大
作差法取，计算，化简后根据已知条件判断其正负
06
作业布置
1.在一次函数 的图像上任取不同两点，，则的正负情况是（ ）
A． B． C． D．
解：，随的增大而减小，
当时，， .
06
作业布置
2.新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是 ．
解：由题意知，一次函数的“特征值”为，∵，∴随x的增大而减小，∴当x=-2时，，∴一次函数的“特征值”为9．故答案为：9．
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分课时教学设计
《数学活动 探索函数增减性的证明》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是在学生已经学习了一次函数与反比例函数图象与性质的基础上，进一步从代数角度证明函数的增减性，并类比迁移到反比例函数的研究中。通过“作差法”这一核心方法，帮助学生建立从直观感知到逻辑论证的桥梁，为后续学习二次函数及其他函数的性质奠定基础。教材内容安排由浅入深，先以一次函数为例展示证明过程，再引导学生自主探究反比例函数，体现了数学学习中类比思想的重要性。
学习者分析 学生已经掌握了一次函数和反比例函数的图象特征，能够通过图象直观判断函数的增减性，但多数学生停留在“看图说话”层面，缺乏严格的代数证明意识。八年级学生具备一定的抽象思维能力和符号运算基础，但在处理含字母的代数式比较大小、分类讨论等方面仍需教师引导。部分学生对“在每一象限内”这一前提条件的理解可能存在困难，需要在教学中重点突破。
教学目标 1. 理解并掌握用作差法证明函数增减性的基本原理和步骤； 2. 能理解一次函数增减性的代数证明过程，并类比证明反比例函数的增减性； 3. 体会从特殊到一般、从形到数的数学思想方法，培养逻辑推理能力。
教学重点 用作差法证明一次函数和反比例函数的增减性。
教学难点 理解反比例函数增减性中“在每一象限内”这一前提条件的必要性。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 探索函数增减性的证明 在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小。它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左向右下降。我们可以证明这一性质的正确性。学生活动1： 学生回顾一次函数图象与k的关系，举手回答k的正负与图象升降的对应规律。活动意图说明：温故知新，通过回顾一次函数的图象特征，强化学生已有认知，为本节课从代数角度严格证明函数增减性做好知识准备。环节二：新知探究教师活动2： 我们知道，要比较两个数的大小，可以先求出它们的差。若，则；若，则；若，则。反之也正确。 根据这一事实，可以证明上述结论。 设一次函数，当自变量分别取，且时，对应的函数值分别为，。它们的差为 （= （本环节课件设置有Ai动画展示相应图象，可直观展示） 由假设可知，，这样，我们就得到如下结论： (1)当时，，即，亦即。也就是说，随的增大而增大。 (2)当时，，即，亦即。也就是说，随的增大而减小。 这就是一次函数的增减性。 【思考】试用类似的方法证明反比例函数的增减性。 设反比例函数（），在每一象限内取，则与同号，即。 由得，又，故。 （1）当时，，则，即随增大而减小。 （2）当时，，则，即随增大而增大。学生活动2： 学生思考，在教师讲解完一次函数的增减性后尝试独立完成反比例函数增减性的证明过程，小组内交流讨论。活动意图说明：通过类比一次函数的证明方法，引导学生自主探究反比例函数的增减性，培养学生的知识迁移能力和逻辑推理能力，小组合作交流有助于深化理解。
板书设计 1.证明一次函数的增减性 2.证明反比例函数的增减性
课堂练习 1.已知一次函数y=kx+b的图象经过，两点，且当时，，则k的值为（ ）． A． B．2 C． D． 解：由题意可得：， ∵一次函数y=kx+b的图象经过，两点 ∴且∴ 即2k= 1，∴ ，故选：C． 2. 若点，点，点都在一次函数y=-kx+10的图象上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 解∵点在一次函数的图象上，∴，解得：， ∴一次函数解析式为，∵， ∴随的增大而减小，又∵点，点都在一次函数的图象上，且2>-1，∴，故选：．
课堂总结
作业设计 1.在一次函数 的图像上任取不同两点，，则的正负情况是（ ） A． B． C． D． 解：，随的增大而减小，当时，， . 2.新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数的“特征值”是 ． 解：由题意知，一次函数的“特征值”为，∵，∴随x的增大而减小，∴当x=-2时，，∴一次函数的“特征值”为9．故答案为：9．
教学反思 本节课从学生熟悉的一次函数图象入手，自然过渡到代数证明，符合学生的认知规律。在反比例函数增减性的探究环节，多数学生能够模仿一次函数的证明思路进行推导，但对“在每一象限内”存在困惑，需要在后续练习中加强巩固。小组讨论环节效果较好，学生通过交流互相启发，对“分象限讨论”有了更深刻的理解。今后可考虑增加一些具体数值验证的环节，帮助学生更好地理解抽象证明过程。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 华东师大版 册、章 下册第16章
课标要求 1.理解函数的基本概念，能识别变量与常量，判断两个变量之间是否存在函数关系，并会求简单函数的自变量的取值范围；2.掌握函数的三种表示方法，理解其各自特点并能相互转化；3.熟练运用平面直角坐标系，能根据坐标描点、根据点的位置写出坐标，理解函数图象的概念；4.掌握一次函数的概念、图象和性质，能根据已知条件用待定系数法确定一次函数表达式，并能结合图象解释其实际意义，能用一次函数解决简单实际问题；5.掌握反比例函数的概念、图象和性质，理解比例系数k的几何意义，能根据实际问题确定反比例函数表达式，能用反比例函数解决简单实际问题；6.能画出简单函数的图象，并能从图象中获取信息，分析函数的增减性、变化趋势等性质；7.具备初步的函数应用能力，能建立简单实际问题的函数模型；8.通过阅读材料与数学活动，了解函数发展的文化背景，体会数形结合思想，初步接触函数性质的理性推理方法。
内容分析 函数这一章在初中数学里具有重要的连接作用，它为学生搭建起从认识变量到建立函数模型的完整思维框架。本章以函数概念为核心起点，从生活实例中抽象出变量间的对应关系，并借助平面直角坐标系实现函数关系的可视化表达，在此基础上，重点展开对一次函数和反比例函数两类基本模型的深入研究，系统学习它们的概念、图象特征、性质以及实际应用方法。整个单元都强调数形结合思想和函数建模能力的培养，既为后续函数学习奠定坚实基础，也引导学生学会用联系的数学观点理解和描述现实世界的变化规律。由于函数知识具有高度抽象性、数形结合紧密、与实际应用联系广泛等特点，学生理解起来往往存在困难，教师在教学中要注重从学生熟悉的情境出发，设计循序渐进的探究活动，让学生在具体到抽象的过渡中逐步建立起对函数概念的深刻理解。
学情分析 八年级学生在本章之前尚未系统学面直角坐标系和变量、常量的概念，虽然学生在生活中对“一个量随着另一个量变化”有过一些直观感受，比如气温随时间变化等，但还没有把这些经验转化为系统的数学概念。他们对用图形表示数量关系有一定兴趣，但还不熟悉如何在坐标系中描点、看图说话。同时，学生刚开始学习用数学语言描述变化规律，容易把函数关系和简单算式混淆，需要教师通过具体实例帮助他们理解“唯一对应”这一核心特征。教学中应当从学生熟悉的生活变化入手，逐步引导他们认识变量、建立坐标系、画出变化图形，最终形成对函数及其图象的整体认识。
单元目标 （一）教学目标1.经历从生活实例中抽象变量与函数概念的过程，理解函数是描述两个变量间单值对应关系的数学模型；2.通过建立平面直角坐标系和描点作图的活动，掌握函数图象的绘制方法，体会数形结合的思想方法；3.经历一次函数图象的绘制与观察过程，掌握一次函数的图象特征和性质，发展几何直观能力；4.通过待定系数法的学习与应用，掌握根据已知条件确定一次函数表达式的方法，体会方程与函数的联系；5.经历反比例函数图象的探究过程，理解反比例函数的图象特征及其性质，形成分类讨论的思维习惯；6.通过函数知识在实际问题中的综合应用，初步建立函数模型，发展数学建模能力和应用意识；7.在函数学习过程中，感受数学与现实生活的密切联系，养成严谨求实的科学态度。（二）教学重点、难点教学重点：函数概念的理解与建立，一次函数与反比例函数的图象特征及其基本性质的掌握，数形结合思想的初步运用。教学难点：从具体情境中抽象出函数关系并建立模型，理解函数图象与解析式之间的对应关系，综合运用函数知识解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数16.1变量与函数116.2函数的图象216.3一次函数416.4反比例函数216.5实践与探索1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务16.1变量与函数1.理解并掌握变量、常量、自变量、因变量和函数的基本概念，理解函数的本质；2.能准确识别两个变量之间是否存在函数关系，并能初步确定自变量与因变量；3.了解函数的三种表示方法，能结合具体实例说出其表示形式；4.通过分析实际问题，能根据问题情境列出简单的函数解析式，体会函数与生活的联系，发展从具体情境中抽象数学关系的能力。1.能区分具体问题中的常量、变量、自变量和因变量；2.能判断两个变量之间是否存在函数关系；3.能说出函数的三种表示方法；4.能根据简单情境列出函数解析式。任务1：分析生活实例，指出其中的变量与常量；任务2：判断给定的对应关系是否为函数关系；任务3：用解析式、列表两种方式表示同一个函数关系；任务4：根据实际问题列出函数式。16.2函数的图象1.认识并能画出平面直角坐标系，理解点的坐标意义；2.理解函数图象的概念，初步体会“数形结合”思想；3.能识别简单的函数图象，并会通过描点法画出简单函数的图象；4.能从函数图象中读取基本信息。1.能在坐标系中标出点的位置，或根据点的位置写出坐标；2.能说出函数图象是满足函数关系的点的集合的概念；3.能用描点法画出简单函数的图象；4.能根据图象，说出因变量随自变量的增减变化情况。任务1：在给定的坐标系中，能准确描出给的点，并写出已知点的坐标；任务2：判断给定的坐标系中的曲线是否能表示一个函数的图象；任务3：用描点法画出简单函数在给定范围内的图象；任务4：观察一个简单实际问题的函数图象，描述其上升、下降或保持不变的趋势。16.3一次函数1.理解一次函数和正比例函数的概念，能识别和判断；2.掌握一次函数的图象和性质；3.能用待定系数法求一次函数的表达式;4.能运用一次函数知识解决简单的实际问题。1.能根据解析式判断函数是否为一次函数或正比例函数;2.能画出一次函数的草图，并能根据k、b的符号说出图象经过的象限和增减性;3.能根据已知两点坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式;4.能根据实际问题建立一次函数模型，并进行简单计算或判断。任务1：对给定的函数关系式进行分类与辨析;任务2：分析与讨论一次函数中参数对图象的影响，并进行作图;任务3：根据已知点的坐标等信息，求解一次函数的解析式;任务4：建立一次函数模型来解决简单的应用问题。16.4反比例函数1.理解反比例函数的概念，能根据定义进行判断;2.会用描点法画反比例函数的图象，了解其图象特征;3.掌握反比例函数的主要性质（如增减性、象限分布）;4.能用反比例函数解决简单的实际问题。1.能准确识别反比例函数，并能说出其一般形式;2.能正确画出反比例函数的图象，并描述其形状特征;3.能根据k的符号，说出反比例函数的图象所在的象限及增减性;4.能利用反比例函数的关系式解决简单的几何或实际问题。任务1：辨析给定的函数关系式是否为反比例函数;任务2：通过描点法画出反比例函数的图象，并观察总结其特点;任务3：分析与讨论反比例函数中比例系数k对图象和性质的影响;任务4：运用反比例函数知识解决简单的应用问题。16.5实践与探索1.理解一次函数与一元一次方程（组）之间的联系，体会数形结合思想;2.能综合运用函数、方程知识分析并解决实际问题;3.提高从函数图象中获取信息，并进行数学分析和决策的能力。1.能从“数”与“形”两个角度，解释一次函数与一元一次方程（组）的关系;2.能利用函数图象法或解析法，解决涉及方程的简单综合问题;3.能建立合适的函数模型，对实际问题进行定量分析和解释。任务1：探究并讨论一次函数图象与x轴交点的横坐标和对应一元一次方程的解之间的关系;任务2：通过函数图象法求两条直线交点的坐标，并理解其与方程组解的关系;任务3：结合图象分析，解决实际问题。
《函数及其图象》单元教学设计
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