2026年湖南省湘潭市高一下学期第一次月考数学模拟卷01（人教A版）（试卷及参考答案）

2026年湖南省湘潭市高一下学期第一次月考模拟卷01
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5.考试范围：人教A版必修二第五-六单元。
6.难度：0.38
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列说法中说法正确的有（ ）
①零向量与任一向量平行；②若，则；③④；⑤若，则，，为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
A．①④ B．①②④ C．①②⑤ D．③⑥
2．已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（ ）
A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心
C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心
3．已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
4．在平面直角坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在平面直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．设向量绕点顺时针旋转得到向量，且，则向量（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
7．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，复数在复平面内对应的点的坐标为.若复数满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．5
8．已知分别是三个内角的对边，且，，若点为的费马点，则（）
（注：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角：当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.所求的点称为费马点）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设点是单位圆内接正六边形边上的动点，记，则（ ）
A．集合的子集个数为个
B．集合中元素的模的最大值为4
C．的取值范围为
D．集合中任意两个元素的数量积全都相加，它们的和为
10．向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点．对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题错误的是（ ）
A．点关于点O的对称点不一定为
B．A，B两点间的距离为
C．若向量平行于向量，则的值不一定为0
D．若线段的中点为C，则点C的广义坐标为
11．已知为复数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若是方程的两根，则
D．若，则
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共10分。
12．已知点为的内心，，则__________．
13．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的有_________.
①若，则 ②若，则
③ ④
14．已知复数满足，且，则_____．
四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．在平面直角坐标系中，点，，且．
(1)求向量与的夹角的余弦值用表示的函数（为坐标原点）；
(2)求的最小值．
16．布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题：
(1)若，求的大小及的值；
(2)已知的条件下，解下列两个问题：
①若，求的值；
②若，求S.
17．已知集合{（其中是虚数单位）}，定义：，.
(1)计算的值；
(2)记，若，且满足，求的最大值；
(3)若，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，.
18．如图所示，已知四边形是矩形，点和对应的复数分别为，，并且，求点和点分别对应的复数．
19．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，已知为虚数单位，对于，记为的共轭复数，我们有如下运算法则：①；②；③；④．
(1)设，求和；
(2)证明：；
(3)设集合，．已知为给定的复向量，对于任意的复向量，求的最小值；并求当取最小值时，对于任意的复向量，的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
2026年湖南省湘潭市高一下学期第一次月考模拟卷01
数学试题（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C B D C B BC ABC
题号 11
答案 AC
12．点为的内心，即为角平分线交点，如下图所示，的角平分线交于，
则，
，故，
，
，
，
．
故答案为：．
13． 如图，作，分别以为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，则
由可得 ，，且，
对于①，若，则，
解得（负值舍去），故，①错误；
对于②，若，则，于是，故②正确；
对于③，
由于，故，故，故③错误；
对于④，由于，
则
，
而，则，故，故④正确.
14．设，
则，
由可得，即，所以有，
于是，则有，即，
由可得，
即，，，
则
则有，
故答案为：4.
15．（1）因为，，
所以，．
所以，则
所以，．
（2）因为，令，，
因为在上单调递减，
所以在上单调递增，所以，
所以，即．
又因为，所以．
16．（1）
在中，，
所以，而为锐角，故，所以，
所以，而，故.
又，故，
在中，由正弦定理有，所以，
在中，由正弦定理有，所以，
所以，故.
（2）
因为，所以，即，
①，所以
在中，，
在中，，
在中，，
三式相加得
，
整理得：.
②又
又由①知，
所以，
故，
整理得：，
即，
所以，即，
所以.
17．（1）.
（2）设，
由，得，
所以
，
当，时等号成立，所以的最大值为4.
（3）由条件可知，
所以，设，
当时，和是单调递增函数，
则在上单调递增，
又，，
所以在上有唯一的零点，即在上有唯一的零点，
当时，是单调递增函数，
得，先增后减，且，
因此，即在上没有零点，
当时，是单调递增函数，
则，而，
因此，即在上没有零点，
综上，当时, 必存在唯一的零点，
当时，，
且得，
所以, 其中，
此时是单调递增函数，所以，
从而，
所以当时，.
18．由题意可知，向量可以看作向量的长度扩大为原来的倍，并绕点按顺时针方向旋转后得到．
因向量对应的复数为，
故向量对应的复数为．
因为，则点对应的复数为．
同理可得点对应的复数是．
19．（1）由，得.
则，
综上，，.
（2）由已知设，
则
，
，
所以
.
综上，得证.
（3）令，又，且，
则，
，当时取等号.
所以.
当取最小值时，，
.
设，
则，
综上，的最小值为，此时的值为0.
答案第1页，共2页
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