2025-2026学年重庆一中九年级（下）开学数学试卷(含部分答案)

2025-2026学年重庆一中九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中最小的数是（　　）
A. -1 B. -3 C. -π D. 0
2.下列常见的物理单位符号中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列调查适合抽样调查的是（　　）
A. 了解某品牌牛奶的蛋白质含量 B. 对搭乘飞机的旅客进行安检
C. 了解某小组10名学生的跳远成绩 D. 检查“神舟二十二号”零件质量
4.若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比是2：3，则它们对应高的比是（　　）
A. 3：2 B. 2：3 C. 4：9 D. 9：4
5.已知反比例函数，则下列各点在该反比例函数图象上的是（　　）
A. （-4，2） B. （4，-2） C. （2，-4） D. （-2，-4）
6.估计的值应在（　　）
A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间
7.如图，苯是组成结构最简单的芳香烃，可以合成一系列衍生物.如图是小洛用木棍摆成的苯及其衍生物的结构式，第1个图形需要9根木棍，第2个图形需要16根木棍，第3个图形需要23根木棍…按此规律，第10个图形需要的木棍的根数是（　　）
A. 54 B. 65 C. 70 D. 72
8.如图，⊙O是地球示意图，AB表示赤道，太阳光线l1∥l2，地平面l3与⊙O相切，某时刻，当地纬度∠1=47°，太阳直射纬度时∠2=23°，则太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）∠3的度数为（　　）
A. 21°
B. 23°
C. 20°
D. 26°
9.如图，四边形ABCD是正方形，点E是线段CD上一点，连接AE并延长至点F，连接AC、CF，连接BF分别交AC、CD于点H、G，若CE=CF，S△CEF=30，CF=10，则线段EG的长度为（　　）
A.
B. 4
C.
D.
10.已知整式，其中n为正整数，an，an-1，…，a0为整数且均不为0，从an-1，an-2 ，a0这n个数中，任意选择k（1≤k≤n）个数作变换，将选中的数ai（0≤i≤n-1）变换成ai+1-ai，其余各数保持不变，这样得到的新多项式称为M的一个“替差式”.如：多项式M=5x2-2x-1，若选择a1，变换得到的“替差式”为5x2+7x-1，若选择a1，a0，变换得到的“替差式”为5x2+7x-1.
下列说法中，正确的个数是（　　）
①若M=4x2+2x+1，则M的“替差式”只有1个；
②当n=3时，不存在多项式M，使它所有的“替差式”之和的三次项为6x3；
③当n=4时，若M的所有“替差式”的和为15x4+10x3-13x2-28x+37，则a0 a1 a2 a3 a4=-120.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.= .
12.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 .
13.2025年中国建成全球最大碳纤维生产基地，实现了碳纤维国产化，碳纤维的价格由2250元/公斤经过连续两次降价后，价格为360元/公斤，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 .
14.不透明袋子中有3个红球，2个白球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为 .
15.如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C在⊙O上，点A为弧BAC的中点，DC交⊙O于点E，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接DF，若⊙O的直径为10，BC=8，则AB= ，DF= .
16.一个四位自然数（其中a,b,c,d为整数，且1≤a,b,c,d≤9），若满足a+d=b+c=12，则称这个四位数为“十二和数”.例如：四位数3579，因3+9=5+7=12，所以3579是“十二和数”.已知某个“十二和数”的十位数字为5，百位数字比千位数字小2，则这个“十二和数”是 ；一个“十二和数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新数N，记.若与均为整数，则满足条件的M的最大值与最小值的差为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
求不等式组：的所有整数解.
18.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，连接BD.
（1）尺规作图：在射线BC上截取BE=BD，作∠DBE的角平分线交边AD的延长线于点F，连接EF（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，求证：四边形DBEF是菱形.（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∴∠DFB=∠FBE，
∵BF平分∠DBE，
∴①______，
∴∠DBF=∠DFB，
∴②______，
∵BE=BD，
∴③______，
∵DF∥BE，
∴四边形DBEF是④______.
∵DB=BE，
∴四边形DBEF是菱形.
19.(本小题10分)
为了解九年级学生的体育水平，某校随机抽取了九年级男女学生各20名的体育模拟测试成绩（成绩满分为50分且为整数），进行整理、描述和分析（成绩均不低于30分，用x表示，共分五组：A.x=50；B.45≤x＜50；C.40≤x＜45；D.35≤x＜40；E.30≤x＜35），下面给出了部分信息：
男生体育模拟测试成绩在B组中的数据为：49、48、47、47、47、45.
女生体育模拟测试成绩在B组中的数据为：49、48、48、47、46、45.
体育模拟测试成绩分析表：
平均分 众数 中位数
男生 46.2 50 b
女生 45.2 a 46.5
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中m=______，a=______，b=______；
（2）根据以上数据，你认为该校九年级男生还是女生的体育成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校九年级有男生550人，女生500人，请估计该校九年级本次体育模拟测试成绩为满分的学生共有多少人？
20.(本小题10分)
先化简，再求值：（2x-1）2-x（4x-5）+，其中.
21.(本小题10分)
列方程解应用题：
“人形机器人”是当前的热门话题.某工厂同时生产A、B两款人形机器人，每月生产A款人形机器人的数量比每月生产B款人形机器人的数量多40台，2个月生产的A款人形机器人的数量与3个月生产的B款人形机器人的数量相同.
（1）求该厂每月生产的A、B两款人形机器人的数量分别是多少台？
（2）由于市场需求量增加，该厂对A、B两款人形机器人的生产线均进行了升级改造.改造后，A款人形机器人每月增产的数量是B款人形机器人每月增产数量的3倍.若生产1500台A款人形机器人与生产900台B款人形机器人所用的时间相同，求升级改造后每月可生产A款人形机器人多少台？
22.(本小题10分)
如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，动点E从点D出发，以每秒1个单位的速度沿D→A→B运动，同时动点F从点A出发，以每秒个单位的速度沿A→C运动.连接OE，设运动时间为x秒（0＜x＜10），若△AOE的面积为y1，△AOB的周长与点F运动的路程之比为y2.
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如图2，在给定的平面直角坐标系中画出y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当y1＞y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
23.(本小题10分)
如图，A、B、C、D是某海平面上的四个岛屿，其中B岛位于A岛的正北方向，D岛位于A岛的南偏东30°方向，C岛分别位于B岛的正东方向海里和D岛的东北方向30海里处.（参考数据：）
（1）求A岛和B岛之间的距离；（结果保留到小数点后一位）
（2）现有甲、乙两艘渔船分别从B岛、D岛同时出发匀速直线开往C岛，已知乙渔船的速度是甲渔船速度的倍，当两艘渔船行驶到相距10海里时，求甲渔船行驶的里程数.（结果保留根号）
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（-6，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥BC交AC于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，连接PQ、BQ，当PD取得最大值时，求点P的坐标及|PQ-BQ|的最大值；
（3）在（2）中PD取得最大值的条件下，将抛物线y=ax2+bx+3沿射线AC方向平移得到新抛物线y′，平移后点P恰好落在y轴上，点K是新抛物线y′上一动点，点H′是原抛物线顶点H的对应点，连接HH′，将线段HH′绕着点H′逆时针旋转90°得到线段H′H″，若∠HH″K=∠CAB+∠OCB，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程.
25.(本小题10分)
在△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上.
（1）如图1，∠C=45°，点E在线段CB的延长线上，连接AE和AD，过点D作DP⊥AC于点P，若AE=AD，∠DAE=45°，DP=3，求CE的长；
（2）如图2，∠C=30°，点E在线段CB的延长线上，连接AE和AD.点F在线段AE上，连接DF，G是线段DF的中点，H为线段CE延长线上一点，连接AH，GH，AG，若AE=AD=CD，∠EHA+∠GAD=60°，请用等式表示线段HG和AG的数量关系并证明；
（3）如图3，∠C=45°，AB=4，，点K是直线AC上的一个动点，将线段DK绕点D逆时针旋转45°到线段DK′，连接AK′，当AK′取得最小值时，连接BK′.M为直线AB上一动点，将△BK′M沿直线K′M翻折至与△ABC在同一平面内的△B′K′M，当CB′取得最大值时，请直接写出△BB′C的面积.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】2
12.【答案】8
13.【答案】60%
14.【答案】
15.【答案】4
2

16.【答案】9753
3087

17.【答案】0，1，2，3．
18.【答案】作图：
∠ DBF=∠EBF;DB=DF;BE=DF;平行四边形
19.【答案】30;50;47.5 男生的体育成绩更好，因为男生的平均数和中位数均比女生高，所以男生的体育成绩更好 370人
20.【答案】，--1．
21.【答案】该厂每月生产A款人形机器人120台，B款人形机器人80台 升级改造后每月可生产A款人形机器人150台
22.【答案】当0＜x≤5时，y1=×（5-x）=（5-x），当5＜x＜10时，y1=×（x-5）=（x-5），y2=，（0＜x＜10） 当0＜x≤5时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而减小； 6.8＜x＜10
23.【答案】约为8.9（海里） 甲渔船行驶的里程数为（20-10）海里
24.【答案】 P（-3，6），|PQ-BQ|有最大值 ∵将抛物线沿射线AC方向平移得到新抛物线y′，平移后点P恰好落在y轴上，且A（-6，0），C（0，3），P（-3，6），，
∴平移方式为将抛物线y=ax2+bx+3先向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到新抛物线y'，
∴，
∴，
如图，过H'的EF∥x轴，EH⊥EF于E，H'′F⊥EF于F，

∴∠HEH'=∠H'FH''=90°，
由旋转性质得∠HH'H''=90°，HH'=H'H''，
∴∠EHH'=∠FH'H''=90°-∠EH'H，∠HH''H'=45°，
∴△HEH'≌△H'FH''（AAS），
∴，FH''=EH'=3，
∴，
∵，，
∴，，证明见后面，tan45°=1），
∴∠CAB+∠OCB=45°，
∴∠HH''K=∠CAB+∠OCB=45°，
当K在直线HH''上方时，K与H'重合，则；当K在直线HH''下方时，∠H''H'K=∠HH'′H'+∠HH′'K=90°=∠HH'H''，则H′'K∥H′H∥AC，
设直线H''K的函数解析式为，则，则，
∴直线H''K的函数解析式为，
联立方程组，得，
解得（另一组解不符合题意，已舍去），
∴，
综上，满足条件的K的坐标为，．
注：证明，
如图，矩形ABCD中，AD=BC=1，AB=CD，AD∥BC，∠A=∠D=∠C=90°，

设∠CBE=β，∠FBE=α，∠BEF=90°，
则∠DEF=90°-∠CEB=∠CBE=β，∠AFB=∠CBF=α+β，
在Rt△CBE中，CE=BC tanβ=tanβ，，
在Rt△BEF中，，
在Rt△EDF中，DE=EF cosβ=tanα，DF=DE tanβ=tanαtanβ，
在Rt△ABF中，AF=AD-DF=1-tanαtanβ，AB=CD=tanα+tanβ，
∴
25.【答案】6+3 HG=AG
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