湖北黄石市2026届高三下学期3月模拟考试数学试题（含答案）

2026 年全市高三 (3 月) 模拟考试 数学试卷
全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 若复数 ( 为虚数单位),则 ( )
A. B. i
C. D.
3. 已知向量 ，则向量 与 夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4. 已知平面 ,两条不重合的直线 ,则“存在直线 ,使 ” 是 “ ” 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 某次考试有 10000 人参加,若他们的成绩近似服从正态分布 ,则分数在 100-120之间的考生约有( )(参考数据: 若 ,则有
A. 1360 人 B. 1570 人 C. 2720 人 D. 3410 人
6. 若实数 满足 ,则 的最小值是( )
A. 0 B. C. D.
7. 已知等比数列 的首项为 1,前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. 1 或 2 B. 1 或 4 C. 2 或 4 D. 4
8. 已知曲线 ,将 绕坐标原点逆时针旋转 后所得的曲线是某个函数的图像,则正实数 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，则下列命题正确的有( )
A. 函数 的图像关于点 对称
B. 函数 的最大值是 2
C. 若实数 使得方程 在 上恰好有三个实数解 ,则
D. 是函数 的单调递减区间
10. 如图,在正方体 中,记备面的对角线为它的面对角线, 为它的体对角线. 设 分别为 的中点，则()
A. 存在面对角线与平面 平行
B. 存在面对角线与平面 垂直
C. 存在体对角线与平面 平行
D. 存在体对角线与平面 垂直
11. 如图所示为杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列,第 行的第 个数可以表示为 . 在欧洲,这个表被认为是帕斯卡 (1623-1662) 首先发现的. 我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表, 这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究, 则下列命题正确的有 ( )
A. 第 2026 行共有 2026 个数
B. 从第 4 行起到第 19 行,每一行的第 4 个数字之和为
C. 第 48 行的所有数字之和被 7 除的余数为 1
D. 去除所有为 1 的项,依次构成数列 ,则此数列前 135 项的和为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若 ,满足 ,则 的取值范围是_____.
13. 已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径相等,高相等,侧面积相等,若圆锥的体积为 , 则圆柱的底面半径为_____.
14. 已知点 在 轴上,其既是椭圆 的焦点,也是双曲线 的焦点. 设椭圆 和双曲线 在第二象限的交点为 ,点 在第一象限的双曲线 上,且 ,若 为等轴双曲线,则椭圆 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 的对边分别 ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积.
16. 已知数列 满足 .
(1)设 ，证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)判断数列 的单调性.
17. 袋中有 5 个除了颜色外完全相同的小球, 其中有 1 个红球, 2 个黑球, 2 个白球. 现从中不放回地取球, 每次取一个球, 当三种颜色的球都有取到时停止, 记停止时取出的球的个数为随机变量 .
(1)求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率;
(2)求 的分布列和期望.
18. 设函数 为自然对数的底数.
(1)讨论 的单调性；
(2) 设 ,记 ,证明:
① ; (注: )
② .
19. 如图 1 所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为 ，截面与圆锥的轴线的夹角为 ,当 时,截线是圆; 当 时,截线是椭圆; 当 时, 截线是抛物线; 当 时,截线为双曲线. 如图 2 所示, 为圆锥的顶点, 为底面圆心, 为圆 的一条直径,且 为弧 的中点,点 满足 ,点 为线段 的中点;
图 1
图 2
(1)求直线 与平面 所成角的大小；
(2)平面 与圆锥 的截线记为曲线 ,在平面 内,以 所在的直线为 轴 (设以 的方向为 轴正方向),以线段 的中垂线为 轴 (设以 逆时针旋转 后的方向为 轴正方向),建立平面直角坐标系.
① 求出曲线 的标准方程；
② 设 为曲线 上两动点,若 的平分线与 轴垂直，求证:直线 的斜率是定值， 并求出这个定值.
1. C
2. D
3. A
4. B
5. A
6. C
7. B
8. D
9. BC
10. AD
11. BCD
12.
,
,解得 ,当且仅当 时取等号故答案为:
13.
14.
15.
(2)
(1)由 ，
得 ，
即 ,因为 ,
所以 ,
即 ,
故 (舍) 或 ,
由于 ,所以 .
(2) ，由 ，
得 ，又 ，
解得 (负值舍),故 ,
又 ，故 的面积为 .
16.( 1 )由 ，得:
,
故 ,即 ,
又 ,
故 是以 -1 为首项, 为公比的等比数列,且 .
(2)由 ，解得
即 ,故数列 为递增数列.
17.(1)记事件 “第二次取出的是黑球”，事件 “第三次取出的是红球”，事件 可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况，故
事件 “”第二次取出的是黑球,第三次取出的是红球“,可分为”第一次取出的是黑球“和” 第一次取出是白球"两种情况，
故 ,
故所求 .
(2)易知随机变量 可能的取值为3,4,5，
当 时,前三次分别取出 1 个红球、 1 个黑球和 1 个白球,
当 时,前四次分别取出 2 个黑球和 2 个白球,
当 时， ，
故随机变量 的分布列为:
3 4 5
2 5 2 5 1 5
期望为 .
18. (1) ,
易知 ,当且仅当 ,即 时取等号,
故当 时, ,此时 在 上单调递增;
当 时,令 ,
解得 ,易知 ,
当 或 时, ,当 时, ,
故此时 在 和 上单调递增在
上单调递减.
(2)由(1)知，当 时， 在 上单调递增， 故当 时, ,即有 .
① 令 ，则有 ，即 ，
可得 ,
由 ,
累加可得
② 令 ，则有 ，
即 ,化简得 ,
当 时
由
累加可得
即 .
即有 ,
当 时 ,
故有 .
19.(1)以 为原点，分别以 所在直线和正方向为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系,则 ,
故
设平面 的法向量为 ,
由 令 ,则
故
故直线 与平面 所成角的大小为 .
(2)①由(1)知，直线 与圆锥母线所成的角为 ，且 ，故曲线 为椭圆， 设该椭圆的方程为 ,故 ;
由( 1 )可得 ，设 与 的交点为 ，则
易得 ,即 ,且 ,
设 的中点为 ,易得 ,故 ,
故点 在平面 内的坐标为 ,
因为点 在曲线 上,故有
故曲线 的标准方程为 .
②易知直线 的斜率存在，设其方程为: ，
联立 得 ,
设点 ,由韦达定理与 点坐标,则 ,
的平分线与 轴垂直,故直线 与直线 的斜率互为相反数,
设直线 的方程为: ,
设点 ,同理可得 ,
故直线 的斜率为:
,为一个定值.