湖北黄冈市蕲春县第一高级中学2026届高三下学期数学周测试题（三）（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖北黄冈市蕲春县第一高级中学2026届高三下学期数学周测试题（三）（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 559.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-21 00:00:00 | ||
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文档简介
蕲春一中 2026 届高三数学周测(三)
一、单选题
1. 已知集合 ，若集合 ，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 设随机变量 ,则 ( )
A. 0.5 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.4
3. 甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用 5 局 3 胜制(先胜 3 局者胜，比赛结束)， 已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以 3:1 获胜的概率为( )
A. B. C. D.
4. 已知函数 的图象上存在关于 轴对称的点,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
5. 已知向量 满足 ， ，则 的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知圆锥底面半径 ，底面圆周上两点 、 满足 ，圆锥顶点到直线 的距离为 ，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
7. ,使得 恒成立,则整数 的最小值为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 已知函数 ,过点 可作出曲线 的三条切线,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知 ,下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则 中至少有一个为 0
C.
D. 若 ,则
10. 在一个有限样本空间中,假设 ,且 与 相互独立, 与 互斥, 则( )
A.
B.
C.
D. 若 ,则 与 互斥
11. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 的准线上，过 且斜率为 的直线交 于 ， 两点，则( )
A.
B.
C.
D. 当 时,
三、填空题
12. 设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 _____.
13. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ,过右焦点 且倾斜角为 的直线交椭圆于 两点,满足 ,则椭圆 的离心率 _____.
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 在 的右支上 (不含顶点),
设 的内切圆圆心为 ，则 _____， 的最小值为_____.
四、解答题
15. 已知 分别为 的内角 所对的边， 且 . (1)求 ；
(2)已知 是边 的中点，求 的最大值.
16. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，侧面 是正三角形， 侧面 底面 是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)试问在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与底面 所成夹角的余弦值为 ， 若存在求出 的值,若不存在,请说明理由.
17. 2026 年被业界公认为“具身智能元年”. 得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟. 人工智能已经不再是概念和愿景, 而是开始真实地走进企业和家庭, 重新定义人类的工作和生活. 新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动. 活动分两轮进行, 第一轮通过后方可进入第二轮, 两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格. 已知小明、小华，小方 3 位同学通过第一轮的概率均为 ，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为 ，假设他们之间通过与否相互独立.
(1)求这 3 人中至多有 2 人通过第一轮的概率；
(2)从 3 人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
(3)设这 3 人中通过第二轮的人数为 ，求 的分布列及期望.
18. 已知函数 为无理数且
(1)求 在区间 的最值；
(2)若 对 恒成立，求 的取值范围；
(3)对于 ,证明: .
19. 已知点 是抛物线 的焦点， 是抛物线 上的一点且有 . (1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 ，连接 、 并延长交抛物线 于另外一点 .
(i) 若抛物线 上有且仅有 3 个点 使得 的面积均为定值S，求S的值；
(ii) 已知点 是抛物线 上异于 的两点，且 是 的角平分线. 请问直线 是否过定点 ,若过定点,求出 点的坐标,若不过定点,请说明理由.
1. A
由 ,
,则 ,
故若 ,则 ,不等式无解,此时 ,符合题意,
当 时, ,
结合 ,则 ,解得 ,
综上可得 ，
故选: A
2. C
因为随机变量 ,所以 .
因为 ,所以 ,所以 .
所以 .
所以 .
故选: C.
3. C
由甲第一局获胜并最终以 3:1 获胜可知第 1,4 局甲胜,第 2,3 局甲胜了一场,
因为每局比赛甲获胜的概率为 ,所以甲输的概率为 ,
所以所求概率为 ,
故选: C.
4. D
函数 的图象上存在关于 轴对称的点,则 与 ,在 有交点,
即 在 有解,
可转化为 在 有解,
令 ,
则 ,故函数 在 上单调递增,
,且 时, ,
所以 ,则 ,
又 恒成立,即 ,则 ,
.
故选: D.
5. C
如图所示,设向量 ,作向量 ,
因为 ,所以四边形 是边长为 2 的菱形,且 ,
再作 ,则 ,
所以点 在以 为圆心,半径为 1 的圆上,
结合图形,当 三点共线时,即点 在 处时, 取得最大值 ,
所以 取得最大值 3 .
故选: C.
6. B
设圆锥的顶点为 ,底面圆圆心为点 ,取线段 的中点 ,连接 、 ,
因为 ,则 ,
因为圆锥顶点到直线 的距离为 ，所以 ，
因为圆锥底面半径 ,故 ,又 ,
所以 为等腰直角三角形， 为斜边，
因为 为线段 的中点,故 ,
因为 平面 平面 ,
在 Rt 中, ,
在 Rt 中, ,
所以,圆锥 的底面圆半径为 ,母线长为 2,
因此,该圆锥的侧面积为 .
故答案为: .
7. B
由 得 ,
当 时， ，函数在 上单调递增，
当 时， ，函数在 上单调递减，
当 时, ,
在同一直角坐标系中画出 与 的图象,
当 时,取 ,则 即 即 ,
故 在 上恒成立,但当 时, ,
故 不成立,
若 在 上为增函数,
在 上为减函数,而 ,
故 在 上仅有一解 ,
此时取 ,结合图象可得 恒成立,
所以整数 的最小值为 1 .
故选: B.
8. B
设曲线 在点 处的切线过点 ,
由 ,得 ,所以 ,
所以曲线 在 处的切线方程为 ,
因为从点 可向曲线 引三条不同切线,
所以 有三个不同的解,即 有三个不同的解,
设 ,则该函数有三个不同零点,求导得 ,
令 ,则 或 ,
当 和 时, ,当 时, ,
所以函数 在 区间单调递减,在 和 区间上单调递增,
所以函数在 和 处分别取得极大值和极小值,要想函数 有三个不同零点,
则 ,即 ,解得 ,即 的取值范围是 .
故选: B.
9. BCD
对于 ,若 ,满足 ,但 ,故 错误,
对于 ,由 ,则 或 ,故 中至少有一个为 正确,
对于 正确,
对于 ,设 ,故
,故 ,故 正确,
故选: BCD
10. BCD
对于 与 相互独立,则 ,
,故 A 错误;
对于 ,因为 与 互斥,所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,故 正确;
对于 ,因为 与 互斥,所以 ,所以 ,所以
所以 ,故 正确;
对于 ,显然 ,即 ,
由 ,得
解得 ,所以 与 互斥,故 正确.
故选: BCD
11. ACD
对于 ,因为抛物线 的准线方程为 ,已知点 在准线上,
所以 ,解得 ,即 ,焦点 . 故 A 正确;
对于 ,设过 且斜率为 的直线方程为 ,
联立抛物线方程 ,整理得 ,
因为直线与抛物线有两个交点,所以 ,
解得 或 ,故 错误;
对于 ,设 ,由抛物线定义 ,
要判断 ,即 ,
两边平方 ,
化简得 ,即 ,
因为直线与抛物线有两个交点,所以直线与抛物线不相切,即 ,
所以 成立,即 ,故 正确;
对于 ,当 时, 是 的中点,设 ,
则 ,由韦达定理 ,
所以 ,解得 (舍去),或 ,则 ,
则 ,由对称性,不妨令 ,则 ,
则由 ,得 ,故 D 正确.
故选: ACD
12. -1
,
由题意可得 ,解得 .
故答案为: -1 .
13.
因为 ,所以可设过点 的直线与椭圆在第一象限的交点为 ,如图所示:
设 ,则 ,
由题意可得, ,
在 分别由余弦定理解得:
即 ,
解得 ,即 .
故答案为: .
14. 16
空一: 双曲线 的实半轴长 ,虚半轴长 ,半焦距 ,
设圆 与 的三边分别相切于点 ,
由切线定理可知, ,
结合双曲线定义可知, ,
又 ,联立求解可得 ,
所以点 的横坐标为 1,即 的横坐标为 1,设圆 的半径为 ,
则 ;
空二: ,同理
所以 , 当且仅当 ,即 时等号成立.
故答案为: 3 ; 16
15. (1)
(2) .
(1)根据正弦定理有
.
因为 ,
所以
,
则有 ,
.
(2)由(1)及余弦定理可知
,当且仅当 时,“=”成立.
是 的中点, ,
两边平方得 ,即 ,
由(1)知 ，代入得 ，
,
,
所以 的最大值为 .
16. (1)证明见解析
(2)存在，
(1)由题意可知 ,
侧面 底面 ,侧面 底面 平面 ,
平面 ,
又 平面 平面 ,
平面 .
(2)如图，分别取 、 的中点 、 ，连接 ，
已知 两两垂直，则以 为坐标原点， 为 轴建立空间直角坐标系
由题意可知 ,
,
设 ,则 ,又
所以 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
代入数值可得 ,
不妨令 ,则 ,故 ,
由题意可知, 即为平面 的法向量,则有 ,
所以 ,等号两边平方,化简后可得 ,
解得 或 (舍去),所以 .
17.(1)记3 人中通过第一轮的人数为 ，
由题意可知 ,
记“3 人中至多有 2 人通过第一轮”为事件 ，
则 .
(2)记随机选择小明、小华、小方的事件分别为 ，通过第二轮的事件记为 ， 则由题意可知 ,
则 ,
所以 .
(3)记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为 、 、 ，
则 ,
由 相互独立可知 ,
所以 的分布列是
0 1 2 3
则 的数学期望是 .
18.(1) ,可知 ,
令 ,则 ,
易得当 时， ，当 时， ，
即 在 单调递减,在 上单调递增,
,则 在 单调递增,
所以 .
(2)构造函数 ，
易知 ,若 ,
则 使得 在 上单调递减， ，与题意矛盾，
则 ,
此时 ,
令 ,只需证 在 恒成立即可.
令 ,则 ,
恒成立,即 在 单调递增,
在 单调递增,则 恒成立, 所以 的取值范围是 .
(3)由(2)可知 在 恒成立，
则有 在 恒成立,
令 ,则有 恒成立,
所以 ,
又 ,
则 .
19. (1)
(2) (i) 16; (ii) 直线 过定点 .
(1) 由题意可知 ,则 点的坐标为 ,
代入抛物线方程解得 或 (舍去)，所以抛物线 的方程为 .
(2)(i)由题意可知直线 的方程为 ，
直线 与抛物线 联立可得 ,
解得 ,
所以 ,所以 .
如图所示,由图象可知,对任意面积 ,抛物线位于直线 右上方的部分均存在 2 点使得 的面积均为定值 ,
则抛物线在直线 的左下方部分存在唯一的一点 满足条件,
此时 到直线 的距离达到最大值,即在 处的切线与直线 平行,
当 时,抛物线方程为 ,所以 ,
则 到直线 的距离为 ,
所以定值 .
(ii) 是 的角平分线,所以 点到直线 的距离相等, 设该距离为定值 .
当 的斜率不存在时,
由题意可知 ，易知此时 与 轴平行，不满足题意，
所以 的斜率均存在.
设过 点的直线斜率为 ,则过 点的直线可表示为 , 则有 ,则有 ,
设 ,则 ,
两式相减可得 ,
利用点斜式方程可得 ，
由 ,化简可得, ,
结合 ，易知直线 过定点 .
一、单选题
1. 已知集合 ，若集合 ，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 设随机变量 ,则 ( )
A. 0.5 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.4
3. 甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用 5 局 3 胜制(先胜 3 局者胜，比赛结束)， 已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以 3:1 获胜的概率为( )
A. B. C. D.
4. 已知函数 的图象上存在关于 轴对称的点,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
5. 已知向量 满足 ， ，则 的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知圆锥底面半径 ，底面圆周上两点 、 满足 ，圆锥顶点到直线 的距离为 ，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
7. ,使得 恒成立,则整数 的最小值为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 已知函数 ,过点 可作出曲线 的三条切线,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知 ,下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则 中至少有一个为 0
C.
D. 若 ,则
10. 在一个有限样本空间中,假设 ,且 与 相互独立, 与 互斥, 则( )
A.
B.
C.
D. 若 ,则 与 互斥
11. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 的准线上，过 且斜率为 的直线交 于 ， 两点，则( )
A.
B.
C.
D. 当 时,
三、填空题
12. 设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 _____.
13. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ,过右焦点 且倾斜角为 的直线交椭圆于 两点,满足 ,则椭圆 的离心率 _____.
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 在 的右支上 (不含顶点),
设 的内切圆圆心为 ，则 _____， 的最小值为_____.
四、解答题
15. 已知 分别为 的内角 所对的边， 且 . (1)求 ；
(2)已知 是边 的中点，求 的最大值.
16. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，侧面 是正三角形， 侧面 底面 是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)试问在线段 上是否存在一点 ，使得平面 与底面 所成夹角的余弦值为 ， 若存在求出 的值,若不存在,请说明理由.
17. 2026 年被业界公认为“具身智能元年”. 得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟. 人工智能已经不再是概念和愿景, 而是开始真实地走进企业和家庭, 重新定义人类的工作和生活. 新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动. 活动分两轮进行, 第一轮通过后方可进入第二轮, 两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格. 已知小明、小华，小方 3 位同学通过第一轮的概率均为 ，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为 ，假设他们之间通过与否相互独立.
(1)求这 3 人中至多有 2 人通过第一轮的概率；
(2)从 3 人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
(3)设这 3 人中通过第二轮的人数为 ，求 的分布列及期望.
18. 已知函数 为无理数且
(1)求 在区间 的最值；
(2)若 对 恒成立，求 的取值范围；
(3)对于 ,证明: .
19. 已知点 是抛物线 的焦点， 是抛物线 上的一点且有 . (1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 ，连接 、 并延长交抛物线 于另外一点 .
(i) 若抛物线 上有且仅有 3 个点 使得 的面积均为定值S，求S的值；
(ii) 已知点 是抛物线 上异于 的两点，且 是 的角平分线. 请问直线 是否过定点 ,若过定点,求出 点的坐标,若不过定点,请说明理由.
1. A
由 ,
,则 ,
故若 ,则 ,不等式无解,此时 ,符合题意,
当 时, ,
结合 ,则 ,解得 ,
综上可得 ，
故选: A
2. C
因为随机变量 ,所以 .
因为 ,所以 ,所以 .
所以 .
所以 .
故选: C.
3. C
由甲第一局获胜并最终以 3:1 获胜可知第 1,4 局甲胜,第 2,3 局甲胜了一场,
因为每局比赛甲获胜的概率为 ,所以甲输的概率为 ,
所以所求概率为 ,
故选: C.
4. D
函数 的图象上存在关于 轴对称的点,则 与 ,在 有交点,
即 在 有解,
可转化为 在 有解,
令 ,
则 ,故函数 在 上单调递增,
,且 时, ,
所以 ,则 ,
又 恒成立,即 ,则 ,
.
故选: D.
5. C
如图所示,设向量 ,作向量 ,
因为 ,所以四边形 是边长为 2 的菱形,且 ,
再作 ,则 ,
所以点 在以 为圆心,半径为 1 的圆上,
结合图形,当 三点共线时,即点 在 处时, 取得最大值 ,
所以 取得最大值 3 .
故选: C.
6. B
设圆锥的顶点为 ,底面圆圆心为点 ,取线段 的中点 ,连接 、 ,
因为 ,则 ,
因为圆锥顶点到直线 的距离为 ，所以 ，
因为圆锥底面半径 ,故 ,又 ,
所以 为等腰直角三角形， 为斜边，
因为 为线段 的中点,故 ,
因为 平面 平面 ,
在 Rt 中, ,
在 Rt 中, ,
所以,圆锥 的底面圆半径为 ,母线长为 2,
因此,该圆锥的侧面积为 .
故答案为: .
7. B
由 得 ,
当 时， ，函数在 上单调递增，
当 时， ，函数在 上单调递减，
当 时, ,
在同一直角坐标系中画出 与 的图象,
当 时,取 ,则 即 即 ,
故 在 上恒成立,但当 时, ,
故 不成立,
若 在 上为增函数,
在 上为减函数,而 ,
故 在 上仅有一解 ,
此时取 ,结合图象可得 恒成立,
所以整数 的最小值为 1 .
故选: B.
8. B
设曲线 在点 处的切线过点 ,
由 ,得 ,所以 ,
所以曲线 在 处的切线方程为 ,
因为从点 可向曲线 引三条不同切线,
所以 有三个不同的解,即 有三个不同的解,
设 ,则该函数有三个不同零点,求导得 ,
令 ,则 或 ,
当 和 时, ,当 时, ,
所以函数 在 区间单调递减,在 和 区间上单调递增,
所以函数在 和 处分别取得极大值和极小值,要想函数 有三个不同零点,
则 ,即 ,解得 ,即 的取值范围是 .
故选: B.
9. BCD
对于 ,若 ,满足 ,但 ,故 错误,
对于 ,由 ,则 或 ,故 中至少有一个为 正确,
对于 正确,
对于 ,设 ,故
,故 ,故 正确,
故选: BCD
10. BCD
对于 与 相互独立,则 ,
,故 A 错误;
对于 ,因为 与 互斥,所以 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,故 正确;
对于 ,因为 与 互斥,所以 ,所以 ,所以
所以 ,故 正确;
对于 ,显然 ,即 ,
由 ,得
解得 ,所以 与 互斥,故 正确.
故选: BCD
11. ACD
对于 ,因为抛物线 的准线方程为 ,已知点 在准线上,
所以 ,解得 ,即 ,焦点 . 故 A 正确;
对于 ,设过 且斜率为 的直线方程为 ,
联立抛物线方程 ,整理得 ,
因为直线与抛物线有两个交点,所以 ,
解得 或 ,故 错误;
对于 ,设 ,由抛物线定义 ,
要判断 ,即 ,
两边平方 ,
化简得 ,即 ,
因为直线与抛物线有两个交点,所以直线与抛物线不相切,即 ,
所以 成立,即 ,故 正确;
对于 ,当 时, 是 的中点,设 ,
则 ,由韦达定理 ,
所以 ,解得 (舍去),或 ,则 ,
则 ,由对称性,不妨令 ,则 ,
则由 ,得 ,故 D 正确.
故选: ACD
12. -1
,
由题意可得 ,解得 .
故答案为: -1 .
13.
因为 ,所以可设过点 的直线与椭圆在第一象限的交点为 ,如图所示:
设 ,则 ,
由题意可得, ,
在 分别由余弦定理解得:
即 ,
解得 ,即 .
故答案为: .
14. 16
空一: 双曲线 的实半轴长 ,虚半轴长 ,半焦距 ,
设圆 与 的三边分别相切于点 ,
由切线定理可知, ,
结合双曲线定义可知, ,
又 ,联立求解可得 ,
所以点 的横坐标为 1,即 的横坐标为 1,设圆 的半径为 ,
则 ;
空二: ,同理
所以 , 当且仅当 ,即 时等号成立.
故答案为: 3 ; 16
15. (1)
(2) .
(1)根据正弦定理有
.
因为 ,
所以
,
则有 ,
.
(2)由(1)及余弦定理可知
,当且仅当 时,“=”成立.
是 的中点, ,
两边平方得 ,即 ,
由(1)知 ，代入得 ，
,
,
所以 的最大值为 .
16. (1)证明见解析
(2)存在，
(1)由题意可知 ,
侧面 底面 ,侧面 底面 平面 ,
平面 ,
又 平面 平面 ,
平面 .
(2)如图，分别取 、 的中点 、 ，连接 ，
已知 两两垂直，则以 为坐标原点， 为 轴建立空间直角坐标系
由题意可知 ,
,
设 ,则 ,又
所以 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,
代入数值可得 ,
不妨令 ,则 ,故 ,
由题意可知, 即为平面 的法向量,则有 ,
所以 ,等号两边平方,化简后可得 ,
解得 或 (舍去),所以 .
17.(1)记3 人中通过第一轮的人数为 ，
由题意可知 ,
记“3 人中至多有 2 人通过第一轮”为事件 ，
则 .
(2)记随机选择小明、小华、小方的事件分别为 ，通过第二轮的事件记为 ， 则由题意可知 ,
则 ,
所以 .
(3)记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为 、 、 ，
则 ,
由 相互独立可知 ,
所以 的分布列是
0 1 2 3
则 的数学期望是 .
18.(1) ,可知 ,
令 ,则 ,
易得当 时， ，当 时， ，
即 在 单调递减,在 上单调递增,
,则 在 单调递增,
所以 .
(2)构造函数 ，
易知 ,若 ,
则 使得 在 上单调递减， ，与题意矛盾，
则 ,
此时 ,
令 ,只需证 在 恒成立即可.
令 ,则 ,
恒成立,即 在 单调递增,
在 单调递增,则 恒成立, 所以 的取值范围是 .
(3)由(2)可知 在 恒成立，
则有 在 恒成立,
令 ,则有 恒成立,
所以 ,
又 ,
则 .
19. (1)
(2) (i) 16; (ii) 直线 过定点 .
(1) 由题意可知 ,则 点的坐标为 ,
代入抛物线方程解得 或 (舍去)，所以抛物线 的方程为 .
(2)(i)由题意可知直线 的方程为 ，
直线 与抛物线 联立可得 ,
解得 ,
所以 ,所以 .
如图所示,由图象可知,对任意面积 ,抛物线位于直线 右上方的部分均存在 2 点使得 的面积均为定值 ,
则抛物线在直线 的左下方部分存在唯一的一点 满足条件,
此时 到直线 的距离达到最大值,即在 处的切线与直线 平行,
当 时,抛物线方程为 ,所以 ,
则 到直线 的距离为 ,
所以定值 .
(ii) 是 的角平分线,所以 点到直线 的距离相等, 设该距离为定值 .
当 的斜率不存在时,
由题意可知 ，易知此时 与 轴平行，不满足题意，
所以 的斜率均存在.
设过 点的直线斜率为 ,则过 点的直线可表示为 , 则有 ,则有 ,
设 ,则 ,
两式相减可得 ,
利用点斜式方程可得 ，
由 ,化简可得, ,
结合 ，易知直线 过定点 .
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