湖北黄冈市蕲春县第一高级中学2026届高三下学期数学周测试题二（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖北黄冈市蕲春县第一高级中学2026届高三下学期数学周测试题二（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 531.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-21 00:00:00 | ||
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文档简介
蕲春一中 2026 届高三数学周测二
考试时间:120 分钟 满分:150 分
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.)
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. “椭圆 的焦点在 轴”的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
3. 树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选 10 名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为 3， ，14，15， 16,17,18,若该组数据的中位数是极差的 ,则该组数据的第 40 百分位数是( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
4. 记 为等比数列 的前 项和. 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 在点 处的切线为 ,若 与圆 相切,则 的值为( )
A. B.
C. 或 D. 或
6. 声音是由物体振动产生的声波,纯音的数学模型是函数 ,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音. 若一个复合音的数学模型是函数 ,则下列结论不正确的是( )
A. 是偶函数 B. 的最小正周期为
C. 在区间 上单调递增 D. 的最小值为 1
7. 已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为 ，半径为 的球 与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则圆台的体积等于( )
A. B. C. D.
8. 双曲线 的左右焦点分别为 ,以 为直径的圆与双曲线 的左支交于点 ( 在第二象限), 为坐标原点,且 被直线 平分,则双曲线 的离心率为( )
A. 2 B. C. 4 D. 5
二、多项选择题 (本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选 项中, 有多项符合题自要求.全部选对的得 6 分, 选对得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知平面向量 ，则下列说法正确的是( )
A. 可能垂直
B. 可能共线
C. 若 ,则 在 方向上的投影向量为
D. 若 ,则
10. 已知 为坐标原点， 是抛物线 的准线上的一点，过 的焦点 的直线 与 交于 两点， 为 的中点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 为钝角三角形
C. 直线 的斜率的最大值为
D. 若 ,则直线 的斜率为 2
11. Swish 函数 和 ReLU 函数 是人工智能领域的两个重要激活函数，关于这两个函数下列说法正确的是( )
A. Swish 函数在定义域上单调递增
B. 不等式 的解集为
C. 若函数 满足 恒成立，则称 为“可交换算子”， Swish 函数和 ReLU 函数是“可交换算子”
D. ,当 时,
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知随机变量 ,则
13. 空间直线与平面也有方程. 教材中有如下阐述:
在空间直角坐标系中,已知点 ,向量 ,过点 且一个法向量为 的平面 的方程为 .
请利用教材给出的材料，解决下面的问题:已知平面 的方程为 ，直线 是平面 与 的交线，则直线 与平面 所成角的正弦值为_____.
14. 已知 的面积为 分别是 的中点，若 ，则 长度的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知数列 的各项均不为 0,其前 项和为 ,且满足 .
(I) 求 的值;
(II) 求 的通项公式;
(III) 若 ,求 的最小值.
16. 如图,在四棱锥 中, ,平面 平面 , ,平面 和平面 的交线为 ,且 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求平面 和平面 所成角的正切值.
17. 已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
( 2 )若存在正实数 ，使得 成立当且仅当 ，求 的取值范围.
18. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 作斜率为 的直线 ,直线 与双曲线 交于 点,且 的内切圆半径恰为 .
(1)求双曲线 的方程.
( 2 )若直线 交双曲线 的右支于 ， 两点，线段 的中垂线过点 .
(i) 证明: .
(ii) 求 的取值范围.
19. 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期 内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为 ，分裂成两个新细胞的概率为 ; 新细胞在下一个周期 内可以继续分裂,每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞,在第一个周期 内开始分裂,记 个周期结束后,细胞的数量为 ,其中 .
(1)若 ，求 的分布列和数学期望；
(2)求 ；
(3)求证: .
1. C
因为 ,所以 ,
集合 ,
则 .
故选: C.
2. A
若椭圆 的焦点在 轴,则 ,解得 .
对于 ,由 能推出 ,反之不成立,符合题意;
对于 ,由 不能推出 ,不符合题意;
对于 ,显然为充要条件,不符合题意;
对于 ,由 不能推出 ,不符合题意;
故选: A
3. B
该组数据的极差为 ,中位数为 ,
由题意 .
因为 ,
所以该组数据的第 40 百分位数是第 4 位数和第 5 位数的平均数,即 .
4.
设等比数列 的公比为 ,则 , 故 ,从而 ,
故选: B.
5. C
由 求导得: ,则函数在点 处的切线斜率为
又 ,故切线方程为: ,
由题意,圆心 到直线 的距离为 ,
解得: .
故选: C.
6. C
对于 的定义域为 ,它关于原点对称,
而 ,
所以 是偶函数,故 正确;
对于 ,因为 ,
故 为 的一个周期,设 为 的最小正周期,则 ,
则 ,
令 ,则 ,即 ,
所以 ,化简得 ,
故 或 .
令 ,则 ,若 ,则 ,
故 ,矛盾,故 ,
而 ,故 ,故 的最小正周期为 ,故 正确;
对于 ,当 时, ,
此时 ,而 在 为增函数,在 为减函数,
所以 在区间 上单调递增,在 上单调递减,故 错误;
对于 ,因为 为偶函数且最小正周期为 ,
故 在 上的最小值即为 在 上的最小值.
由 分析中的 的单调性可得 在 上的最小值为 ,
而 ,故 在 上的最小值为 1,
所以 的最小值为 1,故 正确
故选: C.
7.
如图,设圆台的上下底面的中心为 ,
上下底面的半径分别为 ,一条母线为 ,
因为展开图扇环的面积为 ,故 ,
而半径为 的球 与该圆台的上、下底面及侧面均相切,
故 ，且 ，
故 且 ,故 ,
故圆台的体积为
故选: B.
8.
如图,
易知 ,设 与 的平分线交点为 ,
因为 ,则有 ,所以 ,
为 的中点,则 为 的中点,
又在 中, ,
所以 ,
所以 ,
由双曲线定义,可得 ,
所以 所以双曲线 的离心率 ,
故选: B.
9. BCD
对于 ,由 ,得 不可能垂直, 错误;
对于 ,取 ,则 ,此时 共线, 正确; 对于 ,当 时, 在 方向上的投影向量为 正确;
对于 ,当 时, ,则 , 正确. 故选: BCD
10. BCD
对于 ,由题可知 ,则 ,则抛物线 ,
故 ,故 A 错误;
对于 ,显然直线 的斜率不为 0,设 ,
联立 ,得 ,
则 ,
且 ,则 ,
所以 ,
所以 ,因为 ,
所以 一定为钝角，故 为钝角三角形,故 正确；
对于 ,由 知, 的中点 的纵坐标为 ,
横坐标为 ,
所以直线 的斜率为 ,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以直线 的斜率的最大值为 ,故 正确;
对于 ,分别过点 作准线 的垂线,垂足分别为 ,
因为 ,所以 ,
因为 为 的中点,所以 平行于 轴,
因为 ,所以 ,则 ,即 ,
故直线 的斜率为 2,故 正确.
故选: BCD
11. BCD
对于 中,由函数 ,
可得 ,
令 ,可得 ,所以 单调递增,
因为 ,
由零点存在定理,存在 ,使得 ,
当 时, ,即 ,函数 递减,所以 错误;
对于 中,由函数 ,则函数 其图象 (如图所示),
,则满足 或
解得 或 ,所以 正确;
对于 中,已知 ,对于函数 ,
当 时, ,所以 ;
当 时, ,所以 ,
即 ,
对于函数 ,
当 时, ,所以 ;
当 时, ,所以 ,
即 ,可得 ,
所以Swish 函数和 ReLU 函数是 “可交换算子”，所以 C 正确.
对于 中,当 时,可得
,因为 ,
所以对任意 ,存在 使得 时,使得 ,即误差小于 ,所以 正确.
故选: BCD.
12. 1
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 .
13.
由平面 的方程为 ,得平面 的法向量 ,
平面 的法向量 ,平面 的法向量 ,
设直线 的方向向量为 ,由直线 是两平面的交线,得向量 与向量 与向量 都垂直,
则 ,解得 ,得 ,设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故答案为:
14.
连接 相交于点 ,则 为 的重心,连接 并延长交 于点 ,
则由重心的性质得 为 的中点,则 ,
而 ,且 ,得到 ,
设 ,则 ,
由三角形面积公式得 ,
则 ,解得 ,
由余弦定理得 ,
解得 ,化简可得 ,
由辅助角公式得 ,
则 ,解得 ,即 长度的最小值为 .
故答案为:
15. (I) 2; (II) ; (III) -15.
(I) 因为 ,令 得 ,即 ,因为 ,所以 ;
(II) 因为 ,所以 ,两式相减,得到 ,因为 ,所以 ,所以 都是公差为 2 的等差数列,对 和 ，进行分类讨论求数列 的通项公式；
(III) 当 时,由 (II) 数列 的通项公式 因为 , 所以 ,对 分为奇数和偶数进行分类讨论求最值试题解析: (I) 因为 ,所以 ,即 , 因为 ,所以 .
(II) 因为 ,所以 ,两式相减,
得到 ,
因为 ,所以 ,
所以 都是公差为 2 的等差数列,
当 时, ,
当 时, ,
所以
(III) 当 时,
因为 ,
所以
所以当 为奇数时, 的最小值为 ,
当 为偶数时, 的最小值为 ,
所以当 时, 取得最小值为 -15 .
16. (1)因为
即 .
又因为平面 平面 且平面 平面 ,
所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 ,
又因为 ,所以 平面 ,
(2)因为平面 平面 ， ，
所以 平面 .
又因为平面 平面 ,
所以 ,则直线 和平面 所成角的正弦值为 .
因为 平面 ,
所以 是直线 和平面 所成角,
故 ,解得 .
如图 1,过点 作 的垂线,垂足为 ,过点 作 的垂线,垂足为 ,连接 .
图 1
因为平面 平面 且平面 平面 ,
所以 平面 ,
所以 是平面 和平面 所成角.
设平面 和平面 所成角为 ,
因为 ,
所以 .
所以平面 和平面 所成角的正切值为 .
17.(1)由题可得 .
令 ,则 ,
当 时, ,此时 ,故 在 上单调递减;
当 时, ,记两根为 ,
此时 ,则两根均为负,得 ,
故 在 上单调递减;
当 时, ,此时 ,则两根均为正,且 ,
故 或 时, 在 上单调递减,
时, 在 上单调递增,
综上,当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递减,
在 上单调递增.
(2)注意到 .
若 ,则 在 上单调递减,
当 时, ,当 时, ,
所以 成立当且仅当 ,结论成立;
若 在 上单调递增,从而有 , 时, ,由零点存在定理,知 ,使得 ,
当 时, ,当 时, ,当 时, ,
故不存在满足条件的区间 .
综上, 的取值范围为 .
18.(1) 由题意, ,直线 方程为: ,即 , 设 的内切圆 与 三边相切的切点分别为 ， ， ， 如图所示，
则 , 即 ,而 轴,圆 半径为 ,则 ,
点 到直线 的距离: ,整理得 ,
且 ,解得 ,
又因为 ,可得 ,
所以双曲线 的方程为 .
(2)(i)设 ，
联立 ,则 ,
所以 ,即 ,
且 ,
则 ,
则 的中点为 ,即 ,
因为线段 的中垂线过点 ,
则 ,整理得 .
(ii) 由 (i) 知, ,
则 ,
则 ,
则 ,解得 ,
又
则 ,
又 ，
则 ,即 ,
又 ,则 的取值范围为 .
19.(1) 的可能取值为1,2,3,4,
其中 ,
所以 分布列为
1 2 3 4
4 9
(2) 个周期结束后共有 2 个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成 2 个细胞.
不妨设细胞在第 个周期时分裂为 2 个细胞,之后一直有 2 个细胞,
此事件概率 ,
所以
(3) 个周期结束后共有 3 个细胞，设细胞在第 个周期时分裂为 2 个新的细胞， 这两个细胞在剩下的 个周期中,其中一个分裂为 2 个细胞,
另一个一直保持分裂为 1 个细胞, 此事件的概率
得 ,
其中 .
令 ,
记 ,令 ,得 .
当 单调递增;
当 单调递减,
故 ,
即 .
考试时间:120 分钟 满分:150 分
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.)
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. “椭圆 的焦点在 轴”的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
3. 树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选 10 名参赛选手，获得他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为 3， ，14，15， 16,17,18,若该组数据的中位数是极差的 ,则该组数据的第 40 百分位数是( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
4. 记 为等比数列 的前 项和. 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 在点 处的切线为 ,若 与圆 相切,则 的值为( )
A. B.
C. 或 D. 或
6. 声音是由物体振动产生的声波,纯音的数学模型是函数 ,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音. 若一个复合音的数学模型是函数 ,则下列结论不正确的是( )
A. 是偶函数 B. 的最小正周期为
C. 在区间 上单调递增 D. 的最小值为 1
7. 已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为 ，半径为 的球 与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则圆台的体积等于( )
A. B. C. D.
8. 双曲线 的左右焦点分别为 ,以 为直径的圆与双曲线 的左支交于点 ( 在第二象限), 为坐标原点,且 被直线 平分,则双曲线 的离心率为( )
A. 2 B. C. 4 D. 5
二、多项选择题 (本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选 项中, 有多项符合题自要求.全部选对的得 6 分, 选对得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知平面向量 ，则下列说法正确的是( )
A. 可能垂直
B. 可能共线
C. 若 ,则 在 方向上的投影向量为
D. 若 ,则
10. 已知 为坐标原点， 是抛物线 的准线上的一点，过 的焦点 的直线 与 交于 两点， 为 的中点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 为钝角三角形
C. 直线 的斜率的最大值为
D. 若 ,则直线 的斜率为 2
11. Swish 函数 和 ReLU 函数 是人工智能领域的两个重要激活函数，关于这两个函数下列说法正确的是( )
A. Swish 函数在定义域上单调递增
B. 不等式 的解集为
C. 若函数 满足 恒成立，则称 为“可交换算子”， Swish 函数和 ReLU 函数是“可交换算子”
D. ,当 时,
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知随机变量 ,则
13. 空间直线与平面也有方程. 教材中有如下阐述:
在空间直角坐标系中,已知点 ,向量 ,过点 且一个法向量为 的平面 的方程为 .
请利用教材给出的材料，解决下面的问题:已知平面 的方程为 ，直线 是平面 与 的交线，则直线 与平面 所成角的正弦值为_____.
14. 已知 的面积为 分别是 的中点，若 ，则 长度的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知数列 的各项均不为 0,其前 项和为 ,且满足 .
(I) 求 的值;
(II) 求 的通项公式;
(III) 若 ,求 的最小值.
16. 如图,在四棱锥 中, ,平面 平面 , ,平面 和平面 的交线为 ,且 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求平面 和平面 所成角的正切值.
17. 已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
( 2 )若存在正实数 ，使得 成立当且仅当 ，求 的取值范围.
18. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 作斜率为 的直线 ,直线 与双曲线 交于 点,且 的内切圆半径恰为 .
(1)求双曲线 的方程.
( 2 )若直线 交双曲线 的右支于 ， 两点，线段 的中垂线过点 .
(i) 证明: .
(ii) 求 的取值范围.
19. 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期 内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为 ，分裂成两个新细胞的概率为 ; 新细胞在下一个周期 内可以继续分裂,每个细胞的分裂相互独立. 设有一个初始的细胞,在第一个周期 内开始分裂,记 个周期结束后,细胞的数量为 ,其中 .
(1)若 ，求 的分布列和数学期望；
(2)求 ；
(3)求证: .
1. C
因为 ,所以 ,
集合 ,
则 .
故选: C.
2. A
若椭圆 的焦点在 轴,则 ,解得 .
对于 ,由 能推出 ,反之不成立,符合题意;
对于 ,由 不能推出 ,不符合题意;
对于 ,显然为充要条件,不符合题意;
对于 ,由 不能推出 ,不符合题意;
故选: A
3. B
该组数据的极差为 ,中位数为 ,
由题意 .
因为 ,
所以该组数据的第 40 百分位数是第 4 位数和第 5 位数的平均数,即 .
4.
设等比数列 的公比为 ,则 , 故 ,从而 ,
故选: B.
5. C
由 求导得: ,则函数在点 处的切线斜率为
又 ,故切线方程为: ,
由题意,圆心 到直线 的距离为 ,
解得: .
故选: C.
6. C
对于 的定义域为 ,它关于原点对称,
而 ,
所以 是偶函数,故 正确;
对于 ,因为 ,
故 为 的一个周期,设 为 的最小正周期,则 ,
则 ,
令 ,则 ,即 ,
所以 ,化简得 ,
故 或 .
令 ,则 ,若 ,则 ,
故 ,矛盾,故 ,
而 ,故 ,故 的最小正周期为 ,故 正确;
对于 ,当 时, ,
此时 ,而 在 为增函数,在 为减函数,
所以 在区间 上单调递增,在 上单调递减,故 错误;
对于 ,因为 为偶函数且最小正周期为 ,
故 在 上的最小值即为 在 上的最小值.
由 分析中的 的单调性可得 在 上的最小值为 ,
而 ,故 在 上的最小值为 1,
所以 的最小值为 1,故 正确
故选: C.
7.
如图,设圆台的上下底面的中心为 ,
上下底面的半径分别为 ,一条母线为 ,
因为展开图扇环的面积为 ,故 ,
而半径为 的球 与该圆台的上、下底面及侧面均相切,
故 ，且 ，
故 且 ,故 ,
故圆台的体积为
故选: B.
8.
如图,
易知 ,设 与 的平分线交点为 ,
因为 ,则有 ,所以 ,
为 的中点,则 为 的中点,
又在 中, ,
所以 ,
所以 ,
由双曲线定义,可得 ,
所以 所以双曲线 的离心率 ,
故选: B.
9. BCD
对于 ,由 ,得 不可能垂直, 错误;
对于 ,取 ,则 ,此时 共线, 正确; 对于 ,当 时, 在 方向上的投影向量为 正确;
对于 ,当 时, ,则 , 正确. 故选: BCD
10. BCD
对于 ,由题可知 ,则 ,则抛物线 ,
故 ,故 A 错误;
对于 ,显然直线 的斜率不为 0,设 ,
联立 ,得 ,
则 ,
且 ,则 ,
所以 ,
所以 ,因为 ,
所以 一定为钝角，故 为钝角三角形,故 正确；
对于 ,由 知, 的中点 的纵坐标为 ,
横坐标为 ,
所以直线 的斜率为 ,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以直线 的斜率的最大值为 ,故 正确;
对于 ,分别过点 作准线 的垂线,垂足分别为 ,
因为 ,所以 ,
因为 为 的中点,所以 平行于 轴,
因为 ,所以 ,则 ,即 ,
故直线 的斜率为 2,故 正确.
故选: BCD
11. BCD
对于 中,由函数 ,
可得 ,
令 ,可得 ,所以 单调递增,
因为 ,
由零点存在定理,存在 ,使得 ,
当 时, ,即 ,函数 递减,所以 错误;
对于 中,由函数 ,则函数 其图象 (如图所示),
,则满足 或
解得 或 ,所以 正确;
对于 中,已知 ,对于函数 ,
当 时, ,所以 ;
当 时, ,所以 ,
即 ,
对于函数 ,
当 时, ,所以 ;
当 时, ,所以 ,
即 ,可得 ,
所以Swish 函数和 ReLU 函数是 “可交换算子”，所以 C 正确.
对于 中,当 时,可得
,因为 ,
所以对任意 ,存在 使得 时,使得 ,即误差小于 ,所以 正确.
故选: BCD.
12. 1
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 .
13.
由平面 的方程为 ,得平面 的法向量 ,
平面 的法向量 ,平面 的法向量 ,
设直线 的方向向量为 ,由直线 是两平面的交线,得向量 与向量 与向量 都垂直,
则 ,解得 ,得 ,设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故答案为:
14.
连接 相交于点 ,则 为 的重心,连接 并延长交 于点 ,
则由重心的性质得 为 的中点,则 ,
而 ,且 ,得到 ,
设 ,则 ,
由三角形面积公式得 ,
则 ,解得 ,
由余弦定理得 ,
解得 ,化简可得 ,
由辅助角公式得 ,
则 ,解得 ,即 长度的最小值为 .
故答案为:
15. (I) 2; (II) ; (III) -15.
(I) 因为 ,令 得 ,即 ,因为 ,所以 ;
(II) 因为 ,所以 ,两式相减,得到 ,因为 ,所以 ,所以 都是公差为 2 的等差数列,对 和 ，进行分类讨论求数列 的通项公式；
(III) 当 时,由 (II) 数列 的通项公式 因为 , 所以 ,对 分为奇数和偶数进行分类讨论求最值试题解析: (I) 因为 ,所以 ,即 , 因为 ,所以 .
(II) 因为 ,所以 ,两式相减,
得到 ,
因为 ,所以 ,
所以 都是公差为 2 的等差数列,
当 时, ,
当 时, ,
所以
(III) 当 时,
因为 ,
所以
所以当 为奇数时, 的最小值为 ,
当 为偶数时, 的最小值为 ,
所以当 时, 取得最小值为 -15 .
16. (1)因为
即 .
又因为平面 平面 且平面 平面 ,
所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 ,
又因为 ,所以 平面 ,
(2)因为平面 平面 ， ，
所以 平面 .
又因为平面 平面 ,
所以 ,则直线 和平面 所成角的正弦值为 .
因为 平面 ,
所以 是直线 和平面 所成角,
故 ,解得 .
如图 1,过点 作 的垂线,垂足为 ,过点 作 的垂线,垂足为 ,连接 .
图 1
因为平面 平面 且平面 平面 ,
所以 平面 ,
所以 是平面 和平面 所成角.
设平面 和平面 所成角为 ,
因为 ,
所以 .
所以平面 和平面 所成角的正切值为 .
17.(1)由题可得 .
令 ,则 ,
当 时, ,此时 ,故 在 上单调递减;
当 时, ,记两根为 ,
此时 ,则两根均为负,得 ,
故 在 上单调递减;
当 时, ,此时 ,则两根均为正,且 ,
故 或 时, 在 上单调递减,
时, 在 上单调递增,
综上,当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递减,
在 上单调递增.
(2)注意到 .
若 ,则 在 上单调递减,
当 时, ,当 时, ,
所以 成立当且仅当 ,结论成立;
若 在 上单调递增,从而有 , 时, ,由零点存在定理,知 ,使得 ,
当 时, ,当 时, ,当 时, ,
故不存在满足条件的区间 .
综上, 的取值范围为 .
18.(1) 由题意, ,直线 方程为: ,即 , 设 的内切圆 与 三边相切的切点分别为 ， ， ， 如图所示，
则 , 即 ,而 轴,圆 半径为 ,则 ,
点 到直线 的距离: ,整理得 ,
且 ,解得 ,
又因为 ,可得 ,
所以双曲线 的方程为 .
(2)(i)设 ，
联立 ,则 ,
所以 ,即 ,
且 ,
则 ,
则 的中点为 ,即 ,
因为线段 的中垂线过点 ,
则 ,整理得 .
(ii) 由 (i) 知, ,
则 ,
则 ,
则 ,解得 ,
又
则 ,
又 ，
则 ,即 ,
又 ,则 的取值范围为 .
19.(1) 的可能取值为1,2,3,4,
其中 ,
所以 分布列为
1 2 3 4
4 9
(2) 个周期结束后共有 2 个细胞，则必在某一个周期结束后分裂成 2 个细胞.
不妨设细胞在第 个周期时分裂为 2 个细胞,之后一直有 2 个细胞,
此事件概率 ,
所以
(3) 个周期结束后共有 3 个细胞，设细胞在第 个周期时分裂为 2 个新的细胞， 这两个细胞在剩下的 个周期中,其中一个分裂为 2 个细胞,
另一个一直保持分裂为 1 个细胞, 此事件的概率
得 ,
其中 .
令 ,
记 ,令 ,得 .
当 单调递增;
当 单调递减,
故 ,
即 .
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