湖北黄冈市2026届高三下学期3月模拟考试数学试题（含答案）

2026 年 3 月高三年级模拟考试 数 学
全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟. ★祝考试顺利★
注意事项:
1. 答题前:先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后, 请将答题卡上交.
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 设复数 是关于 的方程 的一个根,则 ( )
A. 20 B. 15 C. 10 D. 8
3. 圆锥 的轴截面是面积为 的等边三角形,则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
4. 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知 是定义在 上的偶函数,且 ,若 ,则 ( )
A. 0 B. 1 C. 3 D. -3
6. 函数 的图象关于点 对称,且直线 与函数 图象的相邻两交点间距离为 ,则正实数 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系 中, ,则 的最大值为( )
A. 5 B.
C. D.
8. 已知函数 ,关于 的方程 有且仅有 4 个不同的实根, 则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选 项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选 错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 样本相关系数 越大,则线性相关性越强
B.1,2,4,5,6,12,18,20的上四分位数是 15
C. 随机变量 的方差 ,期望 ,则
D. 某班 30 个男生的数学平均分为 90 , 方差为 4 , 20 个女生的数学平均分为 85 , 方差为 6 , 则全班 50 个学生的数学成绩的方差为 10.8
10. 大衍数列是中国古代数学中的数列, 该数列在现代通信编码领域中得到应用. 已知大衍数列 满足 则 ( )
A. B.
C. D. 数列 的前 20 项和为 110
11. 如图,过抛物线 的焦点 作两条互相垂直的直线 与 交于 两点， 与 交于 两点(点 在 轴上方)， 分别是弦 和 的中点，则 ( )
A. 设点 ，则 的周长最小值为
B. 的最小值为
C. 的最小值为 8
D. 和 的面积之和的最小值为 32
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 设函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为_____.
13. 在边长为 1 的正方体的 8 个顶点中,记任取两点的线段长为 ,则 的期程 为_____.
14. 在空间直角坐标系 中,点 ,定义 . 如图,正方体的棱长为 ,平面 内两个动点 ， 分别满足 ， ，则 的取值范围为_____.
四、解答题:共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积S.
16. 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， 平面 ,点 分别在棱 上,且 .
(1)求证: ；
(2)若 ， 与平面 所成的角为 ，点 关于平面 的对称点为 ，求点 到平面 的距离.
17. 抽屉里有相同规格的 3 块充电电池和 2 块一次性干电池, 当需要使用电池时即从抽屉随机抽取一块, 充电电池使用完后充满电放回原抽屉, 干电池使用完后即作垃圾回收. 当抽屉只剩下充电电池时则停止电池的随机抽取.
(1)求在第 2 次抽取的是干电池的条件下第 1 次抽取的也是干电池的概率；
(2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到 2 块干电池用完. 记抽取第 次时恰好抽到最后一块干电池的概率为 ,求 .
18. 已知椭圆 的长轴长为 4,直线 与椭圆 交于 两点 (点 在第一象限). 当 时, 在 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点.
(1)求 的标准方程；
(2)若 轴于点 ，连接 并延长交 于点 ，记直线 的斜率为 .
(i) 证明: 为定值;
(ii) 设 ,求 的最小值.
19. 已知函数 .
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)当 时,证明: 在 上存在 2 个不同的零点 ,且 ; (3)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
1. D
2. A
3. C
4. B
5. C
6. C
7. D
8. A
9. BD
10. ABD
11. ACD
12.
13.
14.
设 点的轨迹为
. 又 ,则 , ,即 ,化简得 点的轨迹为 .
在平面直角坐标系 中作出 轨迹可得 .
15. (1) ;
(2) .
解: (1) 由正弦定理知 .
3 分
分
(2)由(1)知 ，
9 分
. 13 分
(另解: . .)
16.证: (1) 连 相交于点 ,连 底面 为菱形, 且 . 又 平面 平面 ,平面 平面 , ,又 ,而 平面 ,又 平面 ,而 平面 为等腰三角形,即 . 5 分
(2)若 ，则 ，由(1)知 ， 平面 ，以 为原点以 分别为 轴, 轴, 轴建立直角坐标系,6 分
又 ,则 ,
平面 ， 与平面 所成的角为 ，
. 8 分
分
设平面 的法向量为
则 取 分
设 ,则 到平面 的距离相等,
.
又 ,解得
设平面 的法向量为 . 则 取 分
则点 到平面 距离为 . 15 分
(另解: 设点 在平面 的射影点为 ,则可求得 , 则 到平面 距离为 到平面 距离为 .)
17. ; (2) .
解: (1) 记第1,2次取出的是干电池的概率分别为 ,
分
在第 2 次取出的是干电池的条件下第 1 次取出的也是干电池的概率为
分
(2)依题意有抽屉里有 3 块充电电池， 2 块干电池，用完第一块干电池后补充一块充电电池,电池总数为 5 块不变. 记第 次恰好抽到第一块干电池,第 次恰好抽到第二块干电池的概率为 ,则
分
分
方法二“第 次抽取时恰好抽到最后 1 块干电池”可分为两类:第 1 次抽到干电池与第 1 次抽到充电电池. 当第 1 次抽到充电电池时: 分
当第 1 次抽到干电池时,仅第 1 次与第 次抽到干电池:
,
分
,
是以为 首项 为公比的等比数列,15 分
. 当 时成立.
故所求概率为 .
18. 解(1)为椭圆焦距为 ,由题意有 ,椭圆过点 , 又 . 故的标准方程为 . 4 分
(2)(i)设 ， ， ，则 ，由题意有 . 可设 的方程为 ,
,又 在椭圆上,
,
,
分
(ii) ,
而 ,
由 (i) 知 ,又 , . 当 时等号成立， . 的最小值为 .
19.解: (1) . 当 时, 单调递减,
4 分
(2)当 时， ，即 ， ，5 分令 在 上单调递减,在 上单调递增,且 . 又 时 时 在 上 2 个不同的零点 ,即 在 上 2 个不同的零点 分设 ,令 ,则 在 上单调递减,
,即 ,又 ,而 在 上单调递增, ,故 9 分
(3)令 在 上恒成立.
记 . 则 ,原不等式等价于 在 上恒成立.
. 当 时 单调递增,即 单调递增,
,
(i) 当 即 时, 在 上单调递增, ,不等式恒成立;
(ii) 当 即 时,存在 使得 ,即存在 使得 在 上单调递减,在 上单调递增,即在 上 ,不等式不恒成立. .
当 时, 在 上单调递增, . 即 在 上有唯一解 ,使得 , 即 时 单调递减, 时 单调递增, 而 存在 使得 ,即当 时 单调递增,当 时 单调递减,即 在 上单调递增,在 上单调递减,而 . 当 时 ,即 在 上单调递增,而 , .