湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一实验班下学期2月月考数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一实验班下学期2月月考数学试卷（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 522.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-21 00:00:00 | ||
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文档简介
湖北随州曾都一中 2026 年春高一实验班 2 月月考 数学试卷
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题目要求的.)
1. 已知角 终边上一点 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知向量 ，且 ，则 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. -2 或 -3
3. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 的面积为( )
A. B.
C. D.
4. 在钝角 中，内角 的对边分别为 ，若 ， ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 函数 的部分图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知函数 的部分图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A. 的图象关于直线 对称
B. 将 的图象向右平移 个单位长度得到的图象关于原点对称
C. 在区间 上单调递增
D. 方程 在区间 上有 5 个不等实根
7. 已知正实数 满足 ,则 的最小值为 ( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 9
8. 若定义在 上的奇函数 满足 ,对任意 ,有 ,则下列说法不正确的是 ( )
A. 函数 的图象关于点 中心对称
B. 函数 的图象关于直线 轴对称
C. 在区间 上, 为减函数
D.
二、多选题(本题共 3 小题.每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 已知函数 ,把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位长度,得到函数 的图象,则下列说法不正确的是 ( )
A. 函数 是奇函数
B. 当 时,函数 的值域是
C. 函数 图象关于直线 对称 D. 函数 在区间 上单调递增
10. 下列说法正确的是( )
A. 已知 ，则 的最小值为 6
B. 在 中,若 ,则 为钝角三角形
C. 若 是 的重心,则
D. 若 与 的夹角为 ,则 在 方向上的投影向量为
11. 已知函数 是定义在 上的奇函数， 是偶函数，当 ， ， 则下列说法中正确的有( )
A. 函数 的图象关于直线 对称 B. 4 是函数 的周期
C. D. 方程 恰有 4 个不同的根
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 已知函数 ，且 ，则实数 的值为_____.
13. 已知函数 ,其中 且 的图象过定点 ,则函数 的最大值为_____.
14. 如图,有一块扇形草地 ,已知半径为 ,现要在其中圈出一块矩形场地 作为儿童乐园使用,其中点 在弧 上,且线段 平行于线段 ,则矩形 的面积 最大值为_____.
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.)
15. 已知集合 ，集合 .
(1)求 ；
(2)已知 ，若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
16. 已知 ,函数 .
(1)求函数 的解析式及图象的对称中心；
(2)若 ，且 ，求 的值.
17. 把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是 ,室温是 ,那么 后物体的温度 (单位: ) 可由公式 求得,其中 是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数，某日室温为 20℃，上午 9 点小泽使用某品牌电热养生壶烧 1 升水 (假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致)，8 分钟后水温达到 ， 9 点18分时,壶中热水自然冷却到 .
( 1 )求 9 点起壶中水温 (单位:℃)关于时间 (单位:分钟)的函数 ；
(2)若当日小泽在 1 升水沸腾 (100°C)时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态， 已知保温时养生壶会自动检测壶内水温,当壶内水温高于临界值 40°C 时,设备不加热,当壶内水温不高于临界值 时，开始加热至 后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶 (在保温状态下) 多长时间后第二次开始加热 (结果保留整数)
(参考数据: )
18. 已知函数 .
( 1 )当 时，判断并证明函数 的单调性.
( 2 )当 时，是否存在实数 使得 对任意 恒成立？若存在，求实数 的取值范围; 若不存在,请说明理由.
19. 已知函数 .
(1)若 ,存在 ,对任意 ,有 恒成立,求 的最小值;
( 2 )若 ，且 ，求 的值.
1. A
由诱导公式和三角函数的定义可知 , 故选: A.
2. C
因为向量 ,又因为 ,
所以 ,
即 ,解得 或 .
故选: C.
3. B
由余弦定理得 ,
所以 ，
则 的面积为 .
故选: B.
4. A
因为 ,
由正弦定理得 ,
又 ,
所以 ,
即 ,
因为 为钝角三角形，则 ，
所以 ，
由正弦定理得 ,又 ,则 ， 又因为 ,由余弦定理得 .
故选: A.
5. C
,其定义域为 .
对于任意 .
所以函数 是奇函数，图象关于原点对称，故排除 D 选项；
当 时, ,所以 ,则 ;
当 时, ,所以 ,则 ,故排除 选项;
当 时, ,所以排除选项 A.
故选: C.
6. D
由题意 图象相邻对称轴间的距离为 ,可得 ,因此 ,所以
当 时, ,故 .
由 ,得 ,因为函数的最大值为 2,所以 ,
因此 .
A 选项, ,非最值,故 不是 图象的对称轴, A 错误;
B 选项， 图象向右平移 个单位长度后的解析式为 ，图象不关于原点对称, B 错误;
选项, 的单调区间长度为 ,不可能在长度为 的区间 上单调递增, 错误;
D 选项,令 ,可得 或 ,解得 或 ,
在 上,实根为 ,共 5 个, D 正确.
故选: D
7. C
因为 是正实数,且满足 ,
所以 ,所以 ,当且仅当 ,即 时等号成立,
所以 ,
即 的最小值为 8 .
故选: C
8. D
因为 ,所以 的图象关于直线 对称,故 正确;
因为函数是定义在 上的奇函数,所以函数的图象关于原点对称; 结合函数的图象关于直线 对称,
所以函数的图象关于点 中心对称,故 正确;
因为在区间 上,有 ,所以 在 上单调递增,
因为 关于 轴对称,关于点 中心对称,且在 上单调递增,
所以 在 上单调递减,故 正确;
因为 是定义在 上的奇函数,所以 ,所以 ,即
所以 ,所以 是以 4 为周期的周期函数,
又 在 上单调递增,
所以 ,故 错误.
故选: D.
9. ACD
函数 的图象沿 轴向左平移 个单位长度,
得到 ,
对于 ,可以判断 是偶函数,故 中说法错误;
对于 ,当 时, ,故 ,
所以函数 的值域为 ,故 正确;
对于 ,函数 的对称轴满足 ,也即 ,故 中说法错误; 对于 ,当 时, ,可知函数 在区间 上单调递减, 故 D 中说法错误.
故选: ACD.
10. ACD
对 ,因为 ,
当 反向共线时等号成立,故 A 正确;
对 ,由 可知 的外角为钝角,所以 为锐角,
故不能判断 为钝角三角形，故 B 错误；
对 ,由 是 的重心,可知 ,
所以 ,故 正确;
对 ,因为 与 的夹角为 , 所以 在 方向上的投影向量为 ,故 D 正确.
故选: ACD
11. ABD
对于 A: 令 是偶函数,则 ,即 , 所以 关于 对称,故 正确;
对于 : 因为 ,所以 ,
即 ,即周期 ,故 正确;
对于 C: ,
所以 ,故 错误;
对于 : 因为 ,且 关于直线 对称,
根据对称性可以作出 上的图象,
又 ,可知 关于点 对称,又可作出 上的图象,
又 的周期 ,作出 的图象与 的图象,
如图所示: 所以 与 有 4 个交点,故 正确,
故选: ABD.
12. -1 或 1
由题意得当 时, ,解得 ;
当 时, ,解得 ,
则实数 的值为 -1 或 1 .
故答案为: -1 或 1
13. 1
因为函数 ,所以当 时,又 ,所以 ,
所以点 坐标为 ,
所以 在 时取最大值 1 .
故答案为: 1 .
14.
作 ,垂足为 ,交 于 ,连接 ,
设 ,则 ,
故 ,
则 ,
因为 ,所以 ,
故 时, 取最大值 ,
即当 时, ,
即 在弧 的四等分点处时,矩形 的面积 最大, .
故答案为: .
15. .
(2)
(1) 由 ,即 ,即 ,解得 ,即
由 ,即 ,所以 ,解得 ,即 , 所以 ,则 .
(2)由 ，即 ，
因为 恒成立,解得 ,
所以 ,
由 是 的充分不必要条件,所以 是 的真子集,显然 ,
所以 (等号不同时取到),解得 , 所以实数 的取值范围是 .
16. (1)
(2)
(1)由 ,
得
令 ,则 ,
所以函数 图象的对称中心为 .
( 2 )由 得 ，化简得 ， 由 ,得 ,则 ,
所以
17.
(2)43 分钟
(1) 当 时, ,代入 ,解得 ,则 , 当 时,冷却公式为 ,代入 , 即 ,解得 ,故 ,
(2)若从 降温至 ，根据冷却公式有 ，解得 分钟， 经过 20 分钟养生壶 (在保温状态下) 开始第一次加热;
由( 1 )知，加热阶段 ，从 加热至 ，代入计算得 分钟；
从 降温至 ,代入 ,
计算得 分钟,
分钟.
分钟后养生壶 (在保温状态下) 第二次开始加热.
18. (1) 当 时, 为 上的增函数,证明如下: 任取 ,且 ,
则
,
因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,
所以 ,又 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,即 ,
所以,当 时, 为 上的单调递增.
(2)当 时， ，则 ，
原不等式可化为 ,即 对任意 恒成立,
记 ,只需 ,
因为 在 上单调递增, 在 上单调递增,
所以 在 上单调递增,所以 ,
所以 ,化简得 ,解集为 ,所以,不存在实数 满足条件.
19.
(2)
(1)依题意，
则
令
,
则 ,
因此 ,
则当 ，即 时， ；当 ，即 时， ，
由存在 ,对任意 ,有 恒成立,
得 为 的最小值， 为 的最大值，即 ，
则 ，所以 .
(2)由(1)得 ，
则
,
整理得 ,
即 ,
于是 ,
则 ,
因此 ,由 ,得 ,
则 ,即 ,所以 .
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题目要求的.)
1. 已知角 终边上一点 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知向量 ，且 ，则 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. -2 或 -3
3. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 的面积为( )
A. B.
C. D.
4. 在钝角 中，内角 的对边分别为 ，若 ， ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 函数 的部分图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知函数 的部分图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A. 的图象关于直线 对称
B. 将 的图象向右平移 个单位长度得到的图象关于原点对称
C. 在区间 上单调递增
D. 方程 在区间 上有 5 个不等实根
7. 已知正实数 满足 ,则 的最小值为 ( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 9
8. 若定义在 上的奇函数 满足 ,对任意 ,有 ,则下列说法不正确的是 ( )
A. 函数 的图象关于点 中心对称
B. 函数 的图象关于直线 轴对称
C. 在区间 上, 为减函数
D.
二、多选题(本题共 3 小题.每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 已知函数 ,把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位长度,得到函数 的图象,则下列说法不正确的是 ( )
A. 函数 是奇函数
B. 当 时,函数 的值域是
C. 函数 图象关于直线 对称 D. 函数 在区间 上单调递增
10. 下列说法正确的是( )
A. 已知 ，则 的最小值为 6
B. 在 中,若 ,则 为钝角三角形
C. 若 是 的重心,则
D. 若 与 的夹角为 ,则 在 方向上的投影向量为
11. 已知函数 是定义在 上的奇函数， 是偶函数，当 ， ， 则下列说法中正确的有( )
A. 函数 的图象关于直线 对称 B. 4 是函数 的周期
C. D. 方程 恰有 4 个不同的根
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 已知函数 ，且 ，则实数 的值为_____.
13. 已知函数 ,其中 且 的图象过定点 ,则函数 的最大值为_____.
14. 如图,有一块扇形草地 ,已知半径为 ,现要在其中圈出一块矩形场地 作为儿童乐园使用,其中点 在弧 上,且线段 平行于线段 ,则矩形 的面积 最大值为_____.
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.)
15. 已知集合 ，集合 .
(1)求 ；
(2)已知 ，若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
16. 已知 ,函数 .
(1)求函数 的解析式及图象的对称中心；
(2)若 ，且 ，求 的值.
17. 把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是 ,室温是 ,那么 后物体的温度 (单位: ) 可由公式 求得,其中 是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数，某日室温为 20℃，上午 9 点小泽使用某品牌电热养生壶烧 1 升水 (假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致)，8 分钟后水温达到 ， 9 点18分时,壶中热水自然冷却到 .
( 1 )求 9 点起壶中水温 (单位:℃)关于时间 (单位:分钟)的函数 ；
(2)若当日小泽在 1 升水沸腾 (100°C)时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态， 已知保温时养生壶会自动检测壶内水温,当壶内水温高于临界值 40°C 时,设备不加热,当壶内水温不高于临界值 时，开始加热至 后停止，加热速度与正常烧水一致，问养生壶 (在保温状态下) 多长时间后第二次开始加热 (结果保留整数)
(参考数据: )
18. 已知函数 .
( 1 )当 时，判断并证明函数 的单调性.
( 2 )当 时，是否存在实数 使得 对任意 恒成立？若存在，求实数 的取值范围; 若不存在,请说明理由.
19. 已知函数 .
(1)若 ,存在 ,对任意 ,有 恒成立,求 的最小值;
( 2 )若 ，且 ，求 的值.
1. A
由诱导公式和三角函数的定义可知 , 故选: A.
2. C
因为向量 ,又因为 ,
所以 ,
即 ,解得 或 .
故选: C.
3. B
由余弦定理得 ,
所以 ，
则 的面积为 .
故选: B.
4. A
因为 ,
由正弦定理得 ,
又 ,
所以 ,
即 ,
因为 为钝角三角形，则 ，
所以 ，
由正弦定理得 ,又 ,则 ， 又因为 ,由余弦定理得 .
故选: A.
5. C
,其定义域为 .
对于任意 .
所以函数 是奇函数，图象关于原点对称，故排除 D 选项；
当 时, ,所以 ,则 ;
当 时, ,所以 ,则 ,故排除 选项;
当 时, ,所以排除选项 A.
故选: C.
6. D
由题意 图象相邻对称轴间的距离为 ,可得 ,因此 ,所以
当 时, ,故 .
由 ,得 ,因为函数的最大值为 2,所以 ,
因此 .
A 选项, ,非最值,故 不是 图象的对称轴, A 错误;
B 选项， 图象向右平移 个单位长度后的解析式为 ，图象不关于原点对称, B 错误;
选项, 的单调区间长度为 ,不可能在长度为 的区间 上单调递增, 错误;
D 选项,令 ,可得 或 ,解得 或 ,
在 上,实根为 ,共 5 个, D 正确.
故选: D
7. C
因为 是正实数,且满足 ,
所以 ,所以 ,当且仅当 ,即 时等号成立,
所以 ,
即 的最小值为 8 .
故选: C
8. D
因为 ,所以 的图象关于直线 对称,故 正确;
因为函数是定义在 上的奇函数,所以函数的图象关于原点对称; 结合函数的图象关于直线 对称,
所以函数的图象关于点 中心对称,故 正确;
因为在区间 上,有 ,所以 在 上单调递增,
因为 关于 轴对称,关于点 中心对称,且在 上单调递增,
所以 在 上单调递减,故 正确;
因为 是定义在 上的奇函数,所以 ,所以 ,即
所以 ,所以 是以 4 为周期的周期函数,
又 在 上单调递增,
所以 ,故 错误.
故选: D.
9. ACD
函数 的图象沿 轴向左平移 个单位长度,
得到 ,
对于 ,可以判断 是偶函数,故 中说法错误;
对于 ,当 时, ,故 ,
所以函数 的值域为 ,故 正确;
对于 ,函数 的对称轴满足 ,也即 ,故 中说法错误; 对于 ,当 时, ,可知函数 在区间 上单调递减, 故 D 中说法错误.
故选: ACD.
10. ACD
对 ,因为 ,
当 反向共线时等号成立,故 A 正确;
对 ,由 可知 的外角为钝角,所以 为锐角,
故不能判断 为钝角三角形，故 B 错误；
对 ,由 是 的重心,可知 ,
所以 ,故 正确;
对 ,因为 与 的夹角为 , 所以 在 方向上的投影向量为 ,故 D 正确.
故选: ACD
11. ABD
对于 A: 令 是偶函数,则 ,即 , 所以 关于 对称,故 正确;
对于 : 因为 ,所以 ,
即 ,即周期 ,故 正确;
对于 C: ,
所以 ,故 错误;
对于 : 因为 ,且 关于直线 对称,
根据对称性可以作出 上的图象,
又 ,可知 关于点 对称,又可作出 上的图象,
又 的周期 ,作出 的图象与 的图象,
如图所示: 所以 与 有 4 个交点,故 正确,
故选: ABD.
12. -1 或 1
由题意得当 时, ,解得 ;
当 时, ,解得 ,
则实数 的值为 -1 或 1 .
故答案为: -1 或 1
13. 1
因为函数 ,所以当 时,又 ,所以 ,
所以点 坐标为 ,
所以 在 时取最大值 1 .
故答案为: 1 .
14.
作 ,垂足为 ,交 于 ,连接 ,
设 ,则 ,
故 ,
则 ,
因为 ,所以 ,
故 时, 取最大值 ,
即当 时, ,
即 在弧 的四等分点处时,矩形 的面积 最大, .
故答案为: .
15. .
(2)
(1) 由 ,即 ,即 ,解得 ,即
由 ,即 ,所以 ,解得 ,即 , 所以 ,则 .
(2)由 ，即 ，
因为 恒成立,解得 ,
所以 ,
由 是 的充分不必要条件,所以 是 的真子集,显然 ,
所以 (等号不同时取到),解得 , 所以实数 的取值范围是 .
16. (1)
(2)
(1)由 ,
得
令 ,则 ,
所以函数 图象的对称中心为 .
( 2 )由 得 ，化简得 ， 由 ,得 ,则 ,
所以
17.
(2)43 分钟
(1) 当 时, ,代入 ,解得 ,则 , 当 时,冷却公式为 ,代入 , 即 ,解得 ,故 ,
(2)若从 降温至 ，根据冷却公式有 ，解得 分钟， 经过 20 分钟养生壶 (在保温状态下) 开始第一次加热;
由( 1 )知，加热阶段 ，从 加热至 ，代入计算得 分钟；
从 降温至 ,代入 ,
计算得 分钟,
分钟.
分钟后养生壶 (在保温状态下) 第二次开始加热.
18. (1) 当 时, 为 上的增函数,证明如下: 任取 ,且 ,
则
,
因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,
所以 ,又 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,即 ,
所以,当 时, 为 上的单调递增.
(2)当 时， ，则 ，
原不等式可化为 ,即 对任意 恒成立,
记 ,只需 ,
因为 在 上单调递增, 在 上单调递增,
所以 在 上单调递增,所以 ,
所以 ,化简得 ,解集为 ,所以,不存在实数 满足条件.
19.
(2)
(1)依题意，
则
令
,
则 ,
因此 ,
则当 ，即 时， ；当 ，即 时， ，
由存在 ,对任意 ,有 恒成立,
得 为 的最小值， 为 的最大值，即 ，
则 ，所以 .
(2)由(1)得 ，
则
,
整理得 ,
即 ,
于是 ,
则 ,
因此 ,由 ,得 ,
则 ,即 ,所以 .
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