湖北襄阳市第四中学2025-2026学年高一下学期三月学情质量检测数学试题（含解析）

襄阳四中 2025 级高一下学期三月学情质量检测 数学试题
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知 ,则与 方向相同的单位向量是( )
A. B. C. D.
2. 已知 为共线向量,且 ,则 ( )
A. B. C. 40 D.
3. 如图所示，已知在 中， 是线段 上的靠近 的三等分点，则 ()
A. B. C. D.
4. 已知向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则 等于( )
A. 3 B. C. 21 D.
5. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知 . 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 如图,圆 内接边长为 1 的正方形 是弧 (包括端点) 上一点,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知向量 ，若 与 的夹角不超过 ，则 的范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求)
9. (多选) 已知 为非零向量,则下列命题中正确的是 ( )
A. 若 ,则 与 方向相同
B. 若 ,则 与 方向相反
C. 若 ,则 与 模相等
D. 若 ,则 与 方向相同
10. 已知向量 ，则())
A. B. ,使得
C. ,使得 D. ,使得
11. 如图,在 中, 交 于点 ,且 ,则 ( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 的最小值为
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知两个单位向量 的夹角为 ,该平面内 ,则 _____.
13. 已知 是 内一点,且 ,点 在 内 (含边界),若 ，则 的最小值是_____.
14. 已知点 是半径为 4 的圆 内一点， 为圆 上任意两点，当 取得最大值时, _____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分)
15. 已知 .
(1) 求 的值;
(2)求 的值.
16. 已知 ,记 在 方向上的投影向量为 .
(1)求 的值；
(2)若向量 与 的夹角为锐角,求实数 的取值范围.
17. 在 中， ， ，且 .
(1)求角 的值.
(2) 求 的最大值.
18. 如图，在平行四边形 中， 为 的中点， ， 分别为 ， 的一个三等分点，点 靠近点 ，点 靠近点 ，记 ， .
(1)把 放到平面直角坐标系 中，若 ， ，求点 的坐标；
(2)用 表示 ；
(3)若 ，求 .
19. 如图 1,已知四边形 为菱形, 为 的外心.
图1
(备用图)
(1)求 的值；
(2)点 在以 为圆心， 1 为半径的圆上运动，
①已知点 是点 关于点 的对称点，求 的取值范围；
②已知点 为边 的中点，且存在实数 ，使得 ，求出当 最大时的 的值.
1. C
,
,
,
的单位向量为 ,故 C 正确.
故选: C.
2. A
: 为共线向量, ,即 ,
.
故选: A.
3. B
因 是线段 上的靠近 的三等分点,则 .
4. D
,
.
故选: D.
5. D
由
6. A
由题设 ,可得 .
故选: A
7. C
方法一: 如图 1,以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴,建立平面直角坐标系,则 .
设 ,则 . 因为 ,所以 .
由题意知,圆 的半径 . 因为点 在弧 (包括端点) 上,
所以 ,所以 的取值范围是 .
图1
图2
方法二: 如图 2,连接 . 易知 ,
设 ,则 .
由已知可得 ,所以 ,
所以
.
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 ,即 的取值范围是 .
故选: C.
8. A
由题意设 ,得 ,且 ,
因为 ,在单位圆上取 ,
因为 与 的夹角不超过 ,
所以 ,
所以
,
又 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,
故 的范围是 ,
故选: A
9. ABD
如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当 不共线时, 根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有 . 当 同向时有 ,所以 A, D 正确, C 错误. 当 反向时有 ,所以 正确.
故选: ABD.
10. BD
对于 ,因为 ,若 ,则 ,无解,故 错误; 对于 ,因为 ,若 ,则 ,即 ,故 正确;
对于 ,因为 ,
若 ,则 ,解得 ,不合题意,故 错误;
对于 ,因为 ,所以 ,
由 ,整理得 ,解得 ,故 正确.
11. ABD
如图,
取 的中点 ,连接 ,则 ,且 ,所以 ,且 , 所以 ,所以 ,即 .
对于 ,故 选项正确;
对于 ,故 选项正确;
由 ,可得 ,
即 ,
即 ,所以 ,
当且仅当 ,即 时,
取得最小值为 ,故 选项错误, 选项正确.
故选:ABD
12.
由题意得 ,
.
13.
假设 是 的重心,延长 交 于点 ,
则有 ,设 ,则 ,
则 ,即 ,易得 方向相反,且模长相等,
所以 ,即 ,假设成立,即 是 的重心,
因为 是 的重心,所以 到 的距离是 到 的距离的 倍,
延长 交 于点 ,如图:
设 ,因为 到 的距离是 到 的距离的 倍,
易得当 与 重合时, 取最小值 ,
三点共线,由三点共线定理得 ,
则 ,
即 ,
所以 的最小值为 .
14. 2
如图,
取 中点为 ,连接 ,则 ,且 ,
设 为 和 的夹角,则
,
且 ,
当且仅当 时,即 与 反向时等号成立,
因 ,
,则当 时, 有最大值,
此时 三点共线.
于是 共线且点 在点 与 之间,故 .
15.
(2)
( 1 ) , .
(2) ，
16.
(2) 且
( 1 ) 与 的夹角为 ,
在 方向上的投影向量 .
(2) 与 的夹角是锐角，
,且 与 不能同向共线,
即 ,
当 与 同向共线时,设 ,得 .
且 .
17.
(2)2
(1)由 ,且 ,
得 ,整理得 ,
则 ,在 中， ，则 ，即 ，
而 ,所以 .
(2)依题意，
，
由 ，得 ，则 ，
则当 ，即 时， 有最大值 2 .
18.
(2)
(3)
(1)设 ，
由题意得 ,
所以 ,解得 ,
即点 的坐标为 .
(2)由题意得 ，
所以 ,
(3)由题意得 ， ，
所以
.
所以
所以
所以
19. (1)16
(2)① ；②
( 1 )解:方法一、已知四边形 为菱形，且 ，可得 为等边三角形,
因为 为 的外心,即 为 的中心,,
又因为 ，可得 ，且 ，因为 ，所以 ， 所以 .
方法二、以 为原点， 为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
因为四边形 为菱形,且 ，可得 为等边三角形，
则 ,
所以 ;
(2)解:①以 为原点， 为 轴，建立平面直角坐标系，可得 ，
因为点 在以 为圆心,1 为半径的圆上运动,故设 ,
则 ,
所以 ,
令 ,则 ,
所以 ,则 ,
所以 ;
方法二: 当 共线时, 取得最小值 8,
在 中， ，
在 中, ,
所以 ,所以 ,
因为 ,
所以 (当且仅当 时等号成立).
所以 ;
②以 为原点， 为 轴，建立平面直角坐标系，可得 ，
由 ,
又由 ,
所以
因为 ，
所以 ,且 ,
所以 ,代入 ,
可得 ,
整理得 ,
显然 ,两边同时除以 ,可得 , 令 ,可得 ,
即 ，(★)
所以 ,即 ,
解得 ,所以 (即 ) 的最大值为 .
此时 ,式子 有两个相等的根,所以 ,
所以 .