湖北省黄冈市蕲春县第一高级中学2026届高三下学期开学测试数学试题（含解析）

蕲春一中 2026 届高三年级下学期开学测试数学试题
一、单选题
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 若复数 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知向量 满足 ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 函数 的图象是( )
A.
B.
C.
D.
5. 记 为数列 的前 项积,已知 ,则 ( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
6. 甲、乙、丙 3 人去食堂用餐,每个人从 这 5 种菜中任意选用 2 种,则 菜有 2 人选用、 菜有 1 人选用的情形共有( )
A. 54 B. 81 C. 135 D. 162
7. 过 作直线 交圆 于另一点 ,连接 和 的直线交椭圆 于另一点 ,设直线 的斜率分别为 ,则( )
A. B. C. D.
8. 若函数 满足 ,设 的导函数为 ,当 时, ,则
A. 65 B. 70 C. 75 D. 80
二、多选题
9. 下列选项中,正确的是 ( )
A. 不等式 的解集为 或
B. 不等式 的解集为
C. 不等式 的解集为
D. 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件
10. 如图,透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水,固定容器一边 于地面上, 再将容器倾斜, 随着倾斜度的不同, 有下面几个结论, 其中正确的命题有 ( )
(1)
(2)
(3)
A. 没有水的部分始终呈棱柱形
B. 水面 所在四边形的面积为定值
C. 随着容器倾斜度的不同, 始终与水面所在平面平行
D. 当容器倾斜如图 (3) 所示时, 为定值
11. 已知函数 的图像关于 对称，则( )
A. 在 上单调递减
B. 在 上有两个极值点
C. 直线 是 的对称轴
D. 直线 是 的切线
三、填空题
12. 从 中任取两个不同的数,分别记为 ,记 " "，则 _____.
13. 在三棱锥 中,对棱 ，则该三棱锥的外接球体积为_____，内切球表面积为_____.
14. 在四边形 中,已知 ,若 两点关于 轴对称,则 _____.
四、解答题
15. 在 中，角 的对边分别为 ，已知
(1)求证: ；
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围.
16. 如图,三棱柱 中,底面 是边长为 2 的正三角形， ， 为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 进行独立重复试验,设每次成功的概率为 ,则失败的概率为 ,将试验进行到恰好出现 次成功时结束试验,以 表示试验次数,则称 服从以 为参数的帕斯卡分布或负二项分布,记为 .
(1)若 ,求 ;
(2)若 .
① 求 ；
②要使得在 次内结束试验的概率不小于 ，求 的最小值.
18. 设双曲线 的右焦点为 到其中一条渐近线的距离为 2 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过 的直线交曲线 于 两点 (其中 在第一象限),交直线 于点 ,
(i) 求 的值;
(ii) 过 平行于 的直线分别交直线 轴于 ,记 ,求实数 的值.
19. 设 . 已知函数 在 处的切线方程为
(1)求 的值；
(2)当 时,不等式 是否恒成立,若是,给予证明; 若否, 给出反例.
(3)证明:若正实数 满足 ，则必有 .
1. C
根据题意,集合 表示从 -1 开始的奇数的集合,即 ,
.
故选: C.
2. B
由题 ,故 , 故 ,
所以 .
故选: B.
3. C
解: 因为 ,
所以, ,
所以, .
又 ,
所以 .
故选: C
4. C
令 ,
解得 或 ,即函数有 2 个大于 0 的零点,排除 BD 选项;
又当 时, ,故可排除 A 选项.
故选: C
5. D
1. 当 时, ;
2. 当 时,有 ,代入 ,得 ,
化简得: ,则 .
故选: D
6. C
菜有 2 人选用有 种,比如甲、乙选用了 菜,
①甲、乙之中有 1 人选用了 菜，有 种，比如甲用了 菜，则乙从 中任意选用 1 种,有 种,丙从 中任意选用 2 种,有 种,故共有
②丙选用了 菜，丙再从 中任意选用 1 种，有 种，甲、乙再从 中各任意选用 1 种,有 种,故共有
由①②可知所有情形是 .
故选:
7. A
设 的斜率为 ,因为 ,
所以 为圆 的直径,所以 ,
设 的坐标为 ,所以 ,
所以 ,故 .
故选: A.
8. A
由 ,知函数关于 点对称, 结合当 时, ,作出函数图象如图,
为向上攀爬的类周期函数,由图象可得 ,
由 可得 ,
由 可得 ,
所以 ,则有 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
故选:A.
9. ABD
A 选项, 或 , A 正确;
B 选项， ，B 正确；
选项， 或 ，即 或 ，C 错误；
D 选项， ， ，而 是 的真子集, 正确.
故选: ABD.
10. AD
由于 始终在桌面上,因此倾斜过程中,没有水的部分,是以左右两侧的面为底面的棱柱, A 正确;
图(2)中水面面积比(1)中水面面积大， 错；
图(3)中 与水面就不平行， 错；
图(3)中，水体积不变，因此 面积不变，从而 为定值， 正确.
故选: AD.
11. BCD
因为函数 的图像关于 对称,
所以 即 ,又 ,所以 ,
所以 ,
令 ,又 ,所以 ,所以 不单调,故 A 错误;
因为 ,所以 ,所以 有两个极值点,故 正确;
因为 ,所以直线 是 的对称轴,故 正确;
因为 ,令 ,即 ,
所以 或 ,
解得 或 ,又 ,
所以 时的切线方程为 ,即 ,
所以直线 是 的切线,故 D 正确.
故选: BCD.
12.
因为 ,所以 或 ,
从 中任取两个不同的数,共可得到 取法,
其中对数值为负数的有 个,
所以 .
故答案为: .
13.
因为三棱锥 每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥 放入长方体中， 设长方体的长、宽、高分别为 ,如下图所示:
则 ,解得 ,
外接球直径 ,其半径为 ,
三棱锥 的体积 ,
在 中, ,取 的中点 ,连接 ,如下图所示:
则 ,且 ，所以， ，
因为三棱锥 的每个面的三边分别为 、 、 ，
所以,三棱锥 的表面积为 ,
设三棱锥 的内切球半径为 ，则 ，可得 ，
所以该三棱锥的外接球体积为 ,内切球表面积为 .
故答案为: .
14. 3
解: 设 ,由 得 ,
当点 在 轴上方时, ,故有
当点 在 轴下方时, ,故有
两者都有 ,所以
则 ,化简得
的顶点 的轨迹方程为
由 ,设 ,得点 的轨迹方程为
,把圆 沿 轴翻折得到 ,
与 联立消元 ,得到
解得 或 (舍去),所以
故答案为: 3
15.(1) 由余弦定理 ,
代入 得 ，则 ，
由正弦定理得
所以 ,
所以 ,
得
由 知 ,故 ,
所以 或 (舍去)
所以
(2)解法 1: ，由 得 ， 所以 ,
由 ,得 ,
所以 ,
所以 ,即 ;
解法 2: 由 得 ,
因为 ,所以 ,得 ,
所以 ,即 ,
所以 .
16. (1)因为 ，
所以 ,
所以 ,又因为 平面 ,
所以 平面 ;
(2)以 为原点， 直线为 轴，在平面 内过点 与 垂直的直线为 轴，直线 为 轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则 ,
所以 ,
所以 .
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 ,
所以平面 的一个法向量为 ,
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17.
(2)① ；② 5
【(1) 因为 ,所以 .
(2)①因为 ，
所以 ,
所以
;
② 由 ① 可知 ，所以 ，
令 ,则 ,
所以 单调递减,又 ,
所以当 时 ,则 的最小值为 5 .
18.
(2) (i) 1; (ii) -2
(1) 因为 到其中一条渐近线的距离为 ,所以 ,
又 ，所以 ，
所以双曲线 的方程为 ;
(2)设 直线方程为 ，则
代入双曲线方程得: .
设 ,则 ,
(i) ,
而
,
所以 ,则 , 所以 ;
(ii) 过 平行于 的直线方程为 ,
直线 方程为 与 联立
得 ,
即 ,
则 ,
所以 ,
由 两式相除得
,则 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
故 为线段 的中点,即 ,
所以 .
19. (1) 设
则函数 在 处的切线方程为
即
与 对照,知 且
所以
(2)由(1)知
结论: 当 时,不等式 恒成立
证明: 由
推得 .
设 ,则 ,
令 ,当 时,
所以 在 上单调递增,又
故 ,所以 .
所以 在 上单调递增,又
所以
而
设
则 ,令
所以 在 上递增,又
即 ,
所以 在 上递增,又
所以 ,即
所以
(3)因为 上递增，
故当 时,必有
由(2)知当 时，
所以
当 时,有 ,即
设 ,对称轴
欲证 ,只需证
即证 ,
即证 ,即证 ,成立,所以
又由(2)知
所以
当 时,有 ,即
设 在 递增
欲证 ,只需证
即证 ,
即证
即证 ,即证
即证 ,即证 成立,所以 .
综上， .