湖北省黄冈市黄梅县第一中学2026届高三下学期开学考试数学试题（含解析）

2026 届高三下学期开学考试数学试卷
学校:_____ 班级:_____ 考号:_____
一、单选题
1. 已知集合 ，集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. “ 为第一象限角”是 “ ”的( )
A. 充要条件 B. 既不充分又不必要条件
C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件
3. 函数 的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
4. 若 ，则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
5. 已知 是两个不同的平面, 是两条不同的直线,以下判断正确的是 ( )
A. 若 ，则 是异面直线
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
6. 下列说法中,错误的有( )
①回归直线 恒过点 ,且至少过一个样本点;
②根据 列联表中的数据计算得出 ，而 ，则有 99% 的把握认为两个分类变量有关系, 即有 1%的可能性使得“两个分类变量有关系” 的推断出现错误;
③在做回归分析时，可以用决定系数 刻画模型的回归效果，若 越大，则说明模型拟合的效果越好;
④某项测量结果 服从正态分布 ,若 ,则
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
7. 如图, 向一个高为 4 且底面水平放置的正四棱锥容器注水, 水面高度为 2 时停止注水(不考虑容器厚度)，将此四棱锥容器倒置时，水面高度为( )
A. B.
C. D. 3
8. 如图,双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线交 的左支于 两点,若 成等差数列,且 ,则此双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
9. ,在 上单调递增,且 为它的一条对称轴, 是它的一个对称中心,当 时, 的最小值为( )
A. B. C. D. 0
二、填空题
10. 已知复数 ，其中 为虚数单位，则 _____.
11. 已知 的展开式中，第 4 项系数与第 6 项系数之比为 5:6,则 _____.
12. 已知圆 与直线 ,若直线 与圆 相交于 两点，且 为等边三角形，则 _____.
13. 如图，在 中，点 ， 在边 上，且 ，点 ， 分别在线段 上,且 ,直线 交 于点 ，且 ，则 _____. 若直线 交 于点 且 是边长为 2 的等边三角形，则 _____.
14. 学校食堂为了减少排队时间,从开学第 1 天起,每餐只推出即点即取的 套餐和 套餐. 某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐,若他
前 1 天选择了 套餐，则第 2 天选择 套餐的概率为 ；若他前 1 天选择了 套餐,则第 2 天选择了 套餐的概率为 . 已知他开学第 1 天中午选择 套餐的概率为 ,则第 2 天选择 套餐的概率为_____，设开学 4 天后，他累计选 套餐的天数为 ,则 _____.
15. 已知 ,函数 若对任意 恒成立，则 的取值范围是_____.
三、解答题
16. 在 中,内角 所对的边长分别是 ,且
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的面积的最大值.
17. 长方体 中， 分别为 中点，且 .
(1)求证: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值，
(3)求点 到平面 的距离.
18. 已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆 的左、右顶点分别为 两点，直线 交椭圆 于 两点(点
异于点 ),直线 的斜率分别为 ,且 . 证明: 直线 过定点.
19. 已知数列 的前 项和为 ,对任意 ,
(1)证明: 为等比数列，并求出数列 的通项公式.
(2)设数列 ，其中 ，设 .
(i) 求 的值;
(ii) 设 ,求使得 成立的最大正整数 的值. (其中符号 表示不超过 的最大整数)
20. 已知函数 .
(1) 是否可以为 的极值点 请说明理由;
(2)若函数 有三个极值点 .
(i) 求 的取值范围;
(ii) 若 ,求 的最小值.
1. C
由题意可知 ,则 ,
所以 ,
故选:
2.
因为 为第一象限角,所以 ,
,所以 ,
而 ,则 ,
则 为第一、三象限角,
所以 推不出 为第一象限角,
所以“ 为第一象限角”是 “ ” 的充分不必要条件.
故选: C.
3. B
当 ,
所以该函数是奇函数, 图象关于原点对称, 排除 AD.
当 时, ,可以排除 .
故选: B
4. B
,则 ,
,
而 ,即 ,
则 .
故选: B.
5. C
对于 A: 如图: 在长方体中, ,但 ,故 A 错误;
对于 B: 如图: 在长方体中, ,但 ,故 B 错误;
对于 : 因为 ,所以 ,又因为 ,所以 ,故 正确; 对于 : 如图: 在长方体中, ,但 ,所以 错误;
故选:
6. A
对于①,回归直线 恒过点 ,不一定过样本点,故①错误; 对于②,根据 列联表中的数据计算得出 ,而 , 则有 99% 的把握认为两个分类变量有关系,
即有1% 的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，故②正确；
对于③，在做回归分析时，可以用决定系数 刻画模型的回归效果，
若 越大,则说明模型拟合的效果越好,故③正确;
对于④,某项测量结果 服从正态分布 ,若 ,
则 ,故④正确.
可得四个命题中, 错误的有 1 个, 故 A 正确.
故选: A
7. A
设正四棱锥的底面边长为 ,因为注水四棱台部分的高为 2,四棱锥的高为 4,
所以注水四棱台的上底边长为 ,体积 ,
设注水四棱锥的水面高度为 ,底面边长为 ,则 ,所以 ,
所以注水四棱锥部分的体积 ,
因为 ,即 ,解得 ,
故选: A.
8. C
设 ,则 ,令 ,即 .
因为 成等差数列,所以
代入得: ，解得 ，则 .
所以 ，
在 中,
即
化简可得: .
所以 .
因为 ,所以 ,
所以 .
所以
求得: ,
所以 .
故选: C.
9. C
因为函数 在 上单调递增,且 为它的一条对称轴,
所以 时函数取最大值,又因为 是它的一个对称中心,
所以 ,
设 的最小正周期为 ,由正弦函数的对称性可知 ,
即 ,所以 ,
又 在 上单调递增,则 ,
所以 ,解得 ,又 ,所以 ,
则 , ,又因为 ,所以 时, ,
所以 ,
当 时, ,
由正弦函数的单调性可知 .
故选: C.
10.
因为 ,所以 ,故 . 故答案为: .
11. 6
二项式 的展开式的第 项为: , 所以第 4 项的系数为 ,第 6 项的系数为 .
又第 4 项系数与第 6 项系数之比为 5 :6,
所以 ,所以 ,
整理可得 ,
由题意可知 且 ,故 .
故答案为: 6 .
12.
由圆 ,得 .
所以圆心 的坐标为 ,半径 .
因为 为等边三角形，所以 .
所以圆心 到直线 的距离为 .
即 ,所以 .
故答案为: .
13.
由 ,可得 为 的中点,则 ,
因为 ,且 ,
可得 ,即 ,
又因为 三点共线,可得 ,解得 ,即 ,
设 ,因为点 为 的中点,可得 ,
所以 ,即 ,
因为 三点共线,可得 ,解得 ,
即 ,所以点 为 的中点,所以 ,
设 ,
由 ,
可得 ,即 ,
又因为 三点共线,可得 ,解得 ,
即 ,所以 ,
又由 ,
又因为 是边长为 2 的等边三角形，
所以
.
故答案为: .
14.
设 “第 天选择 套餐” ，则 “第 天选择 套餐”，
根据题意 ,
由全概率公式,得 ;
设 “第 天选择 套餐” ，
则 ,
由全概率公式,得 ,
即 ,
则 ,
则 .
15.
分类讨论: ① 当 时, 即: ,
整理可得: ,
由恒成立的条件可知: ,
结合二次函数的性质可知:
当 时, ,则 ;
② 当 时， 即: ，整理可得: ，
由恒成立的条件可知: ,
结合二次函数的性质可知:
当 或 时， ，则 ；
综合①②可得 的取值范围是 ，故答案为 .
点睛: 对于恒成立问题,常用到以下两个结论: 恒成立 恒成立 min. 有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法. 一般从:①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.
16.
(2)
(1)由 ,
由于 ,所以 ,
又因为 ,所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,即 ,
故 ;
(2)因为 ， ，所以由余弦定理可得:
由基本不等式可得: ,所以 ,
当且仅当 取等号,
则 的面积 ，
故 的面积的最大值为 .
17.(1)连接 ，如图所示:
因为 为 中点,且 ,
在直角 中,可得 ,
在直角 中,可得 ,
在直角 中，可得 ，
所以 ,所以 ,
在长方体 中,可得 平面 ,
因为 平面 ,所以 ,
又因为 分别为 的中点,
可得 ,所以 ,
因为 ,且 平面 ,
所以 平面 .
(2)以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，
因为 ，可得:
则 ,
由 平面 ,所以向量 为平面 的一个法向量,
设直线 与平面 所成角为 ,
所以 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(3)由 ，则
又平面 的一个法向量为 ,
所以 到平面 的距离为:
18. (1) 因为椭圆 过点 ,
又离心率为 ,
所以椭圆 的方程为 ;
(2)由条件可得直线 的斜率不为 0，故设直线 方程为 ， ， ，
由 消去 ,得 ,
方程 的判别式
,
又因为 ,
点 在椭圆 上,则 ,
由 ,得 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
即 或 (舍去),
故直线 方程为 ,所以直线 过定点 .
19. (1)任意 ， ①，
当 时， ，解得 ；
当 时, ②,
由①-②得 ,即 ,
故数列 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,
则 .
(2)(i)由(1)可得 ，则 ，
当 时, ,
可知数列 的对应项构成以 为首项,以 为公差的等差数列,
,
.
(ii) ,
下证当 时, :
① 显然 恒成立，
② ，
,
,
,故 ,
,
,即
又 ,
因此满足不等式的最大正整数 .
20. (1)不可以，理由见解析
(2) (i) ; (ii)
【分析】(1) 根据极值点的定义即可求解;
(2)(i)对 进行求导得 ，由题意可得方程 有两个根,这两个根都不能等于 0 或 1,令 ,研究函数 的单调性,求出 的范围,再排除零点为 0 或 1 的情况,即可求出答案;
(ii) 由 (i) 知 中有一个为 1,不妨设 ,令 ,根据题意可得 ,令 ,求出 ,结合题目信息可得 ,代入求出 的取值范围,进而得到 的范围,进而求出 的范围,即可求出答案.
【详解】(1) 由题意知, ,
若 为 的极值点,则 ,解得 ,
当 时, ,
令 ,则 ,
易知 为增函数,且 ,
当 时, ,故 在 上单调递减,
当 时, ,故 在 上单调递增,
故 ,
所以 在 上单调递增,此时函数无极值点,
与 为 的极值点矛盾,
所以 不可以为 的极值点.
(2)(i)由题意知 ，定义域为
则 ,
因为函数 有三个极值点 ,
则其中一个极值点为 1,且方程 有两个根,这两个根都不能等于 0 或 1, 令 ,即函数 有两个零点,这两个零点都不能等于 0 或 1,
则 ,
当 时, ,
所以函数 为增函数,
此时 至多一个零点,不符合题意;
当 时,令 ,解得 ,
当 时， ，故 在 上单调递减，
当 时, ,故 在 上单调递增,
若函数 有两个零点,
则 ,解得 ,
当 时， ，则函数 在 上有一个零点，
当 ,则函数 在 上有一个零点,
若 是函数 的零点,则 ,不满足 ,
故 不是函数 的零点,
若 是函数 的零点,则 ,
则 ,
综上所述， 的取值范围为 .
(ii) 由 (i) 知 中有一个为 1,不妨设 , 则 ,可化为 ,
由 (i) 知 是 的根,且 , 则 ,令 ,
则 ,
可化为 ,两式相除可得 ,
令 ,则 ,
联立 ,解得 ,
由 ,不等式 可化为 ,
则 ,
令 ,则 ,
令 ,则 ,
则 在 上单调递增,则 ,
即 ,所以 在 上单调递增,
又 ,所以 ,
则 ,
令 ,
所以 在 上单调递减,
则 ,即 ,
则 在 上单调递减,则 ,
由 得 ,
对函数 求导得 ,
则函数 在 上单调递减,
则当 时,函数 取得最小值,最小值为 ,
则 ,即 ,
所以 的最小值为 .