湖北省黄冈市蕲春县第一高级中学2026届高三2月月考数学试题（含解析）

蕲春一中 2026 届高三数学 2 月份月考试卷
一、单选题
1. 已知集合 ，则 ()
A. B.
C. D.
2. 已知 ,则 ( )
A. 3 B. 9 C. 27 D. 81
3. 若 为直线， 为两个平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
4. 由动点 向圆 引两条切线 ,切点分别为 ,若四边形 为正方形, 为原点,则线段 的最大值是 ( )
A. 3 B. 5 C. D. 7
5. 下列说法中正确的是( )
A. 一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第 60 百分位数为 14
B. 在线性回归方程 中，变量 每增加 1 个单位， 平均减少 0.5 个单位
C. 若随机变量 满足 ,则
D. 若随机变量 服从正态分布 ,且 ,则
6. 设 为等差数列 的前 项和. 已知 ,则( )
A. 为递减数列 B. 数列 为递增数列 C. 为递增数列
D.
7. 已知 为单位向量，则 “ ”是 “ 与 的夹角是钝角” 的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不条件
8. 设 分别为双曲线 的左、右顶点, 是双曲线 上关于 轴对称的不同两点,设直线 的斜率分别为 ,则 取得最小值时,双曲线 的离心率为 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 已知 为复数,下列说法正确的是 ( )
A.
B.
C. 若 是方程 的两根,则
D. 若 ,则
10. 如图，正方体 的棱长为 1,且 分别为 的中点，则下列说法正确的是( )
A. 平面
B.
C. 三棱锥 的体积为
D. 点 到平面 的距离为
11. 已知函数 的部分图象如图,则 ( )
A. 函数 为奇函数
B. 在 上单调递增
C. 若 ,则 的最小值为
D. 若 ,函数 在 上有 2 个零点,则
三、填空题
12. 二项式 的展开式中常数项为-20,则含 项的系数为_____. (用数字作答)
13. 某中学有两个班, 其中甲班科技课外兴趣小组有 6 人 ( 4 男 2 女 ), 乙班科技课外兴趣小组有 6 人 ( 3 男 3 女)，学校准备从这两个班的科技课外兴趣小组中随机挑选 2 个学生参加全市科技竞赛. 已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率_____.
14. 已知 ,若方程 有 3 个实数解,则实数 的取值范围是_____. 若 ，都有 ，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题
15. 记 的三个内角分别为 ，其对边分别为 ，分别以 为边长的三个正三角形的面积依次为 ,且 .
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 .
16. 如图,已知椭圆 ,记 分别是 的左、右焦点， 是 的上顶点,连接 并延长交椭圆于点 ,过 作 轴的垂线交椭圆于另一点 ,连接 .
(1)若 ， ， ，求 ；
( 2 )若点 的坐标为 ，且 ，求直线 的斜率.
17. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，且 ， ， 为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在,求出 的值; 若不存在,说明理由.
18. 已知函数 .
( 1 )若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求实数 的值；
(2)若 在 上恒成立,求整数 的取值集合;
(3) 求证: .
19. 某人工智能研发公司为了开拓新产品市场,从最新研发的经典 型和卓越 型两款机器人中(卓越 型是 型的优化版)，随机各抽取 30 台进行越野驾驶性能对比测试，测试在同等环境中进行，评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据:经典 型优秀为 7 台， 卓越 型优秀为 20 台.
(1)完成下面 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析两款机器人的测试结果是否与越野驾驶性能优化有关.
款类 测试结果 总计
优秀 良好
型 20 30
型 7 30
总计
(2)该公司为了进一步测试卓越 型机器人的汉语智能性能，组织机器人队与人类队(母语为汉语)进行诗词抢答赛，每局比赛只有胜和负两种情况(无平局)，每局人类战胜机器人的概率为 ,胜者记 2 分,负者记 1 分. 每个挑战者只能挑战一局,每局胜负不受其他因素的影响.
(i) 求三局比赛中,人类队累计得分 的分布列和数学期望;
(ii)若采用“比赛赛满 局,胜方至少获得 局胜利”的赛制,人类队取胜的概率为 ; 若采用“比赛赛满 局,胜方至少获得 局胜利”的赛制,人类队取胜的概率为 ,比较 与 的大小,并说明其统计意义.
参考公式:
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
1. C
由 或 ,又 ,
故选:
2.
,
所以 ,则 ,解得 .
故选: C.
3. C
对于 ,若 ,则 与 平行或异面,故 错误;
对于 ,若 ,则 ,故 错误;
对于 ,若 ,则 ,故 正确;
对于 ,若 ,则 与 平行或相交,故 错误.
故选: C.
4. D
由圆 ,可得圆心 ,半径 ,
又由动点 向圆 引两条切线 ，切点分别为 ，若四边形 为正方形，
所以 ,可得 ,
所以点 的轨迹方程为 ,
即点 轨迹是以 为圆心,半径为 的圆,
又由 ,所以 的最大值为 . 故选: D.
5. D
对于 ,由于 ,所以第 60 百分位数为 ,故错误;
对于 ,线性回归方程 中,变量 每增加 1 个单位, 平均增加 0.5 个单位,故错误;
对于 ,故错误;
对于 ,随机变量 服从正态分布 ,且 ,故 , 所以 ,故正确.
故选: D
6. C
因为数列 为等差数列,所以 ,所以 .
所以 .
所以 .
所以 为递增数列,故 错, 正确;
又当 时， . 所以当 时， 单调递减，故 B 错误；
因为 ,故 错误.
故选:
7. B
单位向量 ,由 ,得 ,解得 , 则 ,因此 ,
所以“ ”是“ 与 的夹角是钝角”的必要而不充分条件.
故选: B
8. D
设 ,则 ,
,即 ,
设 ,则 ,
时, 递减, 时, 递增,
所以 时, 取得最小值,
此时 .
故选: D.
9. AC
选项 A、B: 设 ,则
,
,
,故 正确;
,
,
,
,故 B 错误;
选项 C: 已知 是方程 的两根,
由韦达定理得 ,
,故 C 正确;
选项 D: 令 ,满足 ,
但 ,故 ,
不能推出 ,故 错误.
故选: AC.
10. ABD
对 选项，如图,连接 ,则 为 中点,
又 为 的中点，所以 ，
又 平面 平面 平面 ,故 A 选项正确;
对 选项,因为在正方体中,所以 平面 平面 ,
,由已知得 面 面 ,
则 ,故 B 选项正确;
对 选项, 三棱锥 的体积为
,故 C 选项错误;
对 选项,设点 到平面 的距离为 ,则 ,
，故 选项正确.
故选: ABD.
11. ABD
设函数 的周期为 ,由图象可知, ,所以 , 解得 ,此时 ;
如图, ,因为 ,所以 ,因此 ;
对于 ,因为函数 ,所以函数 是奇函数, 故 A 正确;
对于 ,因为 ,所以 ,结合正弦函数的单调性知, 在 上单调递增,故 正确;
对于 ,因为 ,所以 的最小值等于 ,故 错误;
对于 ,依题意, ,由 ,得 ; 因为 ,函数 在 上有 2 个零点, ,解得 ,故 正确.
故选: ABD.
12. -6
【分析】先写出二项式 的展开式的通项公式,由通项公式结合条件先求出参数 , 再根据通项公式可求出答案.
【详解】二项式 的展开式的通项公式为 当 时,为常数项.
则 ,
令 ,得 ,所以含 项的系数 .
故答案为: -6
13.
已知甲班科技小组:4 男 2 女，共 6 人；乙班科技小组:3 男 3 女，共 6 人， 则总人数为 12 ，其中男生 7 人，女生 5 人；
设事件 为“选出的 2 个学生都是男生”，事件 为“选出的 2 个学生中至少 1 个是男生”， 已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率为:
事件 发生的情况下事件 发生的概率,即为 ,
是 的子集,
,
.
故答案为: .
14.
若 :
当 时, 的图像为开口向上,顶点 的抛物线;
当 时, 的图像是将 图像向右平移 个单位.
则 的图像如下.
因为 ,若方程 有 3 个实数解,则有 ,解得 .
而此时 不成立.
若 :
当 时, 的图像为开口向下,顶点 的抛物线;
当 时, 的图像是将 图像向左平移 个单位. 则 的图像如下.
此时方程 只有 1 个实数解,不满足条件.
而此时 为增函数,都有 恒成立.
若 :
当 时, 的图像为一条水平射线;
当 时, .
则 的图像如下.
此时方程 只有 1 个实数解,不满足条件.
而此时 不成立.
综上所述,若方程 有 3 个实数解,则实数 的取值范围是 ;
若 ,都有 ,则实数 的取值范围是 .
故答案为: ； .
15.
(2)
(1) 因为 ,所以 ,即 ,
又因为 ,所以 ,且 ,又 ,
所以 或 (舍去),所以 ,
故 的面积 ;
(2) ，
由正弦定理知 ,又 ,
所以 ,解得 .
16. (1)1
(2)
(1)由条件可知， ， ，则 ，
因为 ,所以 ,
由对称性可知, ;
(2)设 ， ， ，
由 ,可知 ,
所以 ,得 ,
因为点 ,则 ,
所以 ,所以 ,则 ,
所以 ,
所以直线 的斜率为 ;
17. (1)证明: 过 作 于点 ,则 ,以 为原点,
所在的直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ,
为 的中点. . 则 ,
,设平面 的法向量为 ,则
令 ,则 ,即 ,
又 平面 . 平面 .
(2)解:令 ，设
,
. 由 (1) 知,平面 的法向量为 .
直线 与平面 所成角的正弦值为 ,
,化简得 ,
即 ,故 .
18.
(1) 因为 ,所以 ,
由于曲线 在点 处的切线与 轴平行,
所以 ,即 ;
(2)由于 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,
即 ,
设 ,
所以 ,
令 ,则 ,
即 在 为增函数,
又 .
即存在唯一的实数根 ,满足 ,且 ,
当 时, ,当 时, ,
即函数 在 为减函数,在 为增函数,
则 ,
由于 ,且 ,
所以 ,所以 ,
故 ;
(3)由(2)知， ，
所以 ,
令 ,
则 ,
所以
故 .
19.(1)依题意，列出 列联表如下:
款类 测试结果 总计
优秀 良好
型 20 10 30
型 7 23 30
总计 27 33 60
零假设为 : 测试结果与越野驾驶性能优化无关.根据表中数据可得:
根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,
即认为测试结果与越野驾驶性能有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.001 .
(2)(i)X 的所有可能取值为 3，4，5，6，
的分布列为
3 4 5 6
4 9
数学期望 .
(ii) 设“赛满 局人类队获胜”为事件 ,要使事件 发生,有两种情况: 第一阶段赛满 局人类队胜,记为事件 ,和第一阶段赛满 局人类队负,记为事件 , ,
①若第一阶段人类队胜，则人类队在前 局至少胜 局，分为人类队至少胜 局和人类队恰好胜 局,
(a) 若人类队至少胜 局,无论后面两局结果如何,最终人类队获胜;
(b) 若人类队恰好胜 局,且后面两局中人类队均负的概率为 , (其中 ).
② 若第一阶段赛满 局人类队负,即前 局人类胜局数 ，要使总赛满 局后人类获胜,需满足: 前 局胜 局,且后 2 局全胜,
前 局胜 局的概率为 ,后 2 局全胜的概率为 ,
因此
所以
代入 ，化简得 ，
所以
统计意义: 对于单局胜率小于 的挑战者,增加比赛总场次会降低其最终获胜的概率.