湖北省随州市部分高中2025-2026学年高三下学期2月联考数学试题（含解析）

湖北省随州市部分高中 2025—2026 学年下学期 2 月联考 高三数学试题
全卷满分 150 分, 考试用时 120 分钟.
注意事项:
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2、选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3、非选择题作答:用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4、考试结束后，请将答题卡上交.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集 ，集合 ，则 ( )
A. B.
C. D.
2. 下列函数在 上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
3. 在 中,角 的对边分别为 ,若 ,则 的形状是 ( )
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 等边三角形
4. 点 在平面上以速度 作匀速直线运动,若 4 秒后点 的坐标为 ,则点 的初始坐标为 ( )
A. B. C. D.
5. 已知空间直角坐标系中的三点 ,则点 到直线 的距离为( )
A. B. C. D.
6. 抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 ( )
A. 1 B. 2 C. D. 4
7. 现要完成下列 2 项抽样调查:
①从 10 盒酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查;
②东方中学共有 160 名教职工，其中教师 120 名，行政人员 16 名，后勤人员 24 名. 为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为 20 的样本.
较为合理的抽样方法是( )
A. ①抽签法，②分层随机抽样 B. ①随机数法，②分层随机抽样
C. ①随机数法，②抽签法 D. ①抽签法，②随机数法
8. 圆 的面积为( ).
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的四个选项中, 有多项是符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的 得 0 分.
9. 已知 是定义在 上不恒为 0 的奇函数， 是 的导函数，则()
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 为奇函数 D. 为偶函数
10. 在梯形 中, 与 相交于点 ,则下列结论正确的是 ( )
A. B.
C. D.
11. 已知圆 ,圆 ,直线 ,则下列说法正确的是( )
A. 圆 的圆心为
B. 圆 与圆 相交
C. 当圆 与直线 相切时,则
D. 当 时,圆 与直线 相交所得的弦长为
三、填空题:本题共 3 小题, 每题 5 分, 共 15 分
12. 已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是_____.
13. 已知向量 、 满足 ， ，且 ，则 _____.
14. 已知点 在抛物线 上,过 作 的准线的垂线,垂足为 ,点 为 的焦点. 若 ，点 的横坐标为 1，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分
15. 已知函数 (其中 为自然对数的底数),0 为 的一个极值点.
(1)求 的值；
(2)证明: 成立.
16. 已知数列 为正项等差数列,数列 为递增的正项等比数列, ,
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求数列 的前 项的和.
17. 如图,在四棱锥 中,平面 平面 ,四边形 是梯形, 分别是棱 的中点.
(1)证明: 平面 .
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 斜三棱柱 的各棱长都为4， ，点 在下底面 的投影为 的中点 .
(1)在棱 (含端点)上是否存在一点 使 ？若存在，求出 的长；若不存在， 请说明理由;
(2)求点 到平面 的距离.
19. 已知数列 满足 ，记 为 的前 项和.
(1)若 为等比数列，其公比 ，求 ；
(2)若 为等差数列，其公差 ，证明: .
1. D
,
.
故选: D.
2. B
对于 ,不符合题意;
对于 在 上恒成立,符合题意;
对于 ,不符合题意;
对于 ,不符合题意.
故选: B.
3. A
由 ,可得 ,即
则 ,又 ,则
则 的形状为钝角三角形
故选: A
4. B
设点 的初始坐标为 ,
因为点 在平面上以速度 作匀速直线运动,若 4 秒后点 的坐标为 , 可得 ,解得 ,即点 的初始坐标为 .
故选: B.
5. C
已知 ,
所以 ,
点 到直线 的距离为 .
故选: C.
6. B
抛物线的焦点坐标为 ,
其到直线 的距离: ,
解得: .
故选: B.
7. A
①总体较少，宜用抽签法; ②各层间差异明显，宜用分层随机抽样.
故选: A.
8. C
原方程可化为 ,
半径 圆的面积 .
故选: C.
9. ABD
根据题意,可得 ,
因为 为奇函数,可得 ,可得 ,
即 ,即 ,所以 为偶函数,
由 ,即 为奇函数,所以 正确;
由 ,即 为偶函数,所以 正确;
由 ,所以 为偶函数,所以 错误;
由 ,所以 为偶函数,所以 正确.
故选: ABD.
10. ABD
A,由题意 ,故正确.
B,由题知 ,所以 ,故 ,故正确.
C,由图知: ,故错误.
D,由向量加法法则知 ,故正确.
故选: ABD.
11. BD
由题设, ,则 且半径 ,
,则 且半径 , A 错;
所以 ,即两圆相交, 对;
到直线 的距离 ,若圆 与直线 相切,则 ,
所以 或 错;
当 时 ,即圆 与直线 相交,相交弦长为 , D 对.
故选: BD
12.
因为函数 在区间 上单调递减,所以 在区间 上恒成立,而 ,所以 .
故答案为:
13.
因为向量 满足 ,且 ,则 ,
所以 ,即 ,故 .
故答案为: .
14.
如图所示,不妨设点 在第一象限,因为点 的横坐标为 1,
联立方程组 ,解得 ,即 ,
又由 ,可得 轴,因为 ,可得 ,
所以直线 的倾斜角为 ,
因为抛物线的焦点为 ,则 ,
整理得 且 ,解得 ,
即 ,解得 或 (舍去).
故答案为: .
15.(1) 由题意,函数 ,可得 ,
因为 0 为 的一个极值点,可得 ,解得 .
(2)由(1)知，函数 ，
由 ,令 ,
因为 ,当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减,
所以当 时,可得 ,
又由 ,且当 时, ,
所以 ,所以 ,即 成立.
16. (1) (2)
(1)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
因为 ,
所以得 ,解得 或 ,
因为数列 为正项数列, 为正项递增数列,
所以解得 ,
所以
(2)由(1)得 ,
所以数列 的前 2 项和为
.
17. (1) 证明: 取 的中点 ,连接 .
因为 分别是棱 的中点,所以 .
因为 平面 平面 ,所以 平面 .
因为 分别是棱 的中点,所以 .
因为 平面 平面 ,所以 平面 .
因为 平面 ,且 ,所以平面 平面 .
因为 平面 ,所以 平面 .
(2)以 为坐标原点，分别以 ， 的方向为 ， 轴的正方向，垂直平面 向上的方向为 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
设 ,则 .
由余弦定理可得 ，则 ，
从而 ,
故 .
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,得 .
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18. (1)存在,
(2)
(1)因为点 在下底面 的投影为 的中点 ,故 平面 ,
连接 ,由题意 为正三角形,故 ,
以 为原点, 分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系:
则 ,
设 ,可得 ,
,
假设在棱 (含端点) 上存在一点 使 ,
则 ,
则 ;
(2)由(1)知 ，
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 ,
则 ,
又 ,
则 到平面 的距离为 ,
即点 到平面 距离为 .
19.(1)因为 为等比数列， ，
所以 ,所以 .
又 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
(2)解法一:
因为 为等差数列, ,
所以 ,所以 .
因为 ,即 ,
所以 ,
所以当 时,
又 符合上式,
所以 .
所以
.
解法二:
因为 为等差数列, ,
所以 ,所以 .
因为 ,即 ,
所以 ,
所以数列 为常数列.
因此 ,
所以 .
所以
.