湖北省楚天协作体2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题（含解析）

高一数学
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 ,则 是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
3. 已知函数 ,则 的单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
4. 若 ,则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知某扇形的弧长为 1 , 面积为 2 , 则该扇形圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D. 1
6. 已知幂函数 ( 为常数) 具有性质: ( 1 ) 定义域为 ,(2) 图象关于 轴对称,则 的可能取值为 ( )
A. -1 B. C. D. 2
7. 函数 与 图象的交点个数为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8. 已知函数 的值域为 ,则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知实数 满足 ，则下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
10. 已知 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则 ( )
A. 当 时, B. 在 上单调递增
C. 的值域为 D. 有 2 个零点
11. 在平面直角坐标系 中,圆心在坐标原点的单位圆与 轴正半轴、 轴正半轴分别交于点 ,锐角 的终边与单位圆交于点 ,过 作 轴的垂线交 轴于点 ,延长 至点 ，使得 为 的中点. 设 的面积为S，四边形 的面积为 . 下列命题正确的是( )
A. 点 的坐标是
B. 若 ，则
C. 若 ，则 或
D. 当 时， 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若命题“ ”是真命题，则实数 的取值范围是_____.
13. 已知 ,则 的值是_____.
14. 已知函数 ,若 在定义域上恒成立,则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15.(1)已知 ， ，求 的值(用 ， 表示)；
(2)化简: .
16. (1)求函数 的最小正周期和单调区间；
(2)求函数 在区间 上的最大值和最小值.
17. 动画电影《哪吒之魔童闹海》受到观众的一致好评，以 159 亿元的票房登顶中国影史票房榜. 已知上映期间孝感某电影院一个放映厅共有 350 个座位. 电影票票价不分等次. 根据影院的经营经验, 当每张电影票票价不超过 30 元时, 票可全售出; 当每张电影票票价超过 30 元时，每提高 1 元，将有 5 张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是:①为了方便找零和算账，票价定为 1 元的整数倍；②电影院放映一场电影的成本费用支出为 8000 元，放映一场电影的收入必须高于成本支出. 设每张电影票票价为 ( ,单位: 元),该影院放映一场电影的净收入 (除去成本费用后的收入)为 (单位:元).
(1)当每张电影票票价 超过 30 元时,为符合基本条件,求 的取值范围;
(2)求 的解析式;
(3)试问在符合基本条件的前提下，当每张电影票票价 为多少元时，放映一场的每张售出票的净收入最大 并求出最大值.
18. 已知定义域为 的函数 是奇函数.
(1)求 的值；
(2)求函数 的值域；
( 3 )若对于 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
19. 定义一种新运算“ ”: 对于任意实数 ,都有 . (1)当 时，计算 ；
(2)对于任意实数 ，判断 与 的大小关系，并给出证明；
(3)已知关于 的不等式 恰有 5 个整数解,求 的取值范围.
1. B
,故 是第二象限角.
2. A
由 , 所以
3. D
令 ,得 , 故 的单调递减区间是 .
4. C
若 ,如 满足,此时 ,故充分性不满足,
若 ,而 ,则 ,故 ,
当且仅当 时等号成立,则 ,必要性成立,
综上,“ ” 是 “ ” 的必要不充分条件.
5. A
设该扇形半径为 ,圆心角为 ,则 ,解得 .
6. B
由幂函数 的性质知其为偶函数且 ,
对于 ,为奇函数,故 错误;
对于 ,定义域为 ,
且 ,故 为偶函数,故 正确;
对于 ,即 ,定义域为 ,故 错误;
对于 ,即 ,定义域为 ,故 错误.
7. C
8. A
9. AC
10. ABD
因为 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,
当 时,则 ,可得 ,故 A 正确;
因为 在 上单调递减,可知 在 上单调递增,故 正确,
对于选项 C:因为 ，可知 的值域不为 ，故 C 错误；
对于选项 D:令 ，可得 ，
作出函数 的图象,
由图象可知: 与 有 2 个交点,
所以 有 2 个零点,故 正确.
11. ACD
如图,
由题意可知: ,其中 ,则 , 且 为 的中点,可得 ,故 A 正确;
所以 ,
对于选项 B:因为 ，即 .
若 ,则 ,
可得 ,即 ,故 B 错误;
对于选项 C: 因为 ,
若 ,即 .
可得 ,解得 或 ,故 正确; 对于选项 D: 因为 ,且 , 令 ,
且 ,则 ,可得 ,即 ,
可得 ,
设 ,可知 在 内单调递增,
且 ,可得 ,
所以 的取值范围是 ,故 正确.
12.
由 得 ,则 使 成立,
即为 使 成立,则 .
13.
已知 ,
所以 ,即 ,
则 ,
所以
.
14.
函数的定义域是
当 时, ,则 ,由 在区间 恒成立, 则 ,
当 时, ,由 在区间
恒成立,则 ,即 ,
综上可知,
15. (1)
(2)4
(1)因为 ，所以 ，
所以 .
(2)
16. (1)最小正周期为2，单调递增区间为 ，无单调递减区间.(2)最大值为 ,最小值为 -1 .
(1) 的最小正周期为 ,
令 ,解得 ,
故单调递增区间为 ,无单调递减区间.
( 2 )由于 ，所以 ，故 ， 故最大值为 ,最小值为 -1 .
17. (1) 且
(2)
(3)所以票价定为 60 元时，每张售出票的净收入最多为 20 元
(1)当每张电影票票价 超过 30 元时,每提高 1 元,将有 5 张票不能售出,
则售出的票数为 ,则收入为 ,
放映一场电影的收入必须高于成本支出,
所以 ,
化简得 ,
解得 ,
因为 ,票价定为 1 元的整数倍,
所以 且 ,
所以 的取值范围为 且 .
(2)当 且 ，净收入 ，
当 ,解得 ,所以 且 ,
当 且 时,净收入 ,
所以
(3)对于 且 ,每张售出票的净收入为 时,每张售出票的净收入最大为 元,
对于 且 ,
每张售出票的净收入为 ,
当且仅当 时,取等号,最大值为 20,
所以票价定为 60 元时, 每张售出票的净收入最多为 20 元.
18.
(2)值域为 .
(3) .
(1) 的定义域为 ,且为奇函数,故 ,解得 ,
当 时,
, 故 为奇函数，所以 .
(2) ，
由于 ,则 ,故 ,因此 ,
故值域为 .
(3)由于 为 上的单调递增函数，故 为 上的单调递减函数，
则 为 上的单调递减函数,
由 可得
故 对于 恒成立,
由于 ,
由于 ,故当 时,取到 最大值 2,
故 ,因此 ,解得 ,
故 的范围为 .
19. (1) 6
(2) ，证明见解析
(3)
(1)由题意 .
(2)因为 ， 又 ,因此 .
(3) ， 代入原不等式可得 ,
化简可得 ,
显然,若 则原不等式有无数个整数解,所以 ,也即 ,
令 ,若 恰有 5 个整数解,则该二次函数开口向下,
有 ,解得 或 ,
且进一步 ,对称轴 ,
所以 较大的根 ,结合 恰有 5 个整数解,
可知整数解为 ,所以 较小的根 ,
结合二次函数图像特性可知 ,即 ,
解得 或 ,即 的取值范围为 .