湖北省荆州市沙市中学2026届高三下学期3月集中独立训练数学试题（含解析）

沙市中学高三年级 3 月集中独立训练 数学试题
2026.3.12
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则集合 的子集个数为( )
A. 32 B. 16 C. 8 D. 4
2. 若复数 满足 ，则 的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 已知函数 是定义域为 的偶函数，在区间 上单调递增，且对任意 ，均有 成立，则下列函数中符合条件的是( )
A. B. C. D.
4. 已知 是夹角为 的两个单位向量,若向量 在向量 上的投影向量为 ,则 ( )
A. -2 B. 2
C. D.
5. 数学家欧拉于 1765 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理: 三角形的外心、 重心、垂心依次位于同一直线上, 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半, 这条直线被后人称为三角形的欧拉线. 在平面直角坐标系中作 ,在 中, ,点 ，点 ，且其“欧拉线”与圆 相切，则该圆的半径 为( )
A. 1 B. C. 2 D.
6. 已知函数 是 上的奇函数，则 ( )
A. 2 B. -2 C. D.
7. 设 为正整数,在平面直角坐标系 中,若 ,且 ) 恰好能表示出 12 个不同的椭圆方程,则 的一个可能取值为 ( )
A. 12 B. 8 C. 7 D. 5
8. 已知 成等比数列,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 我国传统文化中有许多具有对称美的形状, 如图 1 为《周易》中的“八卦”, 图 2 为园林建筑中的八角窗,它们均可抽象为正八边形 ,如图 3, 为其中心. 记 , ，且 ，则( )
图1
图2
图3
A.
B.
C.
D. 在 上的投影向量为
10. 对任意有序正实数对 ,若存在过点 的直线与双曲线 交于 两点,且 为线段 的中点,则称该数对 为有效数对,否则称为无效数对,则下列数对中是有效数对的有( )
A. B. C.
D.
11. 已知四棱锥 的体积为 12，四边形 是平行四边形， 为 的中点，经过直线 的平面与侧棱 分别交于点 . 设 ，则()
A. 时, 平面
B. 时,
C. 四面体 的体积为 3
D. 四棱锥 的体积的最小值为 4
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若 的方差为 4,则 的方差为_____.
13. 已知 的面积为 1， ， ，则 _____.
14. 过抛物线一条弦的中点作垂直于准线的直线交抛物线于一点, 以该点及弦的端点为顶点的三角形称为这条弦的衍生三角形. 如图,在平面直角坐标系 中,已知直线 与抛物线 交于 两点,弦 的衍生三角形是 . 记 为弦 的一阶衍生三角形; 弦 的衍生三角形为弦 的二阶衍生三角形; 弦 的衍生三角形为弦 的三阶衍生三角形; ,由此进行下去,记所有的弦 的 阶衍生三角形的面积之和为 ,若对任意 , ,则正整数 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或解答步 骤.
15. 设 为数列 的前 项和,已知 ,且 为等差数列.
(1)求证:数列 为等差数列；
(2)若数列 满足 ，且 ，设 为数列 的前 项和，集合 ,求 (用列举法表示).
16. 在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节. 每次信号只发送 0 和 1 中的某个数字, 由于随机因素干扰, 接收到的信号数字有可能出现错误, 已知发送信号 0 时, 接收
为 0 和 1 的概率分别为 ; 发送信号 1 时,接收为 1 和 0 的概率分别为 . 假设每次信号的传输相互独立.
(1)当连续三次发送信号均为 0 时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为 ， 求 的最小值;
( 2 )当连续四次发送信号均为 1 时，设其相应四次接收到的信号数字依次为 ，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量 中任意相邻的数字均不相同时,令 ),若 ,求 的分布列和数学期望.
17. 已知椭圆 为坐标原点，点 分别在直线 与 上， 是 上一点, 四点顺时针构成平行四边形 .
(1)求 的值；
(2)求平行四边形 面积的最大值.
18. 如图 1,圆内接四边形 中, 为等腰直角三角形,且 ,
图1
图2
(1)求 的长；
(2)如图 2，将 沿 翻折，形成四面体 ，当 时，
(i) 求直线 与平面 所成角的正弦值;
(ii) 找出一组依次排列的四个相互平行的平面 使得 , ,且其中每相邻两个平面间的距离都相等,并求出相邻两个平面间的距离.
19. 已知 是实数，函数 ，其中 是自然对数的底数.
(1)当 时，讨论 的单调区间；
( 2 )若对任意的 ， 均有极小值点 ，且 ，求实数 的取值范围； (3)若方程 有两个根 ，当 取最小值时，求 的值.
1. C
由 ,则 ,元素个数为 3 个, 则集合 的子集个数为 个;
故选:
2. C
若复数 满足 ,
则 ,
故复数 的虚部为 .
3. D
对于 ,故 错误;
对于 ,故 不是偶函数,故 错误;
对于 ,故 错误;
对于 ,
又 定义域为全体实数,它关于原点对称,且 ,
即函数 是定义域为 的偶函数,
当 时, 单调递增,满足题意.
故选: D.
4. A
在向量 上的投影向量为 . .
故选: A
5. B
解: 在 中, ，点 ，点 ，
可得 边上的高线、垂直平分线和中线合一,
则其“欧拉线”为 边 的垂直平分线，
可得 的中点为 ，直线 的斜率为 ，
则 的垂直平分线的斜率为 1,
可得 的垂直平分线方程为 ,即为 ,
其“欧拉线”与圆 相切,
可得圆心 到“欧拉线”的距离为 ,
即有半径 ,
故选: B.
6.
是 上的奇函数,
又 为奇函数,则分母上的函数需为偶函数,
.
故选: B.
7. C
根据题意, 为椭圆,则 ,
从 个数 ,中选两个不同的数作为系数,
当 为偶数时,去掉重复的数有 个数 ,
则任取两个数的排列数为 个,
当 为奇数时,去掉重复的数有 个数 ,
则任取两个数的排列数为 个,
由于现在恰好能表示出 12 个不同的椭圆方程,
则当 为偶数时, ,得 ,
当 为奇数时, ,得 ,所以 正确.
故选:
8.
设等比数列的公比为 ,
则 . 设 ,
则
因为 ,
所以 在 上恒成立. 所以函数 在 上单调递增.
又 .
所以函数 只有 1 个零点,且该零点在 .
所以公比 .
因为 ,所以 ,故 A 错误;
因为 ,又 ,所以 ,所以 ,故 B 错误;
因为 ,所以 ,故 错误;
因为 ,且 ,由 ,所以 ,所以 ,故 D 正确.
9. ACD
对于 ,由已知 ，所以向量 的夹角为 ，
又 ,
所以 , A 正确,
对于 错误,
对于 ,因为 ,
所以 ,
所以 ,又 为 的角平分线,
由平行四边形法则可得 ,
所以 正确,
对于 ,因为 ,
所以 ,又 ,
所以 在 上的投影向量为 , D 正确,
故选: ACD.
10. AD
设直线 的斜率为 ,
则有 ,
两式相减得 ,即 ,
又 为 的中点,即 ,且 ,
所以 ,且直线与双曲线有两个交点,
对于 : 此时数对为 ,则 ,直线 ,双曲线 ,
联立 ,得 ,
,满足直线与双曲线有两个交点,故 正确;
对于 : 此时数对为 ,则 ,直线 ,双曲线 ,
联立 ,此时无解,不满足直线与双曲线有两个交点,故 错误;
对于 : 此时数对为 ,则 ,直线 ,双曲线 ,
联立 ,得 ,
,不满足直线与双曲线有两个交点,故 错误;
对于 : 此时数对为 ,则 ,直线 ,双曲线 ,
联立 ,得 ,
,满足直线与双曲线有两个交点,故 D 正确;
故选: AD.
11. BCD
由题可知 是平面 和平面 的交点,
当 时 ,所以 ,又 平面 在平面 外,
所以 平面 ,若 平面 ,
则由 、 平面 得平面 平面 ，
则平面 与平面 无交点，与 是平面 和平面 的交点矛盾，故 A 错误； 时， ，因为 为 的中点，所以 ，
因为四边形 是平行四边形,所以 ,则 ,
又因为 平面 平面 ,则 平面 ,
所以 是平面 与四棱锥 的棱 的交点,
所以 与 重合,即 ,所以 ,故 正确;
因为 为 的中点,所以点 和点 到平面 距离相等,
所以四面体 的体积为 ,
所以四面体 的体积为 3,故 正确;
由题意可得
因为 共面,所以 即 ,
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
因为 ,
所以点 到平面 的距离为 ,点 到平面 的距离为 ,
所以 ,
所以 ,
因为 为 的中点,所以点 和点 到平面 的距离相等,
所以 ,
所以四棱锥 的体积为
当且仅当 即 时等号成立, 所以四棱锥 的体积的最小值为 4 , 故 D 正确.
12. 16
由题意得 ,则 .
13.
.
.
设 的外接圆半径为 ,则由正弦定理得, ,
,
即 ,化简得, .
.
14. 8
将 代入 ,得到 ,即 ,
设 ,则 ,
,
,
,
,
这说明弦 的 阶衍生三角形都可以生成 阶中的两个衍生三角形,
且后者的面积之和是前者面积的 ，故数列 是以 为首项，
以 为公比的等比数列,
对任意 ， ，
,
,
,
正整数 的最大值为 8 .
故答案为: 8 .
15.(1)设等差数列 的公差为 ,则 ,即 ,①
因为 ,所以由 ,得 . ②
由①、②解得 ，所以 ，即 ，
当 时， ，
当 时， ，上式也成立，所以 ，
所以数列 是等差数列.
(2)由(1)可知 ,
当 时, ,
因为 满足上式,所以 .
,
因为当 时, ,所以 .
16.(1) 由题可知 , 因为 ,所以当 时, 的最小值为 .
(2)由题设知， 的可能取值为1,2,3,4.
① 当 时，相应四次接收到的信号数字依次为 0101 或 1010.
因此, ,
②当 时，相应四次接收到的信号数字依次为 0010，或 0100，或 1101，或 1011，或 1001, 或 0110, 或 1100, 或 0011.
因此, ,
③ 当 时,相应四次接收到的信号数字依次为 1110,或 0111,或 0001,或 1000.
因此, ,
④ 当 时,相应四次接收到的信号数字依次为 0000 ,或 1111 .
因此, .
所以 的分布列为
1 2 3 4
8 81 4 9 20 81 17
因此, 的数学期望 .
17. (1)2
(2)
(1)因为点 分别在直线 与 上,所以可设 ,
设 ,则
因为四边形 是平行四边形,所以
即
所以
所以
(2)因为点 分别在直线 与 上
设直线 的倾斜角为 ,则
,
即
所以平行四边形 的面积为
在 中,设
所以 ,当且仅当 时等号成立
所以平行四边形 的面积为 ,
当且仅当 时等号成立,所以平行四边形 的面积的最大值为 .
18. (1)
(2) (i) ; (ii)
(1)方法一:在圆内接四边形 中， 为等腰直角三角形，
,
所以 ，
在 Rt 中,因为 ,
所以 ，所以 .
在 中, ,
由余弦定理得
,
所以 .
方法二: 在圆内接四边形 中, 为等腰直角三角形, , 所以 是圆的直径, .
在 Rt 中, ,
所以 ,
由正弦定理得 ,又 ,
故 .
(2)方法一:以 的中点 为原点，以 ， 方向为 ， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 .
(i) 设 ,由 (1) 可知, ,
又因为 ,
所以
解得 ,即 ,
则 .
取平面 的一个法向量 ,设直线 与平面 所成角为 ,
所以 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(ii) 如图所示,取 的三等分点 的中点 ,
过三点 作平面 ,过三点 作平面 ,
因为 平面 平面 ,
所以 平面 ,同理 平面 ,
又因为 ,所以平面 平面 ,
再过点 分别作平面 与平面 平行,
那么四个平面 依次相互平行,
由线段 被平行平面 截得的线段相等知,其中每相邻两个平面间的距离相等,故 为所求平面.
由 (i) 可知 ,
所以 ,
设平面 的法向量 ,则
即 可取 ,
所以点 到平面 的距离 .
故相邻两个平面间的距离为 .
(方法二)
(i) 设 的中点为 的中点为 的中点为 ,
连接 .
由( 1 )知 ，则 ，
又因为 ,所以 平面 ,
所以平面 平面 .
过点 作 交直线 于点 ，连接 ，
又因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,则 为直线 在平面 上的射影, 为直线 与平面 所成角.
由 (1) 知 ,则 .
又因为 ,所以 ,
所以 ，则 .
在 中, .
所以 ，得 ，
所以 ，得 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(ii) 以 为原点,以 方向为 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则 .
设平面 的法向量 ,
由 (i) 可知 ,
所以 .
由 两两平行且每相邻两个平面间的距离都相等,
从而 ,
由 可得 或 .
若 ，由 得 ，
从而 或 .
若 ,由 得 ,
从而 或 .
综上,可得 ,或 ,
或 ,或 .
当 或 时,由于 ,
此时 ,
从而点 在点 与 所确定的平面上,与条件矛盾,舍去;
当 ,由于 ,此时 ,
从而点 在点 与 所确定的平面上,与条件矛盾,舍去;
当 ,可求点 到平面 的距离 ,
此时 分别为过 ,且以 为法向量的平面,
所以相邻两个平面间的距离为 .
19. (1) 当 时, ,则 ,
当 时, ,故 单调递增;
当 时,令 ,即 ,解得 ,
所以当 时, ,当 时, ,
故 在 单调递减,在 单调递增.
综上,当 时, 单调递增; 当 时, 在 单调递减,在 单调递增.
(2)当 时，
当 时， ，故 单调递减，故 不可能有极小值点；
当 时,令 ,即 ,解得 ,
所以 在 单调递减,在 单调递增,
因此 均有极小值点 ,且 ,
令 ,故对任意的 .
,当 时, ,当 ,
故 在 上单调递增,在 单调递减,
,且 时, 时, 的图像如图,
故 恒成立,故 .
(3)方程 有两个根 ，
由(2)可知 ，否则 单调，不可能有两个根，
方程 有两个根 等价于 有两个根 ,
令 ,由 ; 当 ;
当 ,故可知 .
记 ,上式等价于 有两个根 ,
两式相减可得 ,记 ,
故上式可写成 ,故 ,
又 代入 得 ,
令 ,
故 ,令 ,故 ,
故 是单调递增,要求 最小值,即求 的最小值,就是求 的最小值.
下面考虑 的最小值.
,令 ,
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
的图像如图所示
故存在 使得 ,即 ,
所以 时, 单调递减; 时, 单调递增;
故 ,即 时, 取最小值.
故 .