湖北省天门市天门中学等校2025-2026学年高三下学期2月阶段训练数学试卷（含解析）

2026 年高三年级 2 月阶段训练 数学试卷
注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答: 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后, 请将答题卡上交.
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分, 每小题给出的四个选 项中, 只有一个选项是正确的, 请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ，则 的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 5 D. 6
3. 若点 在圆 外,则实数 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
4. 已知命题:“记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 为定值”为真命题,则可推出 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知函数 及其导函数 定义域均为 ,则“ 图象关于 中心对称”是“ 图象关于直线 轴对称”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 记函数 ,其中 ,若 在 恰有两个零点,且 ,则函数 在 上的单调增区间为( )
A. B. C. D.
7. 在三棱柱 中， ，点 在平面 的射影为点 ,若点 在平面 上运动,则线段 长度的最小值为 ( )
A. B. C. 1 D.
8. 已知函数 的定义域是 ， 是 的导数. ，对 ，有 ( 是自然对数的底数). 不等式 的解集是
A. B. C. D.
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共计 18 分, 每小题给出的四个选 项中, 有多项符合题目要求.全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的 得 0 分.
9. 在某次联考中,全体物理方向高三学生数学成绩 ,此次联考物理方向数学一本线为 80 分,清北线为 140 分. 已知: 若 ,则 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 若随机变量 ,则 服从标准正态分布
B.
C. 从参考学生中依次抽取两名学生，则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为
D. 从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为
10. 已知抛物线 的焦点 ，直线 与抛物线交于 两点. 分别作抛物线在 两点处的切线，两切线交于点 为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 若 过焦点 ，则 最小值为 4
B. 若 过焦点 ，则 一定为直角三角形
C. 若 中点 的横坐标为 4,则 最大值为 12
D. 若点 在直线 上，则
11. 若数列 满足: ,则称数列 为有限稳定数列,记 为数列 前 项和,下列结论正确的是 ( )
A. 首项为 1,公比为 的等比数列是有限稳定数列
B. 若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列,其公比的取值范围为
C. 若数列 满足 ,则数列 是有限稳定数列
D. 若数列 是有限稳定数列,则数列 是有限稳定数列
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分.
12. 已知平面向量 ，若 ，则 _____.
13. 已知直线 与函数 的图象相切，则实数 _____.
14. 已知 是双曲线 上不同的三点，点 关于坐标原点对称， 且 ,过点 作垂直于 轴的直线分别交双曲线 ,直线 于 两点, 若 ,则双曲线 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 如图, 是圆 的直径, 垂直于圆 所在平面, 是圆周上不同于 的任意一点, 为 的中点,且 ,
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若三棱锥 的外接球球心为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
16. 已知 分别是锐角 三个内角 的对边,且 ， .
(1)求 ， 的值；
(2)求 面积的取值范围.
17. 在篮球训练场上,教练甲指导三名学员 进行传球训练,训练开始时,篮球在教练甲手中. 由甲开始传球,他每次等可能地将篮球传给学员 其中一人,学员接球后, 将篮球传出,传给教练甲的概率为 ,传给另外两学员的概率相等,篮球在四人之间传递.
(1)若四人进行了 4 次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望；
(2)设 表示经过 次传球后篮球在 手中的概率，求 .
18. 在平面直角坐标系 中,椭圆 的左顶点为 ,焦距为 , 且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与椭圆 交于 两点.
(i) 若 中点为 ,点 是椭圆 上的动点,且满足: ,证明 的面积为定值;
(ii) 若点 为 的外心,且 在直线 上,求点 到直线 的距离的最大值.
19. 已知函数 ,
(1)求 的最小值；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 且 ,求证: .
1. C
依题意, 且 , 所以 .
故选: C
2. C
设 ,由 ,可得 ,
所以复数 对应的点 的轨迹为 为圆心,半径 的圆,
设 为坐标原点,可得 ,所以 的最大值为 .
故选: C.
3. B
点 在圆 外,即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得 ,圆心为 ,点 到圆心距离为 4, 故有 ,解得 ;
故选: B
4. A
设 ,则 可化为
整理得, ,即
又 ,代入 得
若 为定值,则 ,即
故选: A
5. A
由函数 图象关于 中心对称,得 ,求导得
即 ,因此函数 图象关于直线 轴对称;
令函数 ,则 ,函数 图象关于直线 轴对称,
而函数 的图象是由函数 的图象向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位而得,
又函数 的图象关于点 中心对称,因此函数 图象关于 中心对称,
所以“ 图象关于 中心对称”,是“ 图象关于直线 轴对称”的充分不必要条件.
故选: A
6. D
因为函数 ,其中 ,若 在 恰有两个零点,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
又因为 ,即 ,
所以 或 ,
解得 或 ,
结合 ,所以 符合题意,
所以 ,
又因为当 ,即
所以 的单调增区间为
函数 在 上的单调增区间为 ,
故选: D.
7. B
依题意, 的最小值即为点 到平面 的距离 ,
因为 平面 平面 ,故 ,
因为 ， ， ；
由余弦定理, ,
故 ,所以 ;
因为 平面 平面 ,所以 ,
则 ,
又 ，故 为等边三角形,则 ，
故 ,
而 ,故 . 故选: B.
8. B
因为 , 令 ,则 ,令 ,则 ,当 时, ,当 时, ,所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,所以
所以 ,所以函数 在区间 上单调递减,又 , 所以不等式 ,即原不等式的解集为 ,故选 B.
9. BCD
对于 ,因为 ,则 ,
若随机变量 ,则 服从标准正态分布 ,
故 时, 才服从标准正态分布,故 A 错误;
对于 ,
由正态分布的对称性可得 ,
所以 ,故 正确； 对于 ,由 ,
可得 ，
所以从参考学生中依次抽取两名学生, 则这两名学生的数学恰好有一人过清北线的概率为:
,故 C 正确;
对于 ,由 ,可得 ,
所以 ,
又 ,所以由条件概率公式可得 ,
所以从参考学生中随机抽取一人，在该生数学达到一本线的条件下，该生数学过清北线的概率为 ,故 正确.
故选: BCD.
10. ABD
抛物线 的焦点 ,设 ,
对于 ,直线 方程为 ,由 ,得 ,则 ,
,当且仅当 时取等号, 正确;
对于 ,设抛物线 在点 处切线方程为 ,由 ,
得 ,则 ,解得 ,
该切线方程为 ,即 ,同理抛物线 在点 处切线方程为
,联立得点 ,
,因此 为直角三角形, B 正确;
对于 ,由 中点 的横坐标为 4,得 ,则
当且仅当点 共线时取等号, 错误;
对于 ,由点 在直线 上,得 ,即 ,而 , ,因此 , D 正确.
故选: ABD
11. AD
对 ,设 ,
则相邻两项差的绝对值 ,
设 ,
则 ,故该数列是有限稳定数列, 对;
对 ,若该等比数列公比为 1,则相邻两项差为 0,是有限稳定数列,
因此公比的取值范围应为 ,故 错;
对 ,取 ,满足 ,
但相邻两项差绝对值和 ,随 增大趋向于无穷大,无界,
因此该数列不是有限稳定数列, 错;
对 ,若数列 是有限稳定数列, 有界,进而 有界,
而 ,
所以 有界,即数列 是有限稳定数列, D 对.
故选: AD
12.1或
根据题意 ,又 ,则 ,
所以 ,解得 或 .
当 时, ,则 ;
当 时, ,则 .
故答案为: 1 或 .
13.
设函数 在点 处的切线为 ,
函数 的定义域为 .
由 ,得 ,所以 ,
所以 ,解得 (舍去) 或 .
又 ，所以切点为 ，
又切点在直线 上,所以 ,解得 .
故答案为: .
14. 2
设 ,由题意得 ,
因为 ,所以 ,
又 ,即 ,两边平方并整理得 ,
即 ,所以 ,
由双曲线第三定义得 ,
即 ,整理得 ,
解得
故答案为: 2
15.(1)因为 是圆 的直径,所以 ，所以 ，
因为 垂直于圆 所在平面, 在圆 所在平面内,所以 ,
又 平面 ,所以 平面 .
又 平面 ,所以 ,
又因为 , 为 的中点,所以 ,
又 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 ;
(2)由(1)知 平面 ，又 平面 ，所以 ，
所以 与 是有公共斜边 的直角三角形，
所以 是三棱锥 的外接球的直径,所以球心 为 的中点,
以 为坐标原点, 所在直线为 轴,过 作 的平行线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,则 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,得 ,
所以平面 的一个法向量为 ,
设平面 的法向量为 ,
所以平面 的一个法向量为 ,
因为平面 即为平面 ,所以平面 的一个法向量为 ,
设平面 与平面 所成的夹角为 ,
则 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
16. (1)
(2)
(1)在锐角 中，由正弦定理得 ，
,
又 ,
,
所以 ,
则 ,
在锐角 中, ,
,即 .
,
(2)由(1)得
由正弦定理: ,得
因为 为锐角三角形,所以 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 , 故 面积的取值范围为 .
17. (1) 设教练甲接球次数为 可取0,1,2,
球在学员手中,传给教练甲的概率为 ,传给其他学员的概率为 ,
分布列为:
0 1 2
27 64 33 64
数学期望 ;
(2)设 表示经过 次传球后篮球在教练甲手中的概率，
,
且 ,
即 ,
则数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,
,即 ,
又传给学员 的概率相等,
.
18. (1)依题意，椭圆 的半焦距 ，
由椭圆 的离心率为 ,得 ,
所以椭圆 的方程为 .
(2)(i)设点 ， ，当直线 的斜率不为 0 时，设其方程为 ，
由 ,得 ,
原点 到直线 的距离 ,
由 中点为 ,得点 是 的重心,则点 ,
由点 在椭圆 上,得 ,又 ,
则 ,即 ,
整理得 ,即 ,则 , 因此 的面积 , 当直线 的斜率为 0 时,点 或 ,直线 的方程为 或 , 线段 ,点 到直线 的距离为 , 所以 的面积 为定值.
(ii) 当直线 的斜率为 0 时,线段 的中垂线为 轴,不符合题意,点 , 由 (i) 得线段 的中点 的中点 , 线段 的中垂线方程为 ,即 , 同理线段 的中垂线方程为 , , 由 的外心 在直线 上,得 ,解得 , 而 ,则 ,解得 或 , 因此点 到直线 的距离为 , 令 ,当 时, 在 上递减, 则当 ,即 时, ; 当 时, 在 上递增, ,又 ,因此 , 所以点 到直线 的距离的最大值 2 .
19. 1) 已知 ,对其求导可得 , 令 ,解得 .
当 变化时, 的变化情况如下表:
1 e
- 0 +
↘ 极小值 ↗
所以 ,
故 的最小值为 .
(2)设 ，
则 .
令 ,则 .
(i) 当 时,因为 ,则 , 所以 在 上恒成立;
(ii) 当 时, ,所以 在 上递增,
所以 ,所以 在 上递增,
所以 在 上恒成立;
(iii) 当 时, ,所以 在 上递增,
因为 ,
所以 在 上存在唯一零点 ,
所以当 时, ,则当 时, ,不满足条件. 综上所述，实数 的取值范围为 .
(3)证明:由 得 ，则
要证 ,可证 ,
即证 .
令 ,即证 ,
即证 .
先证明 ,
令 ,则只需证明 ,
又易证 ,
所以
,
所以 在 上单调递减,则 , 即 .
再证明 ,
令 ,则只需证明 .
因为
所以 在 上单调递增,则 ,即 .
综上所述， .