湖北楚天协作体2026届高三下学期二模数学试题（含解析）

高三数学
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 如果集合 只有一个元素，则实数 的值是( )
A. 0 或 4 B. 4 C. 0 或 -4 D. 0
2. 已知向量 不共线，若 (其中 )，且 三点共线，则 值是( )
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
3. 为了研究物理成绩 与数学成绩 之间的关系,随机抽取 100 名学生的成绩,用最小二乘法得到 关于 的线性回归方程为 ,则样本点 的残差为 ( )
A. -10.5 B. 10.5 C. 9.5 D. -9.5
4. 已知三条不同的直线 和两个不同的平面 ,下列四个命题中正确的是 ( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
5. 已知 均为锐角, ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系 中,已知圆 ,点 . 点 在直线 上运动,过点 作圆 的两条切线,切点分别为 ,则点 到直线 的距离的最大值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 已知数列 是各项均为正数的等差数列,且公差 ; 数列 是各项均为正数的等比数列,且公比 ,若项数均为 项 ,下列说法正确的个数是( )
①数据 ， ， ， ， 的平均数是 ；
②数据 ， ， ， ， 的平均数是 ；
③若 ，则数据 的中位数大于数据 ， 的中位数;
④若 ，则数据 的平均数大于数据 ， 的平均数.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 关于 的方程 有实根，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知复数 ,其中 为虚数单位,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则 B. 是 为纯虚数的充要条件
C. 若 ,则 D. 若 ,则 的最大值为
10. 春节假期过后,车主小张选择去该市新开的 两家共享自助洗车店洗车. 已知小张第一次去 两家洗车店洗车的概率分别为 和 ，如果小张第一次去 洗车店，那么第二次去 洗车店的概率为 ; 如果小张第一次去 洗车店,那么第二次去 洗车店的概率为 ，则下列结论正确的是( )
A. 小张第一次去 洗车店,第二次也去 洗车店的概率为
B. 小张第二次去 洗车店的概率比第二次去 洗车店的概率小
C. 若小张第二次去了 洗车店,则他第一次去 洗车店的概率为
D. 若小张第二次去了 洗车店,则他第一次去 洗车店的概率为
11. 已知抛物线 的准线方程为 . 过点 且斜率为 的直线 与 交于 两个不同的点， 为坐标原点. 过点 作 轴的垂线，交直线 于点 . 则下列说法正确的是( )
A. 曲线 的方程是
B. 的取值范围为
C. 若 ,则 的取值范围为
D. 线段 的中点在一条定直线上
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 2025 年泡泡玛特旗下的 IP“LABUBU”突然爆火. 现有 5 个不同造型的“LABUBU”. 把这 5 个“LABUBU”装入 3 个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_____种不同的装法.
13. 在 中，角 的对边分别是 ，若 ， 为锐角三角形，则 的取值范围是_____.
14. 在平面中, 和 是互相垂直的单位向量,向量 满足 ,向量 满足 ，则 的最小值为_____.
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤)
15. 某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的 300 名使用者和乙地的 200 名使用者进行问卷调查, 统计并得到如下列联表:
甲地使用者 乙地使用者 合计
不满意 100 50 150
满意 200 150 350
合计 300 200 500
(1)根据小概率值 的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关；
(2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取 9 名使用者，再从这 9 名使用者中随机抽取 4 人进一步调研,记 4 人中乙地人数为 ,求 的分布列和数学期望.
附录: .
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16. 如图: 正八面体 可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若 ，点 为棱 上的动点，则直线 与平面 所成的角的正弦值的范围.
17. 已知数列 的前 项和为 ,若对任意 ,向量 ， 有 . 数列 满足 ,其前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
18. 已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，点 在双曲线 上. 点 为双曲线 右支上除右顶点外的任意点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)证明:点 到 的两条渐近线的距离之积为定值；
(3)已知 的左顶点 和右焦点 ，直线 与直线 相交于点 . 试问是否存在常数 ,使得 若存在,请求出 的值; 若不存在,请说明理由.
19. 已知函数 .
(1)当 时，讨论 的图象与直线 的交点个数；
( 2 )对任意的 ， 恒成立，求 的值；
(3)证明: .
1. C
集合 ,
表示关于 的方程 的解集,
当 时,解得 ,则 ,符合题意;
当 时, ,解得 ,
此时 ,符合题意,
综上可得 或 .
2. B
若 三点共线,
则存在实数 满足 ,即 ,
又因为向量 不共线,所以 ,
因此 .
3. A
时的预测值 ,
时的真实为值 66 ,
样本点 的残差为 .
4. B
对于 ,若 ,则 两直线可以平行,可以垂直,可以异面,因此 错误;
对于 ,若 ,则 ,因此 正确;
对于 ,当 时,若 ,可以满足 ,但 不成立,即 错误;
对于 ,若 ,也可能满足 ,所以 错误.
5. D
因为 为锐角,所以 ,
所以 ,所以 .
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
则
所以 ,
.
6. A
如图,设 ,则 .
根据圆的切线性质知,以 为直径的圆与圆 交于 两点,
即线段 为两圆的公共弦.
而以 为直径的圆的圆心为 ,半径为 ,
所以其方程为 ,即 .
与圆 的方程 作差得直线 的方程为 ,
将 代入得 ,即 .
因为上式对 恒成立,令 ,解得 ,
所以直线 恒过定点 ,所以点 到直线 的距离 ,
所以点 到直线 的距离的最大值为 .
7. C
对于①选项，设 的前 项和为 ， ， 所以数据 的平均数是 ,故①选项正确:
对于②选项，当 时，取 为2,4,8，平均数为 ，故②选项错误;
对于 ③ 选项， ， ， ， ， 的中位数是 ， ， ， ， ， 的中位数是 ， ,故③选项正确；
对于④选项，易知点 在直线 上，点 在曲线 上， 因为 ,所以如下图所示:
由图可知,当 时, ,
所以数列 的前 项和大于数列 的前 项和,
所以数列 的前 项的平均数比 的前 项的平均数大,④选项正确.
8.
由关于 的方程 有实根,得关于 的方程 有实根,
设方程 的实根为 ,则 ,
得到 ,即 ,
设点 ，则点 在直线 上，
点 到直线 的距离 ,
设 ,函数 ,则 ,
当 时, ; 当 时, ,
函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
因此 ,则 ,
当 时, ,由 ,解得 ,此时 ;
由 ,解得 ,此时 , 所以 的取值范围为 .
9. AD
因为 ,
对于 ,若 ,则 ,所以 ,故 正确,
对于 ,若 为纯虚数,则 且 ,所以 是 为纯虚数的必要不充分条件,故 错误,
对于 ,若 ,则 ,所以 错误,
对于 ,若 ,则 ,即 ,令 , 则 ,当 , 即 时,取等号,所以 正确.
10. BCD
记小张第 次去 洗车店为 ，第 次去 洗车店为 ，
则 .
选项 A: ,故 A 错误.
选项 B: ,
所以小张第二次去 洗车店的概率比第二次去 洗车店的概率小,故 正确.
选项 C: ,故 C 正确. 选项 D: ,故 D 正确.
11. ACD
根据题意可知准线方程为 ,即 的准线方程为 ,所以 , 即 ,所以 ,
则抛物线 的方程为: ,故 正确;
依题意得直线 的方程为 ,
当 时,直线与抛物线只有一个交点,不符合题意,
当 时,代入 ,得 ,
则 且 ,解得 且 ,
所以 的取值范围是 ,故 错误;
设 ,根据韦达定理可得: ,
所以 ,
代入可得: ;
若 ,即 ,则 ,
所以 ,
即 的取值范围是 ,故 正确;
因为直线 的方程为 ,所以点 的坐标为 ,
设线段 的中点为 ,则 ,
则
所以点 在直线 上,故线段 的中点在一条定直线上. 故 正确.
12. 150
把这 5 个“LABUBU”装入 3 个不同的盒内,每盒至少装一个,分组方式有两种: 按1，1，3分组:先从5个中选3个为一组，剩下的2个各成一组，
组数 ; 按 2,2,1 分组: 先从 5 个中选 2 个为一组，
剩下的 3 个中选 2 个为一组, 最后 1 个为一组(消除重复分组),
组数 ,分配到 3 个不同的盒内, ,
故装法总数 .
13.
在 中，由余弦定理， ，结合 ，
可得 ,即 ,
方法一: 由 (*) 得 ,设 ,则 ,
为锐角三角形,则 ,
即 ,
而 ,
代入 中，
得
恒成立,
同理可得
需满足 ,即 ,解得 ,
结合 ,可得 ;
由 ,
可得 ,
即 ,故 ,
令 ,则 , 即 在 上单调递增,则
故 的取值范围是 .
方法二: 由 和正弦定理,可得 ,
因 ,
代入整理得, ,即 ,
因 ,则 或 (舍去),
即 ,则 ,则 ,
则
,
于是,由正弦定理, , 因 为锐角三角形，则有 ，解得 ， 设 ,则 ,且 ,因该函数在 上单调递增, 故可得 , 故 的取值范围是 .
14. -4
因 和 是互相垂直的单位向量,则可建立分别以 和 为 轴的单位方向向量的平面直角坐标系.
则 ,设 ,
由 可得 ,
此式表示动点 到两点 和 的距离之和为 4,
又 ,
所以 点轨迹是以 为焦点的椭圆,且 .
所以 点的轨迹方程为 .
设 ,由 可得 ,
表示动点 的轨迹是以 为圆心,以 1 为半径的圆.
所以动点 的轨迹方程为 .
故可设 ,
则 ,其中
因为 ,所以 .
又 ,
因 ,则当 时, 取得最大值 4,
所以 ,等号成立时, ,
由 可得 ,故 .
所以 ,即当 时取等号.
所以 的最小值为 -4 .
15.(1)零假设 为:使用者的满意度与区域无关，代入 列联表中的数据可得:
根据小概率值 的独立性检验,没有充分证据推断 不成立,因此可以认为 成立, 故可认为使用者的满意度与区域无关.
(2)从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法，得到甲地使用者与乙地使用者的抽样比为 ,
则 9 名使用者中甲地 6 人、乙地 3 人.
因为 4 人中乙地人数为 ,所以 的可能取值为0,1,2,3,其对应的概率分别为:
的分布列为:
0 1 2 3
5 42 5 14
故数学期望为 .
16. (1)连接 交于点 ,则 四点共面，且 为 的中点,
所以四边形 、 都是平行四边形,所以 , ,
又 平面 平面 ,所以 平面 ,
平面 平面 ,所以 平面 ,
平面 平面 ,又 在平面 内相交于点 ,
所以平面 平面 .
(2)根据正八面体结构，以点 为原点， 为 轴，如图建立空间直角坐标系
则 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,则 , ,
所以 ,即 ,令 ,则 ,
所以平面 的一个法向量为 ,
因为点 为棱 上的动点,
所以设
则 ,
设直线 与平面 所成的角为 ,
又 ,
当 时， ，当 或 0 时， ，
故直线 与平面 所成角的正弦值的范围 .
17.
(2)
(1) 因为 ,即: . ①
当 时, ,
又 ,所以 .
当 时, ,②
由①-②整理得: .
整理得 ,
由累乘法得: ,
代入比值: ,
当 时, ,符合上式,
所以数列 的通项公式为 .
(2)当 为偶数时，
,
所以 为偶数 ,
由 恒成立,得 ,
是偶数,当 时, 有最小值 ,所以 ;
当 为奇数时, 为偶数,
所以 为奇数,
由 恒成立,得 ,
又 在 上单调递增,
所以当 时, 有最小值 1,所以 .
综上,实数 的取值范围是
18.(1)由双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ,有 ,可得 ,
又由点 在双曲线 上,有 ,
代入 ，有 ，可得 ， ，
故双曲线的标准方程为 ;
(2)设点 的坐标为 ，则 ，即 .
双曲线的两条渐近线 的方程分别为 ,
则点 到两条渐近线的距离分别为 ,
则 .
所以点 到双曲线 的两条渐近线的距离之积为定值.
(3)存在 .
① 当 时， ，又 是 的中点，
所以 ,所以 ,此时 .
② 当 时.
i) 当 在 轴上方时,由 ,可得 , 所以直线 的方程为 ,
把 代入得 .
所以 ,则 .
由二倍角公式可得 .
因为直线 的斜率 及 ,
所以 ,则 .
因为 ,
所以 .
ii) 当 在 轴下方时,同理可得 .
故存在 ,使得 .
19.(1) 当 时, 定义域为 ,
,
令 ,解得: ,
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时, 在 上单调递减,
当 时, ,
当 时, ; 当 时, ; 当 时, ; 当 时, 的大致图象如图所示,
当 时, 的图象与直线 的交点个数为 0 ;
当 或 时, 的图象与直线 的交点个数为 1 ;
当 时, 的图象与直线 的交点个数为 2 .
(2) 恒成立，
,即 ,
令 ,则不等式等价于 ,
当 ,则 在 上单调递减, ,
时 不合题意;
当 ,令 得 ;
令 得 ,
的递增区间为 ,递减区间为 ,
若 ,
,则当 时, ,不合题意;
若 ,符合题意;
若 ,则当 时, ,不合题意;
综上, .
(3)由(2)得，当 时，有 ，当且仅当 时等号成立， 时, ,
,即 ,
,
,
,
,即 ,