湖北恩施土家族苗族自治州恩施高中教学联盟2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题（含解析）

2026 年春季学期高一年级开学考试 数学试卷
注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答: 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后, 请将答题卡上交.
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. ( ,严是 “ ” 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环. 如图所示,扇环 的内圆弧 的长为 ，外圆弧 的长为 ，圆心角 ，则该扇环的面积为( )
A. B. C. D.
4. 一元二次不等式 的解为 ,那么 的解集为( )
A. 或 B. 或
C. D.
5. 已知函数 ，记 ， ， ，则( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 ，则下列不正确的为( )
A. 的定义域是 B. 有最大值
C. 不等式 的解集是 D. 在 上单调递减
7. 已知函数 的值域为 ,则实数 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,若对任意的正实数 满足 ,则 的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.
9. (多选) 已知函数 ( 且 )的图象经过定点 ，且点 在角 的终边上,则 的值可能是( )
A. B. C. D.
10. 下列选项中说法正确的有( )
A. 已知命题 ，则 为
B. 函数 的值域为
C. 函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为
D. 若函数 的值域为 ,则实数 的取值范围是
11. 已知 为正实数，且 ，则()
A. 的最小值为 1 B. 的最小值为 4
C. 的最大值为 4
D. 的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 的图象过定点 ,且点 在指数函数 图象上,则 _____.
13. 已知 ,则 的值为_____.
14. 已知函数 的定义域为 ,对于 ,有 ,且 , 则不等式 的解集为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. (1) 计算: ;
(2)已知 ，求 的值.
16. 设 .
(1)解关于 的不等式 ；
(2)设命题 ，若 为真命题，求 的取值范围.
17. 某科技公司为提高研发速度,计划建造一个高为 3 米,宽度为 米,地面面积为 80 平方米的长方体形状的实验室, 经过谈判, 工程施工单位给出两种报价方案.
方案一:实验室的墙面报价为每平方米 200 元，屋顶和地面报价共计 9600 元，总报价记为
方案二: 其给出的整体报价为 元 .
(1)若当宽度为 6 米时,方案二的报价为 28000 元，求实数 的值；
(2)求 的函数解析式，并求总报价 的最小值；
(3)若对任意的 时，方案二都比方案一省钱，求实数 的取值范围.
18. 已知函数 是定义在 上的奇函数.
(1)求实数 的值；
(2)判断并证明函数 的单调性;
(3)当 时,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
19. 已知函数 满足 ,函数 .
(1)求函数 的解析式；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若关于 的方程 有四个不同的实数解. 求实数 的取值范围.
1. D
,
故 .
故选: D.
2. B
若 ,则 ,
若 ,则 ,
所以 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件.
故选: B
3. A
由扇形面积公式 (其中 为扇形弧长, 为扇形圆心角, 为扇形半径) 可得,扇环面积 .
故选: A
4. D
一元二次不等式 的解为 ,
所以 的解为 ,且 ,
由韦达定理得 ,代入得
,
故选: D.
5. C
因为函数 ,定义域为 ,而且 所以 为偶函数,
因为 时, 在 上单调递增;
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 .
故选: C.
6. C
因为 ,由 ,解得 ,
所以 的定义域是 ,故 A 正确;
因 的对称轴为直线 ,其图象在 上递增,在 上递减,
又 在 上单调递增,故 在 上递增,在 上递减,
所以 的最大值为 ,故 正确;
,即
所以 解得 ,故 错误.
7. D
因为函数 在 上单调递增,故 ,
又因为 的值域为 ,
则 的值域包含 ,
所以 ,解得 .
故选: D.
8. C
构造新函数 ,
因为 ,
所以函数 的图象关于点 对称,
设 是任意两个实数,且 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,即 ,
所以函数 是实数集上的增函数,
,
因为函数 是实数集上的增函数,且函数 的图象关于点 对称,
所以 ,
,
因为 是两个正实数
所以 ,
即 ,当且仅当 时等号成立,即 ,
即当 时, 有最小值 ,
故选: C
9. BD
因为函数 的图象经过定点 ,
所以 或 ,
当点 在角 的终边上时, ,
此时 , B 正确;
当点 在角 的终边上时, ,
此时 , D 正确;
故选: BD
10.
A.命题 ,则 为 ,故 正确； B. 设 ,所以 ,所以函数 的值域为 ,故 正确;
C. 由复合函数的定义域可知， ，得 ，所以函数 的定义域为 ， 故 C 错误;
D. 当 时， 的值域为 ，当 时，若函数 的值域为 ,则 , 综上可知, 的取值范围是 ,故 错误.
11. ABD
由 得 ,
则 ,当且仅当 时,取等号, 正确,
,
当且仅当 时,取等号, 正确,
即 ,又 为正实数,
得 ,则 的最大值为 错误,
由 ,得 且 ,即 ,
所以
当且仅当 时,取等号,故 正确,
故选: ABD
12.
在 中,令 ,可得 ,
故 .
设 ,由题意可得 ,解得 .
所以 .
故答案为: .
13.
因为 ,
所以 ,
所以 .
故答案为: .
14.
对于 ,有 ,所以 . 所以函数 在 上为减函数. 令 ,易得其在 上为减函数.
由 ,得 .
由 ,得 ,
所以 ,即 ,得 或 .
故不等式 的解集为 .
故答案为:
15. .
(1)原式 ; (2) , 故 .
16. (1)答案见解析
(2)
(1) ,即 ,
当 时, ,得 ,此时不等式的解集为
解方程 ,得 或
当 时, ,则不等式解集为 ;
当 时， ，则不等式解集为 ；
当 时， ，则不等式解集为 ；
当 时, ,则不等式解集为 ,
综上,当 时,此时不等式的解集为
当 时,解集为 ; 当 时,解集为 ; 当 时,解集为 ; 当 时,解集为
(2)因为 为真命题，故对 ，即 ， 法 1: 当 ,即 时,函数 在 上单调递增, 故对 ,满足条件; 当 ,即 时,则 ,解得 ,
综上,实数 的取值范围是
法 2: 因为 ,所以 ,又 ,所以 ,
所以 ,
又 ,当且仅当 ,即 时取 “=”.
所以 ,
所以实数 的取值范围是 .
17. (1)20
(2) ; 最小值
(3)
(1) 因宽度为 6 米时,方案二的报价为 28000 元,且 ,
则 ,解得 ,
所以 的值为 20 .
(2)设底面长为 ,由题意易得 ,
故墙面面积为 ,
则 ,
因 ,则 ,当且仅当 时取等,
即总报价 的最小值为 .
(3)对任意的 时，方案二都比方案一省钱，
即 时, 恒成立,
整理得 ,
设 ,
因 ,则 ,
当且仅当 ,即 时, 取得最小值 ,
故 ,又 ,则 ,
所以若对任意的 时,方案二比方案一省钱,则 的取值范围为 .
18.(1)因为函数 是定义在 上的奇函数,
所以 ,即 ①;
又因为 ,所以 ,即 ②,
联立①②可得: ，解得 ，代入①可得: ，
经检验,当 时,
,满足题意.
(2)由(1)可得: ，下面证明函数 在 上为单调递增函数.
,当 时,
,
因为 ,且 为 上的增函数,所以 ,
则 ,
所以 ,即 ,
所以函数 在 上为单调递增函数;
(3)因为当 时，不等式 恒成立，
所以当 时,不等式 恒成立,
由函数 在 上为单调递增函数得: 当 时, ,即 恒成立,
令 ,
则当 即 时,函数 在 上单调递增,
所以 ,所以 即 或 ,所以 ;
当 即 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ,不符合题意;
当 即 时,函数 在 上单调递减,所以 , 所以 ,所以 或 ,所以 , 综上,实数 的取值范围为 .
19. (1)
(2)
(3)
(1) 因为 ①,
则 ②,
故联立上述方程,解得 ;
( 2 )由( 1 )知 ，
因为不等式 在 上恒成立,
所以 在 上恒成立,
设 ,则 ,
所以 在 上恒成立,
所以 在 上恒成立,
因为 ,所以 ,而 在 上单调递减,
故当 时, 取得最大值,最大值为 ,
所以 ,
所以 的取值范围是 ;
(3)方程 等价于 ，
即 ,
令 ,则方程化为 ,
因为方程 有四个不同的实数解,而 的每个值对应 的值有 2 个,
所以 有两个不同的正根 ,
记 ,
所以 ,解得 ,
所以 .
【点睛】结论点睛: 利用参变量分离法求解函数不等式恒 (能) 成立, 可根据以下原则进行求解:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .