湖北孝感市孝感高级中学2025-2026学年高三下学期2月测试数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖北孝感市孝感高级中学2025-2026学年高三下学期2月测试数学试卷（含解析） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 595.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-21 00:00:00 | ||
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文档简介
孝感高中 2023 级高三年级 数学试题
本卷满分 150 分 考试时间:120 分钟
★祝新年快乐 马到成功★
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项符合题目要求.
1. 集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ,则 ( )
A. 3 B. 2 C. D. 1
3. 已知 为偶函数，则 的值为( )
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
4. 对于响应变量 ,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的 称为预测值,观测值减去预测值称为残差. 将某公司新产品自上市起的月份 与该月的对应销量 (单位:万件)整理成如下表格:
月份 1 2 3 4 5
销量 0.5 1 1.4
建立 与 的线性回归方程为 ,则第 2 个月和第 4 个月的残差和为( )
A. -0.919 B. -0.1 C. 0.1 D. 0.919
5. 若函数 的两个零点分别为 和 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知 是公比不为 1 的等比数列 的前 项和,则 “ 成等差数列” 是 “存在不相等的正整数 ，使得 成等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 在 中，“ ”是 “ ”的()
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不必要条件, 又不充分条件
8. 已知双曲线 的右顶点为 ,抛物线 的焦点为 . 若在双曲线 的渐近线上存在点 ,使得 ,则双曲线 的离心率的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.
9. 下图是一个正方体的平面展开图, 则在该正方体中()
A. B. C. D.
10. 设 ,则 ( )
A.
B.
C. 的最小值为 -50
D. 若 且当 时， ，则有
11. 已知等式 其中 是自然对数的底数,将 视为自变量 , ， 为 的函数，记为 ，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若方程 有 4 个不等的实根，则
D. 当 时,若 的两实根为 ,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 设曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线互相平行,则点 的坐标为_____.
13. 现将 位民警派往甲，乙，丙，丁，戊 5 个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲， 每人只到 1 个学校，每个学校只去 1 人.已知 民警不能去甲学校， 两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有_____种.
14. 如图，在 中， . 取 边中点 ，连接 ，设 为 中点,连接 并延长与 交于点 ,则 的长为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求A；
(2)若 的外接圆半径为 ，且 ，求 的面积.
16. 已知 .
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若函数 满足在 上存在极大值，求 的取值范围；
17. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题， 若两人合计答对题数大于或等于 3 ，则取得胜利，并获得纪念品(恰好答对前三题时应继续答完第四题)；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为 ,假设甲、乙两人每次答题相互独立,且互不影响.
(1) 当 时,设 为乙答题的道数,求 的分布列及期望;
( 2 )当 时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值.
18. 如图,球 的半径为 是球 的一条直径, 是线段 上的动点,过点 且与 垂直的平面与球 的球面交于 是 的一个内接正六边形.
(1)若 是 的中点.
(i) 求六棱锥 的体积;
(ii) 求二面角 的余弦值;
(2)设 的中点为 ，求证: 为定值.
19. 如图,椭圆 ,已知 右顶点为 ,且它们的交点分别为 .
(1)求 与 的标准方程；
(2)过点 作直线 ，交 于点 ，交 于点 ，设直线 的斜率为 ，直线 的斜
率为 ,求 ; (上述各点均不重合)
(3)点 是 上的动点，直线 交 于点 ，直线 交 于点 ，直线 交 于点 ,直线 与直线 交于点 ,求点 坐标,使直线 与直线 的斜率之积为定值. (上述各点均不重合)
1. D
,
.
故选: D.
2. C
由 ,得 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
故选: C.
3. A
由 可得 ,故函数 的定义域为 ,
因为函数 为偶函数,则 ,
即 ,
所以 对任意的 恒成立,
故 ,解得 .
故选: A.
4. C
由题意可得 ,
将其代入回归方程，得 ，故 ，
将 2,4 代入线性回归方程，则第 2,4 个月的预测值分别为 ，
故第 2 个月和第 4 个月的残差和为 .
故选: C.
5. A
函数 ,其中 , 由 ,得 ,而 , 因此 ,即 ,则 ,即 , 所以 .
故选: A.
6. A
因为 是公比不为 1 的等比数列 的前 项和,所以若 成等差数列,则
从而 ,结合 化简得 ,
若 成等差数列,则 ,即 ,所以 ,
故当 时,有 ,
即 “ 成等差数列” 能推出 “存在不相等的正整数 ,使得 成等差数列”;
反之,满足 不一定是 ,如 ,
满足 ,但不满足 ,
即“存在不相等的正整数 ，使得 成等差数列”推不出“ 成等差数列”； 所以 “ 成等差数列” 是 “存在不相等的正整数 ,使得 成等差数列” 的充分不必要条件.
故选: A
7. C
等价于 ,
等价于 ,又在 中, ,
所以 等价于 ,
由正弦定理得 等价于 ,等价于 ,
故“ ”是“ ”的充要条件.
故选: C
8. B
双曲线 的右顶点 ,渐近线方程为 ,
抛物线 的焦点为 ,
设 ,则 ,
由 可得: ,
整理可得: ,
,
,
,
则: ,
由 可得: .
故选: B.
9. BCD
由正方体的平面展开图还原正方体如图,
由图形可知,
,故 A 错误;
由 ，四边形 为平行四边形，所以 ，故 B 正确；
因为 ，所以 平面 ，所以 ，故 C 正确； 因为 ,而 ,所以 ,故 D 正确.
故选: BCD
10. AC
因二项式 的展开式的通项为 ,
对于 ,由题意 ,故 正确;
对于 ,在 中,
取 ，可得 ，故 B 错误；
对于 ,
因 ,当 时, 的最小值为 -50,故 正确;
对于 ,由二项式的通项 ,
令 ,可得 ,
因 且当 时, ,则当 时, ,
于是当 时,
,
故 ,故 错误.
故选: AC
11. ABD
由题意知, ,故 ,即 ,
且 ,故 ,
对于 ,故 正确;
对于 ,故 在 上, 单调递增;
在 和 上, 单调递减;
故 且 ,故 ,故 B 正确;
对于 ,故 为偶函数,
则 有 4 个不等的实根,即 有 2 个不等的实根,
且 在 和 上单调递减,在 上单调递增,
故 ,即 ,故 错误;
对于 ,由 的单调性可知,当 时,若 的两实根为 ,
则 ,且 ,故 ,
引入不等式 ,
证明过程如下: 不妨设 ,
因为 ,
设 ,则问题转化为: .
令 ,
所以 在 上恒成立,
所以 在 上单调递增; 所以 ,
故 成立,所以 .
故 ,
故 ,故 正确.
故选: ABD
12.
设 ,因为 的导数为 ,
所以曲线 在点 处的切线的斜率为 1,
因为 的导数为 ,曲线 在点 处的切线斜率为 ,
所以 ,解得 ,代入 可得 ,故 .
故答案为: .
13. 60
因为每人只到 1 个学校,每个学校只去 1 人，所以将 5 人全排列有 种， 其中将 民警安排在甲学校有 种不同的安排方法,
将民警 或 安排在乙学校有 种不同的安排方法,
又 民警在甲学校，且民警 或 在乙学校有 ，
所以 民警不能去甲学校, 两位民警不能到乙学校,
则不同的分派方法共有 种.
故答案为: 60 .
14.
作 交 于点 ,
因为点 为 中点，所以点 为 中点，即
又因为 为 中点,即 ,
又因为 ,所以 ,即 ,
在 ，由余弦定理可得 ，
在 中， ，
则 ,
所以 ,则 .
故答案为: .
15. (1)
(2)
(1)由
可得: ,
即 ,
即 ,
又 ,
所以 ,
所以 ,即 ,
又 ,
所以 ,
所以 .
(2)由(1)可得: ，
所以 ,
又 ,可得: ,
由 ,
解得: ，
所以 .
16.
(2) 且 .
(1) 因为 ,故 ,故 ,故 ,
故 即为 ,
设 ,则 ,故 在 上为增函数,
而 即为 ,故 ,
故原不等式的解为 .
(2) 在 有极大值即为有极大值点.
若 ,则 时, 时, ,
故 为 的极小值点,无极大值点,故舍;
若 即 ,则 时, ,
时, ,
故 为 的极大值点,符合题设要求;
若 ,则 时, 无极值点,舍;
若 即 ,则 时, ,
时, ,
故 为 的极大值点,符合题设要求;
综上, 且 .
17. (1) 的可能取值为0,1,2,
当 时,甲前 2 题都答错,此时乙不需要答题,
所以 ,
当 时,甲前 2 道题只答对 1 道题,且乙答第 3 题时答错,此时不会继续答第 4 题,
甲前 2 道题只答对 1 道题的概率为 ,乙答错第 3 题的概率为 ,
所以 ,
当 时,有 2 种情况,
①甲前 2 道题只答对 1 道题，乙第 3 题答对，此时必答第 4 题，
概率为 ,
②甲答对 2 题，此时乙必答第 3 和第 4 道题，概率为 ，
所以 ,分布列如下,
0 1 2
期望 .
(2)两人合计答对题数大于或等于 3 获得纪念品，分三种情况:
①甲答对 1 题，乙答对 2 题，概率为 ；
②甲答对 2 题，乙答对 1 题，概率为 ；
③甲答对 2 题，乙答对 2 题，概率为 .
所以获得纪念品的概率 ,
又因为 ,所以 ,即 ,
对 进行变形,
由 可得 ,即 ,所以 ,
当且仅当 即 时等号成立.
所以 的最小值 .
综上,甲乙获得纪念品的概率的最小值为 .
18. (1)(i)因为 到 的距离为 2，所以 ( C ) 的半径为 ， 所以正六边形 的边长为 ,
所以正六边形 的面积为 ,
且 到 的距离为 6,所以六棱锥 的体积为 ;
(ii) 以 为原点, 为 轴, 的中垂线为 轴, 为 轴建系,
则 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量 ,
则
令 ,得 ,
设平面 的一个法向量
则 ,
令 得 ,
所以 .
(2)由已知， 点在过 且与 所在平面垂直的一个平面内，记这个平面为 . 在平面 内,以 为坐标原点,以 为 轴,以 中垂线为 轴建立平面直角坐标系, 设 ,则 ,
因为 ,所以 ,
即 ,又 的坐标分别为 ,
所以
19. ;
(2) ;
(3) .
( 1 )由题意得， ，又因为 在 上，
代入 得 ，所以 ，则 .
(2)设 ， ，则 ，
又因为 ,所以 ,
则 ,同理可得 ,所以 .
(3)设直线 分别为 ，其斜率依次为 ， 设直线 ,联立 得 , 即有 ,所以 ,代入直线方程得 , 则 ,设 ,
则经过 的两直线 之间斜率满足关系: ,
将直线 绕原点顺时针旋转 后也会经过 ,
所以两者斜率满足 ,所以 ,
同理将直线 绕原点顺时针旋转 后也会经过 ,
所以两直线斜率满足 ,
设 ,则有 ,代入上式得: ,
得到 ,
所以 ,因此存在定点 ,
使直线 和直线 的斜率之积为定值 5 .
本卷满分 150 分 考试时间:120 分钟
★祝新年快乐 马到成功★
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项符合题目要求.
1. 集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 若复数 满足 ,则 ( )
A. 3 B. 2 C. D. 1
3. 已知 为偶函数，则 的值为( )
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
4. 对于响应变量 ,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的 称为预测值,观测值减去预测值称为残差. 将某公司新产品自上市起的月份 与该月的对应销量 (单位:万件)整理成如下表格:
月份 1 2 3 4 5
销量 0.5 1 1.4
建立 与 的线性回归方程为 ,则第 2 个月和第 4 个月的残差和为( )
A. -0.919 B. -0.1 C. 0.1 D. 0.919
5. 若函数 的两个零点分别为 和 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知 是公比不为 1 的等比数列 的前 项和,则 “ 成等差数列” 是 “存在不相等的正整数 ，使得 成等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 在 中，“ ”是 “ ”的()
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不必要条件, 又不充分条件
8. 已知双曲线 的右顶点为 ,抛物线 的焦点为 . 若在双曲线 的渐近线上存在点 ,使得 ,则双曲线 的离心率的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.
9. 下图是一个正方体的平面展开图, 则在该正方体中()
A. B. C. D.
10. 设 ,则 ( )
A.
B.
C. 的最小值为 -50
D. 若 且当 时， ，则有
11. 已知等式 其中 是自然对数的底数,将 视为自变量 , ， 为 的函数，记为 ，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若方程 有 4 个不等的实根，则
D. 当 时,若 的两实根为 ,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 设曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线互相平行,则点 的坐标为_____.
13. 现将 位民警派往甲，乙，丙，丁，戊 5 个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲， 每人只到 1 个学校，每个学校只去 1 人.已知 民警不能去甲学校， 两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有_____种.
14. 如图，在 中， . 取 边中点 ，连接 ，设 为 中点,连接 并延长与 交于点 ,则 的长为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求A；
(2)若 的外接圆半径为 ，且 ，求 的面积.
16. 已知 .
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若函数 满足在 上存在极大值，求 的取值范围；
17. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题， 若两人合计答对题数大于或等于 3 ，则取得胜利，并获得纪念品(恰好答对前三题时应继续答完第四题)；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为 ,假设甲、乙两人每次答题相互独立,且互不影响.
(1) 当 时,设 为乙答题的道数,求 的分布列及期望;
( 2 )当 时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值.
18. 如图,球 的半径为 是球 的一条直径, 是线段 上的动点,过点 且与 垂直的平面与球 的球面交于 是 的一个内接正六边形.
(1)若 是 的中点.
(i) 求六棱锥 的体积;
(ii) 求二面角 的余弦值;
(2)设 的中点为 ，求证: 为定值.
19. 如图,椭圆 ,已知 右顶点为 ,且它们的交点分别为 .
(1)求 与 的标准方程；
(2)过点 作直线 ，交 于点 ，交 于点 ，设直线 的斜率为 ，直线 的斜
率为 ,求 ; (上述各点均不重合)
(3)点 是 上的动点，直线 交 于点 ，直线 交 于点 ，直线 交 于点 ,直线 与直线 交于点 ,求点 坐标,使直线 与直线 的斜率之积为定值. (上述各点均不重合)
1. D
,
.
故选: D.
2. C
由 ,得 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
故选: C.
3. A
由 可得 ,故函数 的定义域为 ,
因为函数 为偶函数,则 ,
即 ,
所以 对任意的 恒成立,
故 ,解得 .
故选: A.
4. C
由题意可得 ,
将其代入回归方程，得 ，故 ，
将 2,4 代入线性回归方程，则第 2,4 个月的预测值分别为 ，
故第 2 个月和第 4 个月的残差和为 .
故选: C.
5. A
函数 ,其中 , 由 ,得 ,而 , 因此 ,即 ,则 ,即 , 所以 .
故选: A.
6. A
因为 是公比不为 1 的等比数列 的前 项和,所以若 成等差数列,则
从而 ,结合 化简得 ,
若 成等差数列,则 ,即 ,所以 ,
故当 时,有 ,
即 “ 成等差数列” 能推出 “存在不相等的正整数 ,使得 成等差数列”;
反之,满足 不一定是 ,如 ,
满足 ,但不满足 ,
即“存在不相等的正整数 ，使得 成等差数列”推不出“ 成等差数列”； 所以 “ 成等差数列” 是 “存在不相等的正整数 ,使得 成等差数列” 的充分不必要条件.
故选: A
7. C
等价于 ,
等价于 ,又在 中, ,
所以 等价于 ,
由正弦定理得 等价于 ,等价于 ,
故“ ”是“ ”的充要条件.
故选: C
8. B
双曲线 的右顶点 ,渐近线方程为 ,
抛物线 的焦点为 ,
设 ,则 ,
由 可得: ,
整理可得: ,
,
,
,
则: ,
由 可得: .
故选: B.
9. BCD
由正方体的平面展开图还原正方体如图,
由图形可知,
,故 A 错误;
由 ，四边形 为平行四边形，所以 ，故 B 正确；
因为 ，所以 平面 ，所以 ，故 C 正确； 因为 ,而 ,所以 ,故 D 正确.
故选: BCD
10. AC
因二项式 的展开式的通项为 ,
对于 ,由题意 ,故 正确;
对于 ,在 中,
取 ，可得 ，故 B 错误；
对于 ,
因 ,当 时, 的最小值为 -50,故 正确;
对于 ,由二项式的通项 ,
令 ,可得 ,
因 且当 时, ,则当 时, ,
于是当 时,
,
故 ,故 错误.
故选: AC
11. ABD
由题意知, ,故 ,即 ,
且 ,故 ,
对于 ,故 正确;
对于 ,故 在 上, 单调递增;
在 和 上, 单调递减;
故 且 ,故 ,故 B 正确;
对于 ,故 为偶函数,
则 有 4 个不等的实根,即 有 2 个不等的实根,
且 在 和 上单调递减,在 上单调递增,
故 ,即 ,故 错误;
对于 ,由 的单调性可知,当 时,若 的两实根为 ,
则 ,且 ,故 ,
引入不等式 ,
证明过程如下: 不妨设 ,
因为 ,
设 ,则问题转化为: .
令 ,
所以 在 上恒成立,
所以 在 上单调递增; 所以 ,
故 成立,所以 .
故 ,
故 ,故 正确.
故选: ABD
12.
设 ,因为 的导数为 ,
所以曲线 在点 处的切线的斜率为 1,
因为 的导数为 ,曲线 在点 处的切线斜率为 ,
所以 ,解得 ,代入 可得 ,故 .
故答案为: .
13. 60
因为每人只到 1 个学校,每个学校只去 1 人，所以将 5 人全排列有 种， 其中将 民警安排在甲学校有 种不同的安排方法,
将民警 或 安排在乙学校有 种不同的安排方法,
又 民警在甲学校，且民警 或 在乙学校有 ，
所以 民警不能去甲学校, 两位民警不能到乙学校,
则不同的分派方法共有 种.
故答案为: 60 .
14.
作 交 于点 ,
因为点 为 中点，所以点 为 中点，即
又因为 为 中点,即 ,
又因为 ,所以 ,即 ,
在 ，由余弦定理可得 ，
在 中， ，
则 ,
所以 ,则 .
故答案为: .
15. (1)
(2)
(1)由
可得: ,
即 ,
即 ,
又 ,
所以 ,
所以 ,即 ,
又 ,
所以 ,
所以 .
(2)由(1)可得: ，
所以 ,
又 ,可得: ,
由 ,
解得: ，
所以 .
16.
(2) 且 .
(1) 因为 ,故 ,故 ,故 ,
故 即为 ,
设 ,则 ,故 在 上为增函数,
而 即为 ,故 ,
故原不等式的解为 .
(2) 在 有极大值即为有极大值点.
若 ,则 时, 时, ,
故 为 的极小值点,无极大值点,故舍;
若 即 ,则 时, ,
时, ,
故 为 的极大值点,符合题设要求;
若 ,则 时, 无极值点,舍;
若 即 ,则 时, ,
时, ,
故 为 的极大值点,符合题设要求;
综上, 且 .
17. (1) 的可能取值为0,1,2,
当 时,甲前 2 题都答错,此时乙不需要答题,
所以 ,
当 时,甲前 2 道题只答对 1 道题,且乙答第 3 题时答错,此时不会继续答第 4 题,
甲前 2 道题只答对 1 道题的概率为 ,乙答错第 3 题的概率为 ,
所以 ,
当 时,有 2 种情况,
①甲前 2 道题只答对 1 道题，乙第 3 题答对，此时必答第 4 题，
概率为 ,
②甲答对 2 题，此时乙必答第 3 和第 4 道题，概率为 ，
所以 ,分布列如下,
0 1 2
期望 .
(2)两人合计答对题数大于或等于 3 获得纪念品，分三种情况:
①甲答对 1 题，乙答对 2 题，概率为 ；
②甲答对 2 题，乙答对 1 题，概率为 ；
③甲答对 2 题，乙答对 2 题，概率为 .
所以获得纪念品的概率 ,
又因为 ,所以 ,即 ,
对 进行变形,
由 可得 ,即 ,所以 ,
当且仅当 即 时等号成立.
所以 的最小值 .
综上,甲乙获得纪念品的概率的最小值为 .
18. (1)(i)因为 到 的距离为 2，所以 ( C ) 的半径为 ， 所以正六边形 的边长为 ,
所以正六边形 的面积为 ,
且 到 的距离为 6,所以六棱锥 的体积为 ;
(ii) 以 为原点, 为 轴, 的中垂线为 轴, 为 轴建系,
则 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量 ,
则
令 ,得 ,
设平面 的一个法向量
则 ,
令 得 ,
所以 .
(2)由已知， 点在过 且与 所在平面垂直的一个平面内，记这个平面为 . 在平面 内,以 为坐标原点,以 为 轴,以 中垂线为 轴建立平面直角坐标系, 设 ,则 ,
因为 ,所以 ,
即 ,又 的坐标分别为 ,
所以
19. ;
(2) ;
(3) .
( 1 )由题意得， ，又因为 在 上，
代入 得 ，所以 ，则 .
(2)设 ， ，则 ，
又因为 ,所以 ,
则 ,同理可得 ,所以 .
(3)设直线 分别为 ，其斜率依次为 ， 设直线 ,联立 得 , 即有 ,所以 ,代入直线方程得 , 则 ,设 ,
则经过 的两直线 之间斜率满足关系: ,
将直线 绕原点顺时针旋转 后也会经过 ,
所以两者斜率满足 ,所以 ,
同理将直线 绕原点顺时针旋转 后也会经过 ,
所以两直线斜率满足 ,
设 ,则有 ,代入上式得: ,
得到 ,
所以 ,因此存在定点 ,
使直线 和直线 的斜率之积为定值 5 .
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