湖北武汉市新洲一中2025-2026学年高二下学期收心作业数学试题（含解析）

新洲一中 2027 届高二(下)收心作业数学试卷
一、单选题: (本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的选项中, 只有一项是符合题目要求的.)
1. 从 这 6 个整数中随机抽取 1 个数,记事件 “抽到小于 4 的数”,事件 “抽到大于 3 的数”, 事件 “抽到大于 2 的偶数”, 则 ( )
A. 和 不互斥 B. 和 互斥且对立
C. 和 不互斥 D. 和 互斥且对立
2. 以下说法中,正确的个数为( )
①“ ”是“ ， 共线”的充分不必要条件；
② 若 ，则存在唯一的实数 ，使得 ；
③若 ，则 ；
④若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底；
⑤ .
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知直线 ,直线 是直线 绕点 逆时针旋转 得到的直线,则直线 的方程是 ( )
A.
B.
C.
D.
4. 方程 表示焦点在 轴上的椭圆,则 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
5. 设数列 的通项公式为 ,若数列 是单调递增数列,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥. 如图,在鳖臑 中, 平面 , 分别是棱 的中点，点 是线段 的中点，则点 到直线 的距离是 ( )
A. B. C. D.
7. 已知实数 满足 ,则 的取值范围是 ( ).
A.
B.
C.
D.
8. 过抛物线 的焦点 作两条互相垂直的弦 ，设 为抛物线上的一动点， . 若 ，则 的最小值是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题:(本题共 3 小题，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.)
9. 下列说法正确的是( )
A. 掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会不一样大
B. 射击运动员击中靶的概率是 0.9 ，说明他中靶的可能性很大
C. 某彩票中奖的概率是 2%，买 100 张一定有 2 张中奖
D. 某中学生对他所在的住宅小区的家庭进行调查, 发现拥有空调的家庭占 65%，于是他得出该市拥有空调的家庭的百分比为 65% 的结论
10. 在递增的等比数列 中, 是数列 的前 项和,若 ,则下列说法正确的是( )
A. B. 数列 是等比数列
C. D. 数列 是公差为 的等差数列
11. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ,点 在椭圆内部, 点 在椭圆上,椭圆 的离心率为 ,则以下说法正确的是 ( )
A. 离心率 的取值范围为 B. 当 时, 的最小值为
C. 不存在点 ,使得
D. 的最小值为 1
三、填空题:(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束). 根据前期比赛成绩, 甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.6 , 客场取胜的概率为 0.5 , 且各场比赛结果相互独立, 则乙队以 4:1 获胜的概率是_____.
13. 阿波罗尼斯 (约公元前 262-公元前 190 年) 证明过这样的一个命题: 平面内到两定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆. 若平面内两定点
间的距离为 4,动点 满足 ,当 不共线时, 面积的最大值是_____.
14. 如图,在棱长为 2 的正方体 中,点 分别是棱 的中点, 是侧面 内一点 (包括边界),若 平面 ,则线段 长度的取值范围是_____.
四、解答题:(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤.)
15. 已知圆 是直线 上的一动点,过点 作圆 的切线,切点分别为 .
(1)当点 的横坐标为 6 时，求切线的方程；
(2)当点 在直线 上运动时且点 的横坐标 ,求四边形 面积的取值范围.
16. 如图，在四棱锥 中， ， ， ，点 在 上，且 ， .
(1)若 为线段 中点，求证: 平面 .
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的正切值.
17. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下:先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛. 一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局.
(1)设事件 “两个骰子点数和能被 3 整除”，求事件 的概率；
(2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为 . 现已决定出乙作为第一局的裁判， 求甲恰好胜一局的概率.
18. 在平面直角坐标系 中,直线 与抛物线 交于 两点.
(1)若 ，求抛物线 的方程；
(2)已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 .
① 求 的取值范围；
② 求 的取值范围.
19. 已知数列 满足 ,且 .
(1)求 ；
(2)求证:数列 是等比数列；并求数列 的通项公式；
(3)已知 对于 恒成立,且 ,求证: .
1. B
从 这 6 个整数中随机抽取 1 个数,样本空间为 ,
事件 “抽到小于 4 的数”, ,
事件 “抽到大于 3 的数”, ,
事件 “抽到大于 2 的偶数”, ,
和 互斥,故选项 A 错误;
和 互斥且对立,故选项 正确;
和 互斥,故选项 错误;
和 不对立,故选项 错误.
2. A
对于①,若 ,则 反向共线,充分性成立,
但当非零向量 同向共线时,不存在 ,必要性不成立,
则“ ”是“ 共线”的充分不必要条件，故①正确；
对于②，当 为零向量， 不为零向量时， 不存在，故②错误；
对于③，由 ， ，则 ， ，
不能得到 ,故③错误；
对于④，用反证法，若 不构成空间的一个基底，即 共面，
设 ,则 ,方程组无解,矛盾,
即 不共面,构成空间的另一个基底,故④正确;
对⑤， ，故⑤错误.
3. C
设直线 的倾斜角为 ,则 ,
由直线 是直线 绕点 逆时针旋转 得到的直线,
故直线 的倾斜角为 ,
故直线 的斜率为 ,
又 在直线 上,故直线 过点 ,
即直线 的方程为 ,化简得 .
4. C
由题意得 ,解得 .
5. B
由数列 是单调递增数列可得,对于 都有 成立, 即 ,即 对 都成立, 所以 .
6. D
以 为原点,以 ,过点 且平行于 的直线为 轴建立空间直角坐标系,
则 .
因为 分别是棱 的中点,所以 .
因为点 是线段 的中点,所以 .
所以 ,
所以点 到直线 的距离为
故选: D.
7. A
当 时, ,方程表示的曲线是焦点在 轴上的椭圆的一部分, 当 时, ,方程表示的曲线是焦点在 轴上的双曲线的一部分,其渐近线为 ,
当 时, ,方程表示的曲线是焦点在 轴上的双曲线的一部分,其渐近线为 ,
当 时, ,方程表示的曲线不存在,
作出方程 表示的曲线,如图:
曲线 上任意点 到直线 的距离 , 则 表示曲线 上任意点到直线 距离的 2 倍,
显然曲线 的渐近线 平行于直线 ,直线 的距离 , 令平行于直线 且与曲线 在第一象限部分相切的直线为
由 ,消去 得 ,则 ,
解得 ,即直线 ,直线 的距离 , 观察图形,得 ,即 ,解得 , 所以 的取值范围是 .
8. D
设直线 的方程为 ,与 联立可得 , 设 ,则 ,
因为 ,则 ,
则 ,
因为 ,所以直线 的直线方程为 ,
故可得 ,
因为 ,所以 ,
即 ,解得 ,
故抛物线方程为 ,故焦点为 ,准线方程为 ,
设 到准线 的垂线段为 为垂足,
则 ,故 ,
表示点 到准线的距离与到点 的距离之和,
故当 三点共线时,距离和最小,
此时 点坐标为 ,故 ,
即 的最小值为 4 .
9. AB
对 A，掷一枚硬币正面朝上的概率是 0.5，抛一枚图钉钉尖着地的概率不是 0.5 ，钉尖朝上的概率比较大, 所以 A 对;
对 B，射击运动员击中靶的概率是 0.9 ，所以中靶的可能性很大，所以 B 对；
对 ,概率只是一种可能性的预测,并不是绝对的,买 100 张也有可能全部没有中奖,所以 C 错;
对 D，只对一个小区抽样并不能代表整个城市，所以 D 错.
10. ABD
选项 ①,
②,
①② 联立方程组,得到 或 ，
是递增的等比数列,
,故选项 A 正确;
选项 B,将 代入②，解得 ，
,
,
数列 是等比数列,故选项 正确;
选项 C, ,故选项 C 错误;
选项 D, ,
,故选项 D 正确.
11.
由椭圆方程可得 ,
选项 A: 因为点 在椭圆 内部,所以 ,解得 , 又因为 ,所以 , A 说法正确;
选项 B:当 时，由 解得 ，所以 ，
因为点 在椭圆上，所以 ，
因为 ,即 ,
所以 ,
当且仅当 共线且 在 之间时等号成立,
所以当 时， 的最小值为 ，B 说法正确；
选项 C: 设 ,若存在点 ,使得 ,
则 ,即 ,
因为 ,
所以 ,圆 与椭圆 没有交点,
所以假设矛盾,即不存在点 ,使得 说法正确;
选项 D,因为点 在椭圆上,所以 ,
所以
当且仅当 时等号成立, 说法错误.
12. 0.08
由题可知乙在甲主场取胜概率为 ,乙在甲客场取胜概率为 , 前五场主客安排为:(甲)主主客客主
则甲胜第一场 (主): ,
则甲胜第二场 (主): ,
则甲胜第三场 (客): ,
则甲胜第四场(客): ，
乙队以 4:1 获胜的概率 .
故答案为: 0.08
13.
由题意得 间的距离为 4,不妨设 ,
因为 不共线,故设 ,
因为 ,则 ,即 ,
整理得 ,
即点 的轨迹是以 为圆心, 为半径的圆除去与 轴的交点,
当点 到 ( 轴)的距离最大为 时， 的面积最大，
此时 .
14.
分别取 的中点 ,连接 ,
因为 分别是棱 的中点,故 ,
因为 平面 平面 ,所以 平面 ,
同理可得 平面 ,又 平面 ,
所以平面 平面 ,
故当点 在线段 上时， 平面 ，所以 平面 ，
其中 ,由勾股定理可得 ,
故当 为 的中点时, 最短,此时 ,
当 与 或 重合时, 最大,最大值为 , 所以线段 长度的取值范围是 .
15. (1) 或
(2)
(1)圆 的圆心 为 ,半径为 2,
因为 是直线 上的一动点,则当点 的横坐标为 6 时, 点坐标为 ,
当切线的斜率不存在时,切线方程为 ,符合题意;
当切线的斜率存在时,设切线方程为 ,即 ,
由 ,解得 ,
此时切线方程为 ,即 ,
综上,所求的切线方程为 或 ;
(2) ,
则要使四边形 面积的最小值,只需 的值最小,
因为点 在直线 上,
所以 的最小值为圆心 到直线 的距离,
所以 ,
此时 ,解得 ,
即此时点 符合要求;
由 ,则当 或 时, 取得最大值,
若 ,则 ,
若 ,则 ,
故 ,即 ,
所以四边形 面积的最小值为 ,
最大值为 ,
即四边形 面积的取值范围为 .
16. (1) 取 的中点为 ,连接 ,则 ,
而 ，则 ，即四边形 为平行四边形，
因此 ,而 平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)由 ，得 ，则 ，四边形 为平行四边形，
则 ,由 平面 ,得 平面 ,则直线 两两垂直, 以点 为原点,直线 分别为 轴建立空间直角坐标系,
则 ,
,
设平面 的法向量为 ,则 ,取 ,得 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,取 ,得 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,则 ,
所以平面 与平面 夹角的正切值为 .
17.
(2)
(1)因为骰子的质地均匀, 所以各个样本点出现的可能性相等, 因此这个试验是古典概型,
样本空间: 共 个样本点,
事件 含有:
共 12 个样本点,故 ;
(2)记事件 为第 局甲胜, ，由题意知 ，记事件 为甲恰好胜一局， 有如下两种情况:
①第 1 局甲胜，第 2 局甲败，②第 1 局甲败，第 3 局甲胜，
因为每局比赛结果相互独立,所以事件 与 与 也独立,
则 ,
因为 ,且事件 与 互斥,
所以 ,
所以甲恰好胜一局的概率为 .
18. .
(2)① ；② 0
(1) 设 ,
联立方程 消去 得 ,
则 ,
所以 ,
解得 或 (舍去), 所以抛物线 的方程为 .
(2)①依题意可知直线 垂直平分线段 ，
所以直线 的斜率为 -1,设其方程为 ,
代入 中消去 可得到: (*)，
设 ,则 ,
因为 的中点 在直线 上,所以 ,
又因为 在直线 上,所以 ,
因为方程 (*) 有两个相异实根,所以 ,解得 , 故所求 的取值范围是 .
② 设 ， ， ， ，
方法一: ,
则
,
因为 ,
所以 ,
则 ,
又因为 即 ,
所以
方法二: 以 为直径的圆为 ,
即 ,
由 (1) ,因为 ,所以 ,
所以代入方程 ,
可化为 ,
即 ,
记以 为直径的圆的圆心为 ,
因为线段 的中点 ,所以 ,
又
,
所以 ,
所以以 为直径的圆过点 ,
所以 的值为 0 .
19.(1) 由 得:
(2)证明:因为 ，
所以 ,
所以 ,
又 ,
所以 ,
所以数列 是以 8 为首项，4 为公比的等比数列；
,
则有 ,
由累加法得: ,
所以 ,
又 也满足上式,
所以 ;
(3)证明:因为 对于 恒成立，
所以 对于 恒成立,
所以 对于 恒成立,
当 时， ，即: 对于 恒成立，
所以 对于 恒成立,
所以 .