湖北武汉市新洲一中2025-2026学年高一下学期开学数学收心作业（含解析）

新洲一中 2028 届高一下学期开学数学收心作业
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“ ”的否定是( )
A. B.
C. D.
2. 已知 ,且 ,若 恒成立,则实数 的取值范围是 ( )
A. 或 B. 或
C. D.
3. 已知函数 是幂函数，且在 上递增，则实数 ( )
A. 2 B. -1 C. 4 D. 2 或 -1
4. 已知偶函数 在区间 单调递增,则满足 的 取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 已知 ,且 ,则 ( )
A. B. 12
C. D. -12
6. 若将函数 的图像向左平移 个单位长度,则平移后图像的对称轴为
A.
B.
C.
D.
7. 若函数 在区间 上单调递增,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
8. 若关于 的方程 在 上有实数根,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求.
9. 下列结论正确的是( )
A. 是第三象限角
B. 若圆心角为 的扇形的弧长为 ,则该扇形的面积为
C. 若角 的终边上有一点 ，则
D. 若角 为锐角，则角 为钝角
10. 给出下列结论, 其中正确的结论是 ( )
A. 函数 的最大值为
B. 已知函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是
C. 在同一平面直角坐标系中,函数 与 的图象关于直线 对称
D. 若 ,则 的值为 1
11. 已知函数 是偶函数， 是奇函数，当 时， ，则下列选项正确的是( )
A. 在 上为减函数 B. 的最大值是 1
C. 的图象关于直线 对称 D. 在 上
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 函数 的单调递增区间为_____
13. 化简: _____.
14. 函数 ,若方程 恰有三个不同的解,记为 , ,则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算 步骤.
15. 已知 .
(1)若 是第一象限角，求 的值；
(2) 求 的值.
16. 已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期；
(2)求函数 的单调区间；
(3)求 在区间 上的最值.
17. 已知函数 .
(1)若函数 为奇函数，求 的值；
(2)当 时，用函数单调性的定义证明:函数 在 上单调递增；
(3)若函数 有两个不同的零点，求 的取值范围.
18. 如图为函数 的部分图象.
(1)求函数解析式；
(2)求函数 的单调递增区间；
(3)将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若方程 在 上有两个不相等的实数根,则实数 的取值范围.
19. 已知定义在 上的函数 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若对于任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)记 ，若方程 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围.
1. D
“ ” 的否定是 “ ”.
故选: D
2. D
因为 ,
所以 .
当且仅当 ,即 时取等号,
又因为 恒成立,
所以 ,解得 .
故选: D.
3. B
因函数 是幂函数,则 ,即 ,解得 或 ,
当 时,函数 在 上递增,则 ,
当 时,函数 在 上递减,不符合要求,
实数 .
故选: B
4. A
因为偶函数 在区间 上单调递增,
所以 在区间 上单调递减,故 越靠近 轴,函数值越小,
因为 ,
所以 ,解得: .
故选: A.
5. A
,即 ,
由 可知, ,
,
,
故选: A
6. B
由题意得,将函数 的图象向左平移 个单位长度,得到 ,由 ,得 ,即平移后的函数的对称轴方程为 ,故选 B.
7. B
考虑函数函数 ,
令 ,
函数 在区间 上单调递增,
则 ,解得 ,所以 ,又 ,
所以
故选: B
8. A
当 时,令 ,则 ,可得 ,
设 ,其中 ,任取 ,
则 .
当 时, ,则 ,即 ,
所以,函数 在 上为减函数;
当 时, ,则 ,即 ,
所以,函数 在 上为增函数.
所以, ,则 ,
故函数 在 上的值域为 ,
所以， ，解得 .
故选: A.
9.
对于 选项，因为 且 为第二象限角，
故 是第二象限角, 错;
对于 选项,若圆心角为 的扇形的弧长为 ,则该扇形的半径为 ,
因此,该扇形的面积为 对;
对于 选项,若角 的终边上有一点 ,则 对;
对于 选项，因为 为锐角，不妨取 ，则 为直角， 错.
故选: BC.
10. BCD
解: 对于 : 函数 的最小值为 ,故 错误;
对于 : 已知函数 在 上是减函数,
所以 ,解得 ,故 正确.
对于 : 同一平面直角坐标系中,由于函数 与 互为反函数,所以他们的图象关于直线 对称,故 正确;
对于 : 由于 ,则 ,则 ,同理 ,
所以 ,故 正确. 故选: .
11. BCD
因为当 时, ,则函数 在 上递减,
又函数 是偶函数，所以 在 上为增函数；故 A 错；
因为函数 是偶函数, 是奇函数,
所以 ,则 ,
所以 ,则 ,即 ,
所以 以 4 为周期;
则 ,所以 关于直线 对称,
因此当 时, ;
当 时, ,则 ,又 , 所以 ;
因为偶函数关于 轴对称,所以当 时, ;
综上,当 时, ;
又 是以 4 为周期的函数,所以 ,则 ,故 正确;
因为 ,函数 为偶函数,
所以 ,因此 ,所以 的图象关于直线 对称; 即 正确;
因为 时, 显然恒成立,函数 是以 4 为周期的函数,
所以 在 上也满足 恒成立; 故 D 正确;
故选: BCD.
12.
令 ,解得 或 ,
故函数 的定义域为 .
在 上单调递增, 在 上单调递减,在 上单调递增,
在 上单调递减,在 上单调递增,
故函数 的单调递增区间为 .
故答案为: .
13.
由题
.
故答案为: .
14.
作出函数的图像如图所示,根据图像可知 恰有三个不同的解时
,设 ,令 ,可得 ,根据对称性可知 关于 对称,所以 ,又因为 ,所以
.
故答案为: .
15.
(2)
(1) ,
所以 ,又因为 ,可得 ,
因为 是第一象限角,故 .
(2)
.
16. (1)因为 . 由 ,所以函数 的最小正周期为 .
(2)由 得: .
由 得: .
所以函数 的单调增区间为 ; 单调减区间为
(3)因为 ，所以 . 所以 ,函数在 上的最小值为 0,最大值为 2 .
17.(1) 的定义域为 ,且 为奇函数,
由 ,得 ,
此时 .
因为 ,所以 为奇函数,
故 .
(2)当 时， .
任取 ,且 ,
则 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,即 ,
所以函数 在 上单调递增.
(3) 有两个不同的零点，等价于 有两个不同的实数解. 令 ,则 在 有两个不同的实数解,
令 ,其中 ,
所以 ,解得 .
所以 的取值范围为 .
18. (1) ; (2) ; (3) .
(1) 由题中的图象知, ,
所以 ,
因为图象过点 ,
所以 ,
解得 ,
,
函数解析式为 ;
(2)令 ，
解得 ,
所以 的单调递增区间为 ;
(3)由题意得 在 上的图象如图所示:
当方程 在 上有两个不相等的实数根时,
由函数的图象可知, 时,有两个不同的实根.
19. (1) ；(2) ；(3)
(1) ,即 ,解得: ,所以 ;
(2)对于任意的 ,
等价于对于任意的 恒成立
设 ，
令 ,由于 ,则 ,
故 ,当 时, 取最小值 ,故 ;
(3)因为 ,
令 ,则方程 等价于 ,
即 ,
又方程 有三个不同的实数解,
所以方程 有两个不同的实数解 ,
又 的图像如下图所示:
则 或
令 ,
所以 ①或 (2)
解不等式组①,得 ; 解不等式组②,无解;
综上: .
【点睛】本题考查了二次函数, 指数函数的性质, 以及函数与方程根的关系, 同时考查转化思想以及换元思想, 属于中档题.