湖北武汉市第二中学2025-2026学年度高一下学期3月月考数学试卷（含解析）

2025-2026 学年湖北省武汉二中高一(下)月考数学试卷(3 月份)
一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 共 40 分.
1. 在平面直角坐标系 中,角 的终边经过点 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 若向量 ，且 三点共线，则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知平面向量 ，则 在 方向上的投影向量坐标为( )
A. B.
C. D.
4. 如图,在四边形 中, ,设 ,则 等于 ( )
A. B.
C. D.
5. 计算: ( )
A. B. C. D.
6. 已知平面向量 满足 ，且 ，则 ( )
A. B. C. 2 D. 1
7. 已知函数 是奇函数,将 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变),所得图像对应的函数为 . 若 的最小正周期为 ,且 ,则 ( )
A. -2 B. C. D. 2
8. 已知平面向量 ,且 . 已知向量 与 所成的角为 ,且 对任意实数 恒成立，则 的最小值为( )
A. B. C. D. 4
二、多项选择题: 本大题共 3 小题, 共 18 分.
9. (多选) 的内角 的对边分别为 ，下列四个命题中正确的是( )
A. 若 ，则 一定是锐角三角形
B. 若 ,则 一定是等边三角形
C. 若 ,则 一定是等腰三角形
D. 若 ,则 一定是等腰三角形
10. 函数 的部分图象如图所示,将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象,则下列关于函数 的说法正确的有( )
A. 是 的一条对称轴
B. 在 上单调递增
C. 的一个对称中心为
D. 是偶函数
11. 已知点 为 所在平面内一点，满足 ，(其中 ) ()
A. 当 时,直线 过边 的中点
B. 若 时, 与 的面积之比为
C. 若 ,且 ,则
D. 若 ，且 ，则 满足
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 设向量 ，且 ，则 _____1_____.
13. 已知 ,若 ,则
14. 已知 为 的外心,若 ,则 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 的内角 的对边分别为 ,设 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
16. 已知函数 .
(I) 求 的定义域与最小正周期;
(II) 讨论 在区间 上的单调性.
17. 如图, 的内角 的对边分别为 是边 的中点,点 在边 上, 且满足 与 交于点 .
(1)试用 ， 表示 和 ；
(2)若 ，求 .
18. 已知向量 ，函数
(1)若 的最小值为-1，求实数 的值；
(2)是否存在实数 ，使函数 有四个不同的零点？若存在,求出 的取值范围; 若不存在,请说明理由.
19. 设 为坐标原点,定义非零向量 的"相伴函数"为 称为函数 的“相伴向量”.
(1)设函数 ，求函数 的相伴向量 ；
(2)记 的“相伴函数”为 ，若方程 在区间 上有且仅有四个不同的实数解,求实数 的取值范围;
(3)已知点 满足 ,向量 的“相伴函数” 在 处取得最大值,当点 运动时,求 的取值范围.
1. A
注意到 ,则 在单位圆上,则 .
故选: A
2. B
由 三点共线,得 ,
又 ,得 ,解得 .
故选: B
3. B
因为 ,则 ,
所以 在 方向上的投影向量坐标为 .
故选: B.
4. C
依题意, .
故选:
5.
所以原式 .
故选:
6.
因为 ,所以 ,即 ,
因为 ,所以 ,
,又 ,
所以 .
故选: C.
7. C
因为 为奇函数, ;
又 ,
又
.
故选 C.
8. B
平方去绝对值号,由 ,则 , 根据向量 与 的条件可得 ,
化简可得 ,
令 ,由于函数开口向上,所以需要满足
,所以 .
观察所求式子内部,两者相减可将 约掉,所以可用向量的三角不等式求解,
即 ,
又 ,
则 的最小值为 .
9. BD
对于 ,若 ,则 ,
则 为锐角,但是 两角无法判断其是否为锐角,
如当 时,
为钝角三角形,故 A 错误;
对于 ,因为 ,所以 ,
所以 ,且 ,所以 ,
所以 为等边三角形，故 B 正确；
对于 ,因为 ,所以 ,
所以 ,所以 或 ,
所以 或 ,
所以 是等腰三角形或直角三角形，故 C 错误；
对于 ，因为 ，所以 ，
即 ,则 ,
又因为 ,所以 或 (舍去),
所以 为等腰三角形，故 D 正确.
故选: BD.
10. AD
由图知: ,则 ,
,所以 ,则 ,
即 .
因为 ,所以 ,即 .
因为 ,得 ,所以 .
所以 .
对于选项 A: 当 时, ,故 A 对;
对于选项 B: 的单调递增区间为 ，
解得 ,
当 时,故 在 上单调递增,在 上单调递减,故 错;
对于选项 C: ,故 C 错;
对于选项 D: ,
所以 是偶函数,故 对,
故选: AD.
11. AD
对于 ,设 的中点为 ,则当 时,有 , 即得 三点共线,故直线 过边 的中点,故 正确;
对于 ,延长 至 ,使 ,延长 至 ,使 ,
连接 ,设其中点为 ,连接 并延长至 ,使 ,
连接 ,则四边形 是平行四边形,
所以 ,而 时, ,
故 ,即 三点共线,且 ,
根据同底等高三角形面积相等,则 ,
即 与 的面积之比为1:2,故 B 错误;
对于 ,由于 且 时, ,
故 为 的外心和重心,故 为等边三角形,
则 ，由 可得 ，
故 ，故 C 错误；
对于 ,因为 ,且 ,
由 得, ,
所以 ,即 ,故 D 正确,
故选: AD.
12. -2
13.
由 ,
所以 ,又 ,
所以 ,而 ,
所以 .
故答案为:
14.
依题意 两边同时乘以 得:
,
即 ,
,
即 ,
即 ,而 ,
则 ,
又 ,
.
故 的最大值为 ,
故答案为:
15. (1) (2) .
( 1 ) ，
即: ,
由正弦定理可得: ，
,
.
(2)[方法一]正弦定理+两角和差正余弦
由(1)知， ，所以由 ，
得 ,
整理得 ,即 .
又 ,所以 ,即 , 则 .
[方法二]正弦定理+方程思想
由 ,得 ,
代入 ，
得 ,
整理得 ,则 .
由 ,得 ,
所以 .
[方法三]余弦定理
令 . 由 ,得 .
将 代入 中,可得 ,
即 ,解得 或 (舍去).
所以 ,
从而 .
[方法四]射影定理
因为 ,所以 ,
由射影定理得 ,
所以 .
16. (I) ; (II) 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
(I) 先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式将函数化为基本三角函数: ,再根据正弦函数的性质求定义域、最小正周期; (II) 根据
(I) 的结论,研究函数 在区间 上单调性.
试题解析: (I) 的定义域为 .
.
所以, 的最小正周期 .
(II) 令 ,函数 的单调递增区间是 . 由 ,得 . 设 ,易知 . 所以,当 时, 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
17. (1)
(2)1
(1)因为 ，所以 ，即 ，
设 ，所以 ，
又 三点共线,所以 ,解得 ,所以 .
(2)因为 ，
设 ,
又 三点共线,所以 ,解得 ,所以 ,
所以 ,
又 ，即 ，
即 ,解得 或 (舍去).
18.(1) ；(2) .
(1) 利用向量数量积的公式化简函数 即可.
(2)求出函数 的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可.
(3)由 得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可.
(1) ,
,
,
,令 ,
,对称轴为 ,
① 当 即 时，当 时， 舍，
② 当 即 时，当 时， ，
③ 当 即 是,当 时, 舍,
综上， .
(2)令 ，即 ， 或 有四个不同的零点, 方程 和 在 上共有四个不同的实根,
19. (1)
(2)
(3)
(1) 因为
,
所以函数 的相伴向量 .
(2) 的“相伴函数”为 ，
方程 ,即 ,
该方程有四个实数解,
所以 有四个实数解,
令 ,
① 当 时， ；
② 当 时， ，
即 ,
作出 的图象,如图:
由图知,当函数 的图象与直线 有四个交点时,实数 的取值范围为 .
(3)向量 的“相伴函数” ,
其中 ,
当 ，即 时， 取得最大值，
所以 ,
所以 .
由 知 ，且 ， .
令 ,则 ,即 ,解得 ,
所以 ,
因为 在 上单调递增,所以 ,
所以 .