湖北十堰市郧阳中学2025-2026学年高二下学期起点数学练习试题（含解析）

郧阳中学 2024 级高二下起点 数学练习
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数 的导函数为 ,若 ,则 ( )
A. -3 B. -2 C. 2 D. 3
2. 在四面体 中, ,点 满足 为 的中点,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 设数列 满足 ,则 ( )
A. B. -1 C. D. 2
5. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则一定有( )
A. B. C. D.
6. 若点 在曲线 上,曲线在 处的切线的倾斜角为 ,则 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
7. 设斜率为 的直线 与抛物线 交于 两点,若 为线段 的中点, 则直线 的方程为( )
A. B. C. D.
8. 已知 是双曲线 的左、右焦点,椭圆 与双曲线 的焦点相同, 与 在第一象限的交点为 ,若 的中点在双曲线 的渐近线上,且 ,则椭圆的离心率是 ( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知圆 与圆 ,则()
A. 点 在圆 内 B. 两圆相交,公共弦的方程为
C. 圆 与圆 有三条公切线 D. 圆 平分圆 的周长
10. 记 为数列 的前 项和,且 ,则 ( )
A. B. 为等比数列
C. 数列 单调递减
D.
11. 已知正方体 的棱长为 是线段 的中点， 是底面正方形 内的动点 (包含边界), 则下列说法中正确的是 ( )
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 存在点 ,使得 平面
C. 若点 在线段 上运动，则 与平面 所成角正弦的最大值为
D. 若 与 所成的角为 ,则动点 的轨迹为双曲线的一部分
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 记函数 的导数为 ,若 ,则 _____.
13. 在平面直角坐标系中,点 ,直线 ,圆 , 点 为直线 上一个动点，点 为圆 上一个动点，则 的最小值为_____.
14. 已知数列 的第一项为 1,第二项为 ,第三项为 ,依此类推.记数列 的前 项和为 ,若数列 单调递减,则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或者演 算步骤.
15. ( 1 )已知函数 ，若曲线 在 处的切线也与 的图象相切,求 的值.
( 2 )过点 作曲线 的切线，若这样的切线有且仅有两条，求实数 的取值范围.
16. 记 为数列 的前 项和. 已知 .
(1)证明: 是等差数列；
(2)若 成等比数列，令 ，且 的前 项和为 ，若 恒成立,求实数 的取值范围.
17. 如图,四棱锥 的底面 为直角梯形,其中 ,且平面 平面 为 中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求点 到平面 的距离
18. 已知椭圆 的左、右顶点分别为 ,过椭圆 的右焦点 且斜率不为 0 的直线 交 于 两点,点 .
(1) 为椭圆 上一动点，求 的最大值；
(2)设直线 与直线 交于点 ，记直线 的斜率分别为 ，若 成等差数列,求实数 的值.
19. 已知双曲线 的焦距为 ，且点 在双曲线 上.
(1)求双曲线 的方程；
(2) ，点列 按如下规则构造:①点 为 的右顶点；②过点 作斜率为 的直线 ,交双曲线 于另一点 ; ③点 为点 关于 轴的对称点.
记 ,解答下面问题.
(i) 证明: 数列 是等比数列;
(ii) 若 为数列 的前 项和,设 ,数列 的前 项和为 ,证明: .
1. D
由 ,
则 .
故选: D.
2. B
由题意
,
所以 ,解得 ,
故选: B
3. B
对于 ,由 ,所以 错误;
对于 ，由 ，所以 正确；
对于 ,由 ,所以 错误;
对于 ,由 ,所以 错误.
故选: B.
4. D
已知 ,则 ,
可见此数列为周期是 3 的周期数列,
,
,故 D 正确.
故选: D.
5. C
因为数列 是等差数列,
所以
解得 ,
所以 ,
故选:
6.
设 ,由函数 ,得 ,
所以过点 的切线斜率 ,
根据二次函数的图像性质,可得 ,
又 ,即 ,
又 ,所以得 的取值范围是 .
故选: C
7. C
设 ,则 ,由 : 作差得
得 ,所以直线方程为 ,即 .
故选:
8. C
根据题意: 设 ,设椭圆长半轴长为 ,短半轴长为 ,双曲线实半轴长为 ,虚半轴长为 ,则由椭圆及双曲线定义可得: ,
又因为 ,且 分别为 的中点,所以 ,
所以 到渐近线 的距离为 ,
所以 ,结合 ,可得: ①
因为 ,所以 ,即 ,
整理得: ,将①代入, ,所以 .
故选: C.
9. BD
圆 ,
则圆 的圆心坐标为 ,半径为 2 .
圆 ,
则圆 的圆心坐标为 ,半径为 .
A: 因为 ,
所以点 在圆 外,因此本选项说法不正确;
B: ,
因为 ,
所以两圆相交,
所以本选项说法正确;
C: 由上可知两圆相交, 故公切线有两条, 所以本选项说法不正确;
D: 因为 ,
所以圆心 在圆 上,
又因为 ,
所以圆心 在公共弦所在直线 上,
因此圆 平分圆 的周长,所以本选项说法正确,
故选: BD
10. ABD
令 ,则 ,即 ,
因为 ,所以 ,故 正确, 错误;
因为 ,所以 ,
两式作差得 ,
当 时， 符合上式，故 ，则 ，
因为 ,由以上递推关系可知 ,所以 ,
则 是以 -1 为首项, 为公比的等比数列,故 正确;
得 ,则 ,
则 ,故 正确.
故选: ABD
11. ABD
对于 中,因为平面 平面 ,所以点 到平面 的距离为定值,
所以 为定值,所以 正确;
对于 中,连接 交于点 ,连接 ,
则 为 的中点，因为 为 的中点，所以 ，
在正方体 中,可得 ,
因为 ,且 平面 ,所以 平面 ,
所以 平面 ,当 为底面正方形中心时, 平面 ,所以 B 正确.
对于 中,以 为原点, 所在直线为 轴、 轴和 轴建立空间直角坐标系,
则 ,可得 ,
设 ,其中 ,则 ,
可得平面 的法向量 ，
设直线 与平面 所成角为 ，当 时， 与 重合，此时 ； 当 时, , 当且仅当 时取等号,
综上可得, 与平面 所成角的正弦值最大为 ,所以 错误.
对于 中,设 ,则 ,
因为 与 所成的角为 ,所以 ,
所以 ,可得 ,所以动点 的轨迹为双曲线的一部分,所以 正确. 故选: ABD.
12. 7.
因为 ,故 ,
故 ,解得 ,所以 ,故 .
故答案为: 7 .
13. 9
根据题意,设点 关于直线 的对称点为 ,则 ,
当 三点共线时, 取得最小值,
则 ,
又由 ,设点 ,
则 ,解得 ,则 ,
又因为圆 ,其圆心为 ,半径 ,
则 ,所以 .
故答案为: 9 .
14.
由题意得:
,
又因为 ,
所以有 ,
因为数列 单调递减,所以有 对于 恒成立,
即 对于 恒成立,
再取 ,则由 ,
可知数列 单调递减,则 ,
所以要使得不等式 对于 恒成立,
则满足 ,即实数 的取值范围是 .
故答案为: .
15. (1)
(1) ,又 ,
曲线 在 处的切线方程为 .
设直线 与 的图象相切于点 ,
,
切线方程为 ,即 , ,解得 ,
所以 ;
(2)对 求导得 ，
设切点坐标为 ,则过点 的切线的斜率 ,
化简得 ,
依题知,关于 的方程 有两个不相等的实数根,
,解得 或 ,
故实数 的取值范围是 .
16. (1)由 可得 ，
当 时, ,
故 ,
化简可得 ,
由于 ,故 ,即 为常数,
因此 为等差数列,
(2)由(1)知 为等差数列，且公差为 ，
又 成等比数列,故 ,解得 ,
故 ,
故 ,
故
, 单调递减,故 单调递增,因此 ,
恒成立,故 ,解得 ,
17.(1) 取 中点 ,连接 .
为 中点, 为 中点, 且 .
又 且 , 且 ,
四边形 为平行四边形, ,
又 平面 平面 ,
平面 .
(2)取 中点 ，连接 ，过 作 .
.
又: 平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
平面 .
以 为原点,分别以 为 轴、 轴、 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
则 ,
设 ,则 ,
设平面 的法向量 ,
所以平面 的一个法向量为 ,
因为平面 的法向量 ,
平面 与平面 的夹角的余弦值为 ,
所以 ,解得 ,
又 ,
所以点 到平面 的距离为 .
18. (2)
(1) 设 为椭圆 上一点,
则 ,且 ,
则
,
所以当 时, .
(2)椭圆右焦点 ,设直线 ,
联立直线与椭圆方程 ,可得 ,
由韦达定理得 ,
而直线 的方程为 ,把 代入方程中,得 ,
所以 ,于是 ,
因为 成等差数列,
所以 ,
化简得 ,
把 代入化简,得 ,
把 代入,
得 ,因为 ,所以有 ,即 .
19.(1) 双曲线 的焦距为 ,得 , ,
又 点 在双曲线 上,
,即 ,解得 ,则 ,
双曲线 的方程为 .
(2)(i)双曲线的右顶点为 ，故 ，
过点 作斜率为 的直线 ,方程为 ,
联立直线与双曲线方程得 ,整理得
设 ,
由韦达定理得 ,解得 ,
点 为点 关于 轴的对称点,故 ,
,
,
,
是首项为 2,公比为 3 的等比数列;
(ii) ,
,
,
当 时, ,
当 时, ,
,
,