湖北武汉市华中师范大学第一附属中学2026届高三年级下学期二月集中独立作业数学试题（含解析）

高三年级二月集中独立作业数学试题
满分: 150 分, 考试时间: 120 分钟
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，其中 为虚数单位，则 ( )
A. 1 B. -1 C. i D. -i
3. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则当 最小时, 的值为 ( )
A. 1010 B. 1011 C. 1012 D. 1013
4. 6 个除颜色外完全相同的小球, 其中红、黄、蓝各 2 个, 把这 6 个小球排成一排, 其中红色小球不相邻的排法有( )种
A. 40 B. 60 C. 80 D. 120
5. 数学家欧拉于 1765 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理: 三角形的外心、 重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线. 在平面直角坐标系中作 ,在 中, ,点 ，点 ，且其“欧拉线”与圆 相切，则该圆的半径 为( )
A. 1 B. C. 2 D.
6. 已知 ,若 ( 为自然对数的底数),则 的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
7. 已知焦点分别在 轴上的两个椭圆 ,且椭圆 经过椭圆 的两个顶点与两个焦点,设椭圆 的离心率分别是 ,则()
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
8. 棱长为 的正方体盒子中装有半径分别为 1 和 2 的两个铁球,则 的最小值为( )
A. 3 B. C. D. 6
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知数据 的平均数为 ,方差为 ,中位数为 ,极差为 ; 数据 , 的平均数为 ,方差为 ,中位数为 ,极差为 . 则 ( )
A. B.
C. 可以等于 D.
10. 已知直线 和 为函数 图象上两条相邻的对称轴. 则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若 ,则 图象可以由 图象向左平移 个单位得到
D. 若 ,则 在区间 上的值域为
11. 在平面直角坐标系中,曲线 ,则( )
A. 曲线 关于原点对称
B. 对于任意的实数 ,直线 与曲线 总有公共点
C. 曲线 上存在四个点 ,使得四边形 是正方形
D. 若圆 与曲线 恰有 4 个公共点,则 的范围是
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 设 为奇函数,若 在 的最大值为
3,则 在 的最小值为_____.
13. 已知 是非零向量， 是单位向量，且 ， ，则 的最小值是_____.
14. 若数列 满足 ( ,当且仅当 为奇数时取“=”),则称 为“ 数列”. 设数列 为“ 数列”， ，则 的最小值为_____；若 ，则正整数 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题、共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. ”石头、剪刀、布”是群众喜闻乐见的一种猜拳游戏，每局比赛的游戏规则是:双方同时出拳一次，若手势不同，则“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”；若手势相同，则为平局. 假设每局比赛中, 每人出各种手势的可能性相同.
(1)若甲、乙两人进行一局比赛，求甲获胜的概率；
(2)若甲、乙两人进行三局比赛，假设每局比赛相互独立，求甲获胜局数多于乙获胜局数的概率.
16. 如图, 为平面内两定点,点 在线段 上,点 是以 为圆心的单位圆上的动点, 线段 与圆 交于 .
(1)若 ，求 ；
(2)当 面积最大时，求 的长.
17. 一个轴截面顶角为 的圆锥被某平面所截,得到如图所示的几何体， 为圆锥的顶点,截面为一个椭圆, 是椭圆长轴的两个端点, 是椭圆短轴的两个端点, 椭圆的离心率为 为线段 上一动点.
(1)证明 平面 ；
(2)若 为线段 上靠近 的四分之一点，求二面角 的余弦值.
18. 已知双曲线 经过点 ，其一条渐近线斜率为1. 圆 ， 点 为第一象限 上一点，点 是 的右顶点，点 为 上一点，设直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ,且 .
(1)求 的曲线方程；
(2)求证:直线 经过定点 ，并求出点 的坐标；
(3)设Γ的右焦点为 ，直线 交 于点 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，直线 与 交于点 . 在 的渐近线上是否存在点 ,使得 的面积为定值？若存在， 请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
19. 给出如下定义: 已知两个函数 和 ,集合 为这两个函数公共定义域的一个连续的非空子集,如果对于任意的 ,都有 ,则称函数 为 和 在集合 上的一个“隔离函数”.
(1)若 ,且其中一个函数为另外两个的“隔离函数”, 请作出判断并证明你的结论;
( 2 )若 ，且 是 和 在 上的“隔离函数”，求实数 的取值范围；
(3)若 (其中 ),
,其中 是 与 在 上的“隔离函数”,证明: .
1. D
由 ,有 ,即 ,所以 ;
由 令 ,根据二次函数的性质有 ,
所以 ,又因为 ,所以 ;
所以 .
故选: D
2. C
由题可知
故选: C.
3. D
根据等差数列的前 项和公式和性质得:
又 ,
则 ,即 ,所以
所以 的前 1013 项为负,从 1014 项开始为正,故前 1013 项和最小.
故选: D
4.
首先排黄、蓝各 2 个, 共 4 个小球,
相当于 4 个位置中,选 2 个放黄球,另 2 个放蓝球,共有 种,
放好 4 个小球后,进 2 个空位插入 2 个红球,共有 种,
综上,共有 种.
故选: B.
5. B
解: 在 中， ，点 ，点 ，
可得 边上的高线、垂直平分线和中线合一,
则其“欧拉线”为 边 的垂直平分线，
可得 的中点为 ，直线 的斜率为 ，
则 的垂直平分线的斜率为 1 ,
可得 的垂直平分线方程为 ,即为 ,
其“欧拉线”与圆 相切,
可得圆心 到“欧拉线”的距离为 ，
即有半径 ,
故选: B.
6. B
由 ,可得 ,
即 ,
因为 ,则 ,
令 ,则 ,
因为 在 单调递增, 在 单调递减,
所以 在 单调递增,所以 ,
所以 ,
令 ,
当 时, 得到最小值 ,所以 ,
所以 的最大值为 -4,即 的最小值为 4,
所以 取得最小值 3 .
故选: B
7. A
依题意,设椭圆 对应的参数为 ,椭圆 对应的参数为 , 则 ,所以 ,
又因为 ,即 ,则 ,
即 ,得 ,即 ,
令 ,则 ,
由对勾函数的性质可知 在 上单调递减,故 .
故选: A.
8. C
设正方体为 ,球 的半径分别为 . 当两个球在正方体中,要使正方体的棱长最小,两个球应分别位于正方体的两个相对顶点处,且与正方体的面相切. 不妨设两球的球心在体对角线 上.
因为正方体的棱长为 ,所以体对角线 ,在直角 中,
又因为 可以得到 .
因为 ,当两球外切时, 取最小值.
即
所以 ,即正方体的棱长 最小值为 .
9. AC
对于 ,根据题意, ,
,则 ,故 A 正确;
对于 ,
,故 与 大小无法比较,故 B 错误;
对于 ,当 时, ,
此时 ,故 正确;
对于 ,取 ,可得 ;
取 ,可得 ,故 错误,
故选: AC.
10. ABD
对于 ,点 与 的中点为 ,即 ,
因为直线 和 为函数 图象上的两条相邻对称轴,
所以点 为函数 的图象与 轴的交点,所以 ,故 正确;
对于 ,因为直线 和 为函数 图象上两条相邻对称轴,
所以 ,可得 ,故 正确;
对于 ,由 可得 ,
所以 ,若 ,则 ,
所以 ,
则由 图象向左平移 个单位得到 , 故 C 错误;
对于 ,若 ,由 得 ,
当 时,则 ,
所以 在区间 上的值域为 ,故 正确.
故选: ABD.
11. ACD
对于选项 ,设曲线 上任意一点 ,其关于原点的对称点为 . 将 代入曲线方程得, ,所以曲线 关于原点对称. 故 A 正确.
对于选项 ,将 与曲线 联立:
即 .
当 时,此方程无解. 即直线 与曲线 无公共点,故选项 B 错误.
对于选项 ,要构成以原点为中心的正方形,只需在曲线上找到一点 ,使得点 也在曲线上.
联立方程组 可得 ,
将 代入 得 ,此方程有解,故存在这样的点.
故选项 C 正确.
对于选项 ,当圆 与 有交点时,
由 得, ,当且仅当 ,
即 时取等.
当圆 与 相切时,将两式联立,
由 得, 即 .
令 ,得 . 由
因为 ,所以 .
又因为 与曲线 恰有 4 个公共点，则 . 故选项 D 正确.
12. -5
的定义域为 且为奇函数,
所以 ,
所以 ,
设 ，
则 ,所以 是奇函数,
依题意可知, 在 的最大值为 ,
所以 在 的最小值为 -4,
所以 在 的最小值为 .
故答案为: -5
13.
【分析】将向量夹角和模长条件分别转化为射线和圆, 将向量差的最小值问题转换设 ,由 ,可知 的终点在从原点出发、与 轴夹角为 的射线上,
该射线为 ,即 ,
对于 ,由 得: ,
即 的终点在以 为圆心、半径 的圆上,
表示射线 上的点 与圆 上的点 的距离,
问题转化为: 求圆 上的点到射线 的最小距离,
令射线 的方程: ,
圆心 到该直线的距离为: .
代入验算,垂足坐标为 ,满足 且在射线上,因此可用该距离公式,
由对称性可知当射线 的方程为 时,结果一样,
因为圆心到射线的距离 大于圆的半径 ,
圆上点到射线的最小距离为 .
故答案为:
14.
因为数列 为 “ 数列”,且 ,
所以当 时， ；
当 时， ，又 ，所以 ；
当 时， .
所以 的最小值为 16 .
因为数列 为 “ 数列”,所以 ,
又 ,所以数列 为递增数列.
问题转化为: 数列 增长速度最慢时,由 ,求 的值.
此时:
设 ,则 ;
当 时， ，所以 ；
当 时， ，又 ，所以 ；
当 时, ,所以 ;
当 时， ，又 ，所以 ；
当 时， ，所以 ；
......
归纳得:当 为奇数时, ; 当 为偶数时, .
又 .
若 ,
由 ,
即 ;
若 ,
由
,
即 .
此时 . 又 ,所以数列 应该是在第 85 项之后,突然改变增长速度,使得
故 的最大值为 86 .
故答案为:
15. ;
(2) .
(1)用 分别表示甲、乙两人出拳手势,则可以用 表示一局比赛的结果, 以 1,2,3 分别表示出拳手势为石头、剪刀、布，
则甲、乙两人进行一局比赛的结果包含的基本事件有:
共 9 种,
记事件 “甲、乙进行一局比赛甲获胜”,则 包含基本事件有 共 3 种, 所以 ,即甲获胜的概率为 ;
(2)记事件 “甲、乙两人进行三局比赛，甲获胜局数多于乙获胜局数”，
则 包含甲胜三局,甲胜两局负一局,甲胜两局平一局,甲胜一局平两局四种情况,
由 (1) 可知,一局比赛甲获胜概率为 ,同理乙获胜概率为 ,平局概率为 ,
所以,甲胜三局的概率 ,
甲胜两局负一局的概率 ,
甲胜两局平一局的概率 ,
甲胜一局平两局的概率 ,
所以 ,即甲获胜局数多于乙获胜局数的概率为 .
16.
(2)
(1)当 时，在 中， ， ， ，
由正弦定理: .
又 为三角形内角，所以 或 (舍去，因为 ).
所以 ，所以 .
(2)因为 ，
所以 .
所以当 时, 取得最大值.
此时 .
在 中, ,
由余弦定理, ,
所以 .
17. (1)由题意， ，又 ，
,
,
,
又由题意设椭圆中心点为 ,离心率为 ,
即 ,
可得: ,
,
又 平面 ,
平面
(2)如图，建立以 为原点， ， ，过 垂直于平面 的直线分别为 轴、 轴、 轴,建立空间直角坐标系 .
则 ,
,
.
设平面 的法向量为 ,则 ,
则令 为平面 的一个法向量.
同理设平面 的法向量为 ,
则 ,令 为平
面 的一个法向量.
由 为线段 上靠近 的四分之一点,二面角 显然为钝角,
设二面角 为 ,
则 .
18.(1)根据一条渐近线的斜率为1，可知该双曲线为等轴双曲线.
设 ,将 代入得 ,解得 .
双曲线的方程为 .
(2)直线 过定点 .
已知直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 且 ,设 的斜率为 .
点 在圆上， 为直径， ，即 ，
.
点 在双曲线上,设 ,所以 , ,即 三点共线.
直线 过定点 ,得证.
(3)设 ，则 .
直线 ,直线 .
联立 整理得 ,
即 ,
即 ,
即 .
设直线 ,则 ,
代入得
联立 ,消去 整理得 ,
所以 ,
代入 .
点 的轨迹是定直线 .
要使 的面积为定值，
点 为过点 与 轴平行的直线与两条渐近线的交点,
又双曲线的渐近线方程为 ,
由 ,解得 或 ,所以 或 .
19. (1)函数 为 和 在集合 上的一个“隔离函数”，证明如下: 设 ,
则 ,
令 ,得 ; 令 ,得 ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,
即 ,当且仅当 时等号成立;
设 ,
则 ,
令 ,得 ; 令 ,得 ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
则 ,
即 ,当且仅当 时等号成立.
综上所述,对于任意的 ,都有 ,
则函数 为 和 在集合. .上的一个“隔离函数”.
(2)因为 是 和 在上的“隔离函数”，
则对于任意的 ,都有 ,
即 .
①由 ，即 ，
设 ,则 ,
令 ,得 ; 令 ,得 ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
则 ,则 ;
② 由 ,即 ,
设 ,
则 ,
设 ,则 ,
当 时, ; 当 时, ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
又 ,
当 时, ,
则 ,即 在 上单调递增,
所以 ,符合题意;
当 时, ,
故存在 ,使得 ,
当 时, ; 当 时, ,
所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
又 ,则 ,符合题意;
当 时， ，不满足 ，不符合题意，
所以要使 ,则 .
综上所述，实数 的取值范围为 .
(3)因为 是 和 在上的“隔离函数”，
则对于任意的 ,都有 .
当 时,由 ,则 ,
即 ,
则 ,
设 ,
则 ,
又 ,则 ,则 ,
所以函数 在 上单调递减,又 ,
则 ,
设不等式 的解集为 ,
则 ,
则 ;
当 时, ,
由于 ,则 ,则 ,
则 ,因此 ,
因为 ,所以 ;
则 时,都有 ,
由于 都为偶函数,
因此当 时, 成立.
综上所述， .