湖北十堰市郧阳中学2025-2026学年高二下学期数学周测2试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖北十堰市郧阳中学2025-2026学年高二下学期数学周测2试题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 454.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-21 00:00:00 | ||
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文档简介
郧阳中学 2024 级高二下学期数学测试题(2)
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 如图,函数 的图象在点 处的切线方程是 ,则 ( ) .
A. 1 B. 3 C. -3 D. -1
2. 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为( )
A. B.
C.
D.
3. 函数 的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
4. 已知等差数列 ,则 “ ” 是 “ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 若函数 在 上单调递减，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 ,则
A. 在 单调递增 B. 在 单调递减
C. 的图像关于直线 对称 D. 的图像关于点 对称
7. 在平面直角坐标系 中,已知直线 与 交于点 , 点 是抛物线 上一个动点,则 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,有且只有一个负整数 ,使 成立,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.
9. 已知函数 ,则( )
A. 恒成立 B. 是 上的减函数
C. 在 得到极大值 D. 在区间 内只有一个零点
10. 已知直线 与圆 交于 两点，则()
A. 过定点
B. 面积的最大值为 25
C. 的最小值为
D. 的中点 的轨迹所形成的图形的面积为
11. 函数 有两个极值点 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 若 ,则 有 3 个零点 B. 过 上任一点至少可作两条直线与 相切
C. 若 ,则 只有一个零点 D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 直线 与抛物线 相交于 两点,当 时,弦 中点 到 轴的距离的最小值为_____.
13. 已知数列 满足 ,定义使 为整数的 叫做“幸福数”，则区间 内所有“幸福数”的和为_____.
14. 设实数 ，若对 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 已知 在 时有极值 0 .
(1)求常数 的值；
(2) 求 在区间 上的最值.
16. 已知等比数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，记数列 的前 项和 ,求证: .
17. 如图,平面四边形 中, , ,点 满足 ,将 沿 翻折至 ,使得 .
(1)证明: ；
(2)求平面 与平面 所成的二面角的正弦值.
18. 已知函数 .
(1)若 ，求 的极值；
(2)讨论 的单调性；
(3)若对任意 ，有 恒成立，求整数 的最小值.
19. 已知抛物线方程 ， 为焦点， 为抛物线准线上一点， 为线段 与抛物线的交点,定义: .
(1)当 时，求 ；
(2)证明:存在常数 ，使得 ；
(3) 为抛物线准线上三点，且 ，判断 与 的关系.
1. D
因为函数 的图象在点 处的切线方程是 ,
切点的横坐标为 5 ,
由导数的几何意义可得 ,
所以 ,
故选: D.
2. B
由 ,得 ,
故渐近线方程为 .
故选: B.
3. B
函数 的定义域为 ,
当 时, ,当 时, ,故选项 错误, 当 时, ,当 时, ,故选项 错误, 且 ,
因为 ,所以 ,故选项 D 错误.
只有 B 中图象符合题意,
故选: B.
4. A
设等差数列的公差为 ,则 .
当 时, ,
由 可得 .
当 时, 恒成立,不能得到 ,
由 不能得到 ,
“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选: A.
5. A
由题意, 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,
因函数 在 上的值域为 ,故得 .
故选: A.
6. C
由题意知, ,所以 的图象关于直线 对称, 故 正确, 错误; 又 ,由复合函数的单调性可知 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 错误,故选 .
7. B
直线 ,即 ,可知直线 过定点 ;
直线 ,即 ,可知直线 过定点 ; 且 ,则 ,
可知点 在以 为直径的圆上,此时圆心为 ,半径 .
因为抛物线 的焦点为 ,准线为 ,
且点 是抛物线 上一动点,则 ,即 ,
可得 ,
当且仅当点 在线段 上时,等号成立,
又因为 ,当且仅当点 在线段 上时,等号成立,
即 ,
所以 的最小值为 .
故选: B.
8. A
已知函数 ,则
有且只有一个负整数解.
令 ,则 ,
当 时, ,
当 时, ,
所以 在 上递减,在 上递增,
当 时, 取得最小值为 .
设 ,则 恒过点
在同一坐标系中分别作出 和 的图象,如图所示
显然 ,依题意得 且 即
且 ,解得 ,
所以实数 的取值范围是 .
故选: A.
9. CD
,该函数的定义域为 ,
所以 ,
由 ,可得 ,由 ,可得 ,
所以当 时,函数 单调递增,当 时,函数 单调递减,
,故 B 选项错误, 选项正确;
当 时, ,此时 , A 选项错误;
由题可知函数 在区间 内单调递减,而 ,故 在区间 内只有一个零点, D 选项正确.
故选: CD.
10. AC
直线 ,即 ,由 ,解得 , 可得直线 恒过定点 ,故 正确;
圆 ,即 ,
所以圆心为 ,半径 面积为
,故 B 错误;
直线 恒过定点 ,且 在圆 内, ,则 的最小值为 , 故 C 正确;
因为 ,所以 的轨迹是以 为直径的圆,半径为 ,面积为 ,故 不正确.
故选: AC.
11. ACD
根据题意可得 ,且 ;
当 时,易知 时, 时, ;
此时 在 和 上单调递增,在 上单调递减;
且当 趋近于 时, 也趋近于 ; 当 趋近于 时, 也趋近于 ; 利用三次函数性质可知,当 ,其函数图象如下图所示:
此时由图象可知 有 3 个零点;
同理当 时,易知 在 和 上单调递减,在 上单调递增; 且当 趋近于 时, 也趋近于 ; 当 趋近于 时, 也趋近于 ; 利用三次函数性质可知,当 ,其函数图象如下图所示:
此时由图象可知 有 3 个零点;
所以若 ,则 有 3 个零点,即 正确;
由题意知 ,
所以过 或 有且仅有一条直线与 相切,且切线为水平直线,所以 错误;
当 时,由选项 易知 在 处取得极大值,在 处取得极小值,且
若 ,则 ,即 ;
此时其图象如下图所示:
由图可知, 只有一个零点;
同理当 时,易知 在 处取得极小值,在 处取得极大值,且
若 ,则 ,即 ;
此时其图象如下图所示:
由图可知, 只有一个零点;
综上可知,若 ,则 只有一个零点,即 正确;
由三次函数性质可知,函数 关于 成中心对称,
所以满足 ,
又 是方程 的两根,则满足 ;
所以 ,即 ,所以 正确;
故选: ACD
12.
抛物线 即 的准线为 ,焦点为 ,
分别过点 往准线作垂线,垂足分别为 ,
则点 到 轴的距离为 ,
等号成立时, 三点共线,
故弦 中点 到 轴距离的最小值为 .
13. 2036
当 时, ,
所以 ,
若满足 为正整数,则 ,即 ,
所以在 内的所有“幸福数”的和为:
故答案为:2036.
14.
由 ,
构造函数 ,
在 为增函数,则
即对 ,不等式 恒成立,则 ,
构造函数 ,
令 ,得 ; 令 ,得 ;
在 上单调递增,在 上单调递减,
,即 .
故答案为: .
15. ;
(2)最小值为 0 , 最大值为 4
(1) ,
由题知: ,
解得 或 .
因为 ,故 舍去;
当 时, ,
当 时, ,当 时, ,当 时, ,
所以 在 处有极小值,
所以 ,符合题意.
(2)由(1)可知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
函数在 取得极大值,在 取极小值;
因为 ,
所以 ,
所以最小值为 0 , 最大值为 4
16.(1) 法一: 由 ,则 时 ,故 ,则 , 所以 是公比为 2 的等比数列,又当 时 ,解得 ,
所以 ;
法二: 设 公比为 ,则 ,解得 (舍) 或 , 由 ,则 ,所以 ;
(2)因为 ，所以 ，则 ，
所以
所以 .
17.(1) 由 ,
得 ，又 ，在 中，
由余弦定理得 ,
所以 ,则 ,即 ,
所以 ,又 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,
故 ;
(2)连接 ，由 ，则 ，
在 中， ，得 ，
所以 ,由 (1) 知 ,又 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,
所以 ,则 两两垂直,建立如图空间直角坐标系 ,
则 ,
由 是 的中点,得 ,
所以 ,
设平面 和平面 的一个法向量分别为 ,
则 , ,
令 ,得 ,
所以 ,
所以 ,
设平面 和平面 所成角为 ,则 ,
即平面 和平面 所成角的正弦值为 .
18. (1) 的定义域为 ,
当 时, ,
令 ,解得
当 时, ,则 在 上单调递增;
当 时, ,则 在 上单调递减.
所以 在 时取得极大值为 ,无极小值.
(2)因为
当 时， 在 上恒成立，此时 在 上单调递增；
当 时
当 时, ,则 在 上单调递增;
当 时, ,则 在 上单调递减;
综上: 当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减.
(3)因为对任意 恒成立，
所以 在 上恒成立,
即 在 上恒成立.
设 ,则 .
设 ,则 在 上单调递减,
因为 ,
所以 ,使得 ,即 .
当 时, ;
当 时, .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 .
因为 ,所以 ,
故整数 的最小值为 1 .
19.由题意可知: ,准线方程为:
(1)因为
联立方程
则
( 2 )当 时，易得
设 ,直线 ,则
联立
由对称性可知 亦成立
综上所述,存在 ,使得
(3)由 可知 为 中点
设 ,则
因为
又因
所以
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 如图,函数 的图象在点 处的切线方程是 ,则 ( ) .
A. 1 B. 3 C. -3 D. -1
2. 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为( )
A. B.
C.
D.
3. 函数 的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
4. 已知等差数列 ,则 “ ” 是 “ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 若函数 在 上单调递减，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 ,则
A. 在 单调递增 B. 在 单调递减
C. 的图像关于直线 对称 D. 的图像关于点 对称
7. 在平面直角坐标系 中,已知直线 与 交于点 , 点 是抛物线 上一个动点,则 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,有且只有一个负整数 ,使 成立,则 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.
9. 已知函数 ,则( )
A. 恒成立 B. 是 上的减函数
C. 在 得到极大值 D. 在区间 内只有一个零点
10. 已知直线 与圆 交于 两点，则()
A. 过定点
B. 面积的最大值为 25
C. 的最小值为
D. 的中点 的轨迹所形成的图形的面积为
11. 函数 有两个极值点 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 若 ,则 有 3 个零点 B. 过 上任一点至少可作两条直线与 相切
C. 若 ,则 只有一个零点 D.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 直线 与抛物线 相交于 两点,当 时,弦 中点 到 轴的距离的最小值为_____.
13. 已知数列 满足 ,定义使 为整数的 叫做“幸福数”，则区间 内所有“幸福数”的和为_____.
14. 设实数 ，若对 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 已知 在 时有极值 0 .
(1)求常数 的值；
(2) 求 在区间 上的最值.
16. 已知等比数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，记数列 的前 项和 ,求证: .
17. 如图,平面四边形 中, , ,点 满足 ,将 沿 翻折至 ,使得 .
(1)证明: ；
(2)求平面 与平面 所成的二面角的正弦值.
18. 已知函数 .
(1)若 ，求 的极值；
(2)讨论 的单调性；
(3)若对任意 ，有 恒成立，求整数 的最小值.
19. 已知抛物线方程 ， 为焦点， 为抛物线准线上一点， 为线段 与抛物线的交点,定义: .
(1)当 时，求 ；
(2)证明:存在常数 ，使得 ；
(3) 为抛物线准线上三点，且 ，判断 与 的关系.
1. D
因为函数 的图象在点 处的切线方程是 ,
切点的横坐标为 5 ,
由导数的几何意义可得 ,
所以 ,
故选: D.
2. B
由 ,得 ,
故渐近线方程为 .
故选: B.
3. B
函数 的定义域为 ,
当 时, ,当 时, ,故选项 错误, 当 时, ,当 时, ,故选项 错误, 且 ,
因为 ,所以 ,故选项 D 错误.
只有 B 中图象符合题意,
故选: B.
4. A
设等差数列的公差为 ,则 .
当 时, ,
由 可得 .
当 时, 恒成立,不能得到 ,
由 不能得到 ,
“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选: A.
5. A
由题意, 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,
因函数 在 上的值域为 ,故得 .
故选: A.
6. C
由题意知, ,所以 的图象关于直线 对称, 故 正确, 错误; 又 ,由复合函数的单调性可知 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 错误,故选 .
7. B
直线 ,即 ,可知直线 过定点 ;
直线 ,即 ,可知直线 过定点 ; 且 ,则 ,
可知点 在以 为直径的圆上,此时圆心为 ,半径 .
因为抛物线 的焦点为 ,准线为 ,
且点 是抛物线 上一动点,则 ,即 ,
可得 ,
当且仅当点 在线段 上时,等号成立,
又因为 ,当且仅当点 在线段 上时,等号成立,
即 ,
所以 的最小值为 .
故选: B.
8. A
已知函数 ,则
有且只有一个负整数解.
令 ,则 ,
当 时, ,
当 时, ,
所以 在 上递减,在 上递增,
当 时, 取得最小值为 .
设 ,则 恒过点
在同一坐标系中分别作出 和 的图象,如图所示
显然 ,依题意得 且 即
且 ,解得 ,
所以实数 的取值范围是 .
故选: A.
9. CD
,该函数的定义域为 ,
所以 ,
由 ,可得 ,由 ,可得 ,
所以当 时,函数 单调递增,当 时,函数 单调递减,
,故 B 选项错误, 选项正确;
当 时, ,此时 , A 选项错误;
由题可知函数 在区间 内单调递减,而 ,故 在区间 内只有一个零点, D 选项正确.
故选: CD.
10. AC
直线 ,即 ,由 ,解得 , 可得直线 恒过定点 ,故 正确;
圆 ,即 ,
所以圆心为 ,半径 面积为
,故 B 错误;
直线 恒过定点 ,且 在圆 内, ,则 的最小值为 , 故 C 正确;
因为 ,所以 的轨迹是以 为直径的圆,半径为 ,面积为 ,故 不正确.
故选: AC.
11. ACD
根据题意可得 ,且 ;
当 时,易知 时, 时, ;
此时 在 和 上单调递增,在 上单调递减;
且当 趋近于 时, 也趋近于 ; 当 趋近于 时, 也趋近于 ; 利用三次函数性质可知,当 ,其函数图象如下图所示:
此时由图象可知 有 3 个零点;
同理当 时,易知 在 和 上单调递减,在 上单调递增; 且当 趋近于 时, 也趋近于 ; 当 趋近于 时, 也趋近于 ; 利用三次函数性质可知,当 ,其函数图象如下图所示:
此时由图象可知 有 3 个零点;
所以若 ,则 有 3 个零点,即 正确;
由题意知 ,
所以过 或 有且仅有一条直线与 相切,且切线为水平直线,所以 错误;
当 时,由选项 易知 在 处取得极大值,在 处取得极小值,且
若 ,则 ,即 ;
此时其图象如下图所示:
由图可知, 只有一个零点;
同理当 时,易知 在 处取得极小值,在 处取得极大值,且
若 ,则 ,即 ;
此时其图象如下图所示:
由图可知, 只有一个零点;
综上可知,若 ,则 只有一个零点,即 正确;
由三次函数性质可知,函数 关于 成中心对称,
所以满足 ,
又 是方程 的两根,则满足 ;
所以 ,即 ,所以 正确;
故选: ACD
12.
抛物线 即 的准线为 ,焦点为 ,
分别过点 往准线作垂线,垂足分别为 ,
则点 到 轴的距离为 ,
等号成立时, 三点共线,
故弦 中点 到 轴距离的最小值为 .
13. 2036
当 时, ,
所以 ,
若满足 为正整数,则 ,即 ,
所以在 内的所有“幸福数”的和为:
故答案为:2036.
14.
由 ,
构造函数 ,
在 为增函数,则
即对 ,不等式 恒成立,则 ,
构造函数 ,
令 ,得 ; 令 ,得 ;
在 上单调递增,在 上单调递减,
,即 .
故答案为: .
15. ;
(2)最小值为 0 , 最大值为 4
(1) ,
由题知: ,
解得 或 .
因为 ,故 舍去;
当 时, ,
当 时, ,当 时, ,当 时, ,
所以 在 处有极小值,
所以 ,符合题意.
(2)由(1)可知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
函数在 取得极大值,在 取极小值;
因为 ,
所以 ,
所以最小值为 0 , 最大值为 4
16.(1) 法一: 由 ,则 时 ,故 ,则 , 所以 是公比为 2 的等比数列,又当 时 ,解得 ,
所以 ;
法二: 设 公比为 ,则 ,解得 (舍) 或 , 由 ,则 ,所以 ;
(2)因为 ，所以 ，则 ，
所以
所以 .
17.(1) 由 ,
得 ，又 ，在 中，
由余弦定理得 ,
所以 ,则 ,即 ,
所以 ,又 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,
故 ;
(2)连接 ，由 ，则 ，
在 中， ，得 ，
所以 ,由 (1) 知 ,又 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,
所以 ,则 两两垂直,建立如图空间直角坐标系 ,
则 ,
由 是 的中点,得 ,
所以 ,
设平面 和平面 的一个法向量分别为 ,
则 , ,
令 ,得 ,
所以 ,
所以 ,
设平面 和平面 所成角为 ,则 ,
即平面 和平面 所成角的正弦值为 .
18. (1) 的定义域为 ,
当 时, ,
令 ,解得
当 时, ,则 在 上单调递增;
当 时, ,则 在 上单调递减.
所以 在 时取得极大值为 ,无极小值.
(2)因为
当 时， 在 上恒成立，此时 在 上单调递增；
当 时
当 时, ,则 在 上单调递增;
当 时, ,则 在 上单调递减;
综上: 当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减.
(3)因为对任意 恒成立，
所以 在 上恒成立,
即 在 上恒成立.
设 ,则 .
设 ,则 在 上单调递减,
因为 ,
所以 ,使得 ,即 .
当 时, ;
当 时, .
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 .
因为 ,所以 ,
故整数 的最小值为 1 .
19.由题意可知: ,准线方程为:
(1)因为
联立方程
则
( 2 )当 时，易得
设 ,直线 ,则
联立
由对称性可知 亦成立
综上所述,存在 ,使得
(3)由 可知 为 中点
设 ,则
因为
又因
所以
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