湖北咸宁市崇阳县第二高级中学2025-2026学年高三下学期数学周测卷（一）（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖北咸宁市崇阳县第二高级中学2025-2026学年高三下学期数学周测卷（一）（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 597.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-21 00:00:00 | ||
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文档简介
崇阳二中 2025-2026 学年度下学期高三数学周测卷 (一)
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数 满足 ，则 的虚部是( )
A. B. C. D.
2. 若集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 数列 是首项为 ,公差为 -1 的等差数列, 为前 项和. 若 成等比数列, 则 ( )
A. 1 B. -1
C. D.
4. 北斗卫星导航系统是我国航天事业的重要成果, 北斗卫星的运行轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆, 平均轨道高度约为 2 万千米到 3.6 万千米, 属于中高地球轨道. 某颗北斗卫星运动至近地点时, 距离地球表面高度约为 1.56 万千米; 运动至远地点时, 距离地球表面高度约为 3.16 万千米.已知地球的半径约为 0.64 万千米,则该卫星运行轨迹的标准方程可以是 ( )
A.
B.
C.
D.
5. 直线 ，直线 ，若 ，则两直线的距离为( )
A. B. C. D.
6. 已知直线 与圆 相交于 两点,则 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，直线 交 于另一点 . 若 ,则 的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 若圆 上存在两点 ,直线 上存在点 ,使得 ,则实数 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分
9. 如图,在棱长为 2 的正方体 中， 为线段 中点，则下列说法正确的是( )
直线 与 是异面直线
B. 平面
C.
D. 三棱锥 的体积为
10. 已知椭圆 的焦点分别为 ,点 在椭圆上,且不与椭圆顶点重合,则下
列说法正确的有( )
A. 椭圆离心率为
B. 的周长为
C. 可以是钝角
D. 当 时, 的面积为
11. 记 的内角 的对边分别为 ，下列说法中正确的有( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则 为锐角三角形
D. 若 ，且 为锐角三角形，则 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若函数 在定义域内单调递增，则实数 的取值范围为_____
13. 已知椭圆 的左右焦点分别为 为椭圆上一点,若 ,则 的面积为_____.
14. 在 中，角 、 、 所对的边长为 、 、 ，其外接圆半径 ，内切圆半径 ， .
①若 面积为 ，则 的周长为_____
②若 ，则 的内切圆半径 _____
四、解答题
15. 已知椭圆 ，椭圆 与 有公共焦点，点 在 上.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与 相交于 两点， 为 的中点，求直线 的方程.
16. 在 中，内角 所对的边分别为 ， ， 为锐角. (1)求 ；
(2)若 ,延长 至 ,使得 ,求 的面积.
17. 已知椭圆 ，点 在椭圆 上，且点 到两焦点 和 的距离之和为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 的坐标为 ，过点 的直线 与椭圆 交于 (异于点 )两点，且直线的斜率为 -1,求 的面积.
18. 如图,在梯形 中, 是 中点, , 连接 ,将 沿 折起使 点至 点处,得四棱锥 ,且 ,点 为棱 PD 上的一点.
(1)若 是 的中点，求证: 平面 ；
(2)若直线 与直线 所成的角为 ，求 的值；
(3)若 是 的中点，求二面角 的正弦值.
19. 已知函数 .
(1)若函数 在 处的切线经过 ，求 的值；
(2)若函数 存在两个极值点；
(i) 求 的取值范围;
(ii) 若 满足, 且 ,证明: .
1. C
由题意得 ,虚部是 .
故选: C.
2. A
解不等式 得 ,所以 ,
令 ,解得 ,则 ,
所以 .
故选: A.
3. D
是首项为 ,公差为 -1 的等差数列, 为其前 项和,
,
由 成等比数列,得: ,
即 ,解得: .
故选: D.
4. B
由题意知,卫星的运行轨迹为椭圆,地球的球心为该椭圆的一个焦点,
设椭圆的长轴长为 ,短轴长为 ,焦距为 ,
则由题可知 ,
近地点到焦点距离为: ,
即 ,所以椭圆方程可以为: ,
故选: B.
5. B
直线 和 ,
由 ,即 ,解得 或 ,
当 时,直线 即 ,和 ,
此时 与 的距离为 ;
当 时, 和 ,此时 与 重合,不符合题意,舍去.
综上可得,当 时,两平行线间的距离为 .
故选: B.
6. A
直线 恒过定点 ,
当 时,圆心 到直线 的距离最大值为 ,
此时 取得最小值,根据勾股定理: .
故选: A.
7. C
椭圆右焦点为 ,上顶点为 ,设 .
由 得 ,
所以 ,即 .
代入椭圆方程得 ,整理得 ,即 .
又 ，所以 .
故选: C.
8. A
当直线与圆相交时,如图所示,若 离直线越近时,直至与直线和圆 的两交点重合,此时 ,
若 相距越来越近时,直至 两点重合,此时 ,
所以一定存在 及 ,使得 ;
当直线与圆相切时,同直线与圆相交分析可知,一定存在 及 ,使得 ; 当直线与圆没有公共点时,对直线上的任一点 ,若 相距越来越近时,直至 两点重合时,仍有 ,
另一方面,若 与圆 相切于 与圆 相切于 ,此时 必为该 点所能达到的最大情况，如图所示，
由图可知 最短时,
即等于圆心 到直线的距离 ， 最大， 也最大，同时 最大，
所以若圆 上存在两点 ,直线 上存在点 ,使得 ,
则必有 ,解得 ,又因为圆 的半径 ,
圆心 到直线 的距离 ,
所以 ,解得 .
故选: A.
9. BCD
对于 ,直线 平面 平面 ,则易得直线 与 不为异面直线, 故 A 不正确;
对于 ,因为 平面 平面 ,所以 平面 ,故 正确;
对于 ,连接 ,因为正方体 中, 平面 平面 ,
所以 ,又 平面 ,
所以 平面 平面 ,所以 ,故 正确;
对于 ,三棱锥 的体积 ,故 正确.
故选: BCD.
10.
椭圆方程为 ,焦点在 轴上,因此: , ;
选项 A: 离心率公式为 ,选项 A 正确;
选项 B: 根据椭圆定义,椭圆上任意一点 到两焦点的距离之和为 ,两焦点之间的距离为 ,因此三角形周长为 ,选项 B 正确;
选项 C: 设 ,则: , 点积为: ,而由椭圆方程 ,代入点积中: ,点积非负,则说明 最大为直角 (当 时),不可能是钝角, 选项 C 错误;
选项 D: 设 ,由椭圆的定义可知 , 依据余弦定理: ,又因为 ,代入上式: ,而三角形面积公式为 ,代入 ,则 ,选项 D 错误.
故选: AB
11. ABD
对于 ,因 ,由 及正弦定理可得 ,
故得 . 又因为“三角形中大边对大角”，所以 ，故 正确；
对于 ,由 ,得 ,从而 .
又 ,所以 . 由 A 项结论,可得 ,故 B 正确;
对于 ,当 时,满足 ,但 为钝角三角形,故 错误;
对于 ,因为 为锐角三角形,且 ,
则 ,解得 . 所以 .
由正弦定理 ,得 ,所以 正确.
12.
依题意知 ,
因为函数 在 单调递增,
所以 ,即 对任意 恒成立,
所以 对任意 恒成立,
又因为 (当且仅当 时取 “ ”),
所以 .
故答案为:
13.
椭圆 的方程为 .
, .
又 ,得 .
在 中，由余弦定理得: ,
.
.
故答案为:
14.
在 中，由 及正弦定理,得 ,
令 ,由余弦定理得 ,
① ，由 面积为 ，得 ， 解得 ,所以 的周长 ；
② 由①知 ，而 ，则 ，
由正弦定理 ,得 ,解得 ,所以 .
故答案为:
15. (1)
(2)
(1)依题意设椭圆 的方程为 ，
则 ,解得 ,
所以椭圆 的方程为 .
(2)因为 ，所以点 在椭圆内，直线 与椭圆相交，
设 ,则 ,
所以 ,即 ,
又点 为 的中点,所以 ,
所以 ,则 ,
即 ,所以直线 的方程为 ,即 .
16.
(2)
(1)因为 ,由正弦定理,得
(*).
又 ,所以 ,
代入 (*)，可得 .
因为 ,所以 ,
所以 ,即 .
因为 ,所以 ,
所以 ,即 .
(2)在 中，由正弦定理得 ①
在 中, ,
由正弦定理, ②.
由①②可得 ，展开化简得 ，
因为 ,所以 .
因为 ,所以 .
所以 .
17.
(2)
(1)由已知可得 化简可得 ,
,
则椭圆方程为 ;
(2)设 ， ，
由已知可得直线 ，即 ，
联立直线与椭圆 ,消去 可得 ,
则 ,
则 ,
又点 到直线 的距离 ,
所以 ；
18. (1) 证明: 因为在梯形 中, 是 中点,
所以四边形 是正方形, ,
将 沿 折起使 点至 点处,有 ,
因为 平面 ,
所以 平面 ，
又 平面 ,所以平面 平面 ,
因为 是 中点,所以 ,
又 平面 ,平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴，以过 与 平行的直线为 轴,
建立如图所示的空间坐标系.
由(1)可得 ，
则 , , , , , .
设 ,
有 ,
因为直线 与直线 所成的角为 ,
所以 ,所以 ,所以 ,
又 ，所以 ，所以 .
(3)由(2)知 ， ，
的中点 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,取 ,则 .
同理可求得平面 的一个法向量 ,
,又二面角的范围是 ,
故二面角 的正弦值 .
19.(1) ,
由题意 ,
因此函数 在 处的切线为 ,
令 有 .
(2)(i) 等价于 ，即 ，令 .
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减.
,当 或 时, .
有两个极值点,即 有两个不同解,故 的取值范围为 .
(ii) 当 时, ,
令 ,而 ,
当 时, 时, ,
故 在 上为增函数,在 上为减函数,
时, ,
故存在 ,使得当 时, , 时, ,
所以 在 上为增函数,在 上为减函数,
设 ,故 ,
当 时, ,故 在 上为增函数,
当 时, ,故 在 上为减函数,
故 ,故 ,
故当 时, ,而 ,故 .
而 ,故 ,故 .
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数 满足 ，则 的虚部是( )
A. B. C. D.
2. 若集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 数列 是首项为 ,公差为 -1 的等差数列, 为前 项和. 若 成等比数列, 则 ( )
A. 1 B. -1
C. D.
4. 北斗卫星导航系统是我国航天事业的重要成果, 北斗卫星的运行轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆, 平均轨道高度约为 2 万千米到 3.6 万千米, 属于中高地球轨道. 某颗北斗卫星运动至近地点时, 距离地球表面高度约为 1.56 万千米; 运动至远地点时, 距离地球表面高度约为 3.16 万千米.已知地球的半径约为 0.64 万千米,则该卫星运行轨迹的标准方程可以是 ( )
A.
B.
C.
D.
5. 直线 ，直线 ，若 ，则两直线的距离为( )
A. B. C. D.
6. 已知直线 与圆 相交于 两点,则 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，直线 交 于另一点 . 若 ,则 的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 若圆 上存在两点 ,直线 上存在点 ,使得 ,则实数 的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分
9. 如图,在棱长为 2 的正方体 中， 为线段 中点，则下列说法正确的是( )
直线 与 是异面直线
B. 平面
C.
D. 三棱锥 的体积为
10. 已知椭圆 的焦点分别为 ,点 在椭圆上,且不与椭圆顶点重合,则下
列说法正确的有( )
A. 椭圆离心率为
B. 的周长为
C. 可以是钝角
D. 当 时, 的面积为
11. 记 的内角 的对边分别为 ，下列说法中正确的有( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则 为锐角三角形
D. 若 ，且 为锐角三角形，则 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若函数 在定义域内单调递增，则实数 的取值范围为_____
13. 已知椭圆 的左右焦点分别为 为椭圆上一点,若 ,则 的面积为_____.
14. 在 中，角 、 、 所对的边长为 、 、 ，其外接圆半径 ，内切圆半径 ， .
①若 面积为 ，则 的周长为_____
②若 ，则 的内切圆半径 _____
四、解答题
15. 已知椭圆 ，椭圆 与 有公共焦点，点 在 上.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与 相交于 两点， 为 的中点，求直线 的方程.
16. 在 中，内角 所对的边分别为 ， ， 为锐角. (1)求 ；
(2)若 ,延长 至 ,使得 ,求 的面积.
17. 已知椭圆 ，点 在椭圆 上，且点 到两焦点 和 的距离之和为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若点 的坐标为 ，过点 的直线 与椭圆 交于 (异于点 )两点，且直线的斜率为 -1,求 的面积.
18. 如图,在梯形 中, 是 中点, , 连接 ,将 沿 折起使 点至 点处,得四棱锥 ,且 ,点 为棱 PD 上的一点.
(1)若 是 的中点，求证: 平面 ；
(2)若直线 与直线 所成的角为 ，求 的值；
(3)若 是 的中点，求二面角 的正弦值.
19. 已知函数 .
(1)若函数 在 处的切线经过 ，求 的值；
(2)若函数 存在两个极值点；
(i) 求 的取值范围;
(ii) 若 满足, 且 ,证明: .
1. C
由题意得 ,虚部是 .
故选: C.
2. A
解不等式 得 ,所以 ,
令 ,解得 ,则 ,
所以 .
故选: A.
3. D
是首项为 ,公差为 -1 的等差数列, 为其前 项和,
,
由 成等比数列,得: ,
即 ,解得: .
故选: D.
4. B
由题意知,卫星的运行轨迹为椭圆,地球的球心为该椭圆的一个焦点,
设椭圆的长轴长为 ,短轴长为 ,焦距为 ,
则由题可知 ,
近地点到焦点距离为: ,
即 ,所以椭圆方程可以为: ,
故选: B.
5. B
直线 和 ,
由 ,即 ,解得 或 ,
当 时,直线 即 ,和 ,
此时 与 的距离为 ;
当 时, 和 ,此时 与 重合,不符合题意,舍去.
综上可得,当 时,两平行线间的距离为 .
故选: B.
6. A
直线 恒过定点 ,
当 时,圆心 到直线 的距离最大值为 ,
此时 取得最小值,根据勾股定理: .
故选: A.
7. C
椭圆右焦点为 ,上顶点为 ,设 .
由 得 ,
所以 ,即 .
代入椭圆方程得 ,整理得 ,即 .
又 ，所以 .
故选: C.
8. A
当直线与圆相交时,如图所示,若 离直线越近时,直至与直线和圆 的两交点重合,此时 ,
若 相距越来越近时,直至 两点重合,此时 ,
所以一定存在 及 ,使得 ;
当直线与圆相切时,同直线与圆相交分析可知,一定存在 及 ,使得 ; 当直线与圆没有公共点时,对直线上的任一点 ,若 相距越来越近时,直至 两点重合时,仍有 ,
另一方面,若 与圆 相切于 与圆 相切于 ,此时 必为该 点所能达到的最大情况，如图所示，
由图可知 最短时,
即等于圆心 到直线的距离 ， 最大， 也最大，同时 最大，
所以若圆 上存在两点 ,直线 上存在点 ,使得 ,
则必有 ,解得 ,又因为圆 的半径 ,
圆心 到直线 的距离 ,
所以 ,解得 .
故选: A.
9. BCD
对于 ,直线 平面 平面 ,则易得直线 与 不为异面直线, 故 A 不正确;
对于 ,因为 平面 平面 ,所以 平面 ,故 正确;
对于 ,连接 ,因为正方体 中, 平面 平面 ,
所以 ,又 平面 ,
所以 平面 平面 ,所以 ,故 正确;
对于 ,三棱锥 的体积 ,故 正确.
故选: BCD.
10.
椭圆方程为 ,焦点在 轴上,因此: , ;
选项 A: 离心率公式为 ,选项 A 正确;
选项 B: 根据椭圆定义,椭圆上任意一点 到两焦点的距离之和为 ,两焦点之间的距离为 ,因此三角形周长为 ,选项 B 正确;
选项 C: 设 ,则: , 点积为: ,而由椭圆方程 ,代入点积中: ,点积非负,则说明 最大为直角 (当 时),不可能是钝角, 选项 C 错误;
选项 D: 设 ,由椭圆的定义可知 , 依据余弦定理: ,又因为 ,代入上式: ,而三角形面积公式为 ,代入 ,则 ,选项 D 错误.
故选: AB
11. ABD
对于 ,因 ,由 及正弦定理可得 ,
故得 . 又因为“三角形中大边对大角”，所以 ，故 正确；
对于 ,由 ,得 ,从而 .
又 ,所以 . 由 A 项结论,可得 ,故 B 正确;
对于 ,当 时,满足 ,但 为钝角三角形,故 错误;
对于 ,因为 为锐角三角形,且 ,
则 ,解得 . 所以 .
由正弦定理 ,得 ,所以 正确.
12.
依题意知 ,
因为函数 在 单调递增,
所以 ,即 对任意 恒成立,
所以 对任意 恒成立,
又因为 (当且仅当 时取 “ ”),
所以 .
故答案为:
13.
椭圆 的方程为 .
, .
又 ,得 .
在 中，由余弦定理得: ,
.
.
故答案为:
14.
在 中，由 及正弦定理,得 ,
令 ,由余弦定理得 ,
① ，由 面积为 ，得 ， 解得 ,所以 的周长 ；
② 由①知 ，而 ，则 ，
由正弦定理 ,得 ,解得 ,所以 .
故答案为:
15. (1)
(2)
(1)依题意设椭圆 的方程为 ，
则 ,解得 ,
所以椭圆 的方程为 .
(2)因为 ，所以点 在椭圆内，直线 与椭圆相交，
设 ,则 ,
所以 ,即 ,
又点 为 的中点,所以 ,
所以 ,则 ,
即 ,所以直线 的方程为 ,即 .
16.
(2)
(1)因为 ,由正弦定理,得
(*).
又 ,所以 ,
代入 (*)，可得 .
因为 ,所以 ,
所以 ,即 .
因为 ,所以 ,
所以 ,即 .
(2)在 中，由正弦定理得 ①
在 中, ,
由正弦定理, ②.
由①②可得 ，展开化简得 ，
因为 ,所以 .
因为 ,所以 .
所以 .
17.
(2)
(1)由已知可得 化简可得 ,
,
则椭圆方程为 ;
(2)设 ， ，
由已知可得直线 ，即 ，
联立直线与椭圆 ,消去 可得 ,
则 ,
则 ,
又点 到直线 的距离 ,
所以 ；
18. (1) 证明: 因为在梯形 中, 是 中点,
所以四边形 是正方形, ,
将 沿 折起使 点至 点处,有 ,
因为 平面 ,
所以 平面 ，
又 平面 ,所以平面 平面 ,
因为 是 中点,所以 ,
又 平面 ,平面 平面 ,
所以 平面 .
(2)以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴，以过 与 平行的直线为 轴,
建立如图所示的空间坐标系.
由(1)可得 ，
则 , , , , , .
设 ,
有 ,
因为直线 与直线 所成的角为 ,
所以 ,所以 ,所以 ,
又 ，所以 ，所以 .
(3)由(2)知 ， ，
的中点 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,取 ,则 .
同理可求得平面 的一个法向量 ,
,又二面角的范围是 ,
故二面角 的正弦值 .
19.(1) ,
由题意 ,
因此函数 在 处的切线为 ,
令 有 .
(2)(i) 等价于 ，即 ，令 .
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减.
,当 或 时, .
有两个极值点,即 有两个不同解,故 的取值范围为 .
(ii) 当 时, ,
令 ,而 ,
当 时, 时, ,
故 在 上为增函数,在 上为减函数,
时, ,
故存在 ,使得当 时, , 时, ,
所以 在 上为增函数,在 上为减函数,
设 ,故 ,
当 时, ,故 在 上为增函数,
当 时, ,故 在 上为减函数,
故 ,故 ,
故当 时, ,而 ,故 .
而 ,故 ,故 .
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