2025-2026学年下学期辽宁多校高三数学3月模拟调研卷二试卷（含解析）

2026 年普通高等学校招生全国统一考试模拟调研卷 数学(二)
本试卷总分 150 分, 考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知全集为 R，集合 ，则
A. B. C. D.
2. 在复平面内,复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称,则
A. B. C. D.
3. 设随机变量 ,若 ,则
A. 1 B. 2 C. 4 D. 9
4. 已知函数 是偶函数，则
A. B. C. 2 D. 4
5. 若抛物线 的准线为直线 ,且 被圆 所截得的弦长为 ,则该抛物线的方程为
A. B.
C. D.
6. 下列函数既是奇函数又在区间 上单调递增的是
A. B.
C. D.
7. 从标有0,1,2,3,4的五张卡片中随机选取 4 张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数, 则这个数大于 2023 的概率为
A. B. C. D.
8. 已知 ,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知正六棱锥的底面边长为 2,高为 3,则该正六棱锥的
A. 侧面积为 B. 表面积为
C. 体积为 D. 外接球的表面积为
10. 已知数列 是公差大于 2 的等差数列,其前 项和为 ,且 成等比数列,公比为 . 则
A. 的公差为 3
B.
C. 既存在最大值又存在最小值
D. 只存在最大值不存在最小值
11. 已知 是定义域为 的奇函数,当 时, 则下列叙述正确的是
A.
B. 当 时,有
C. 当 时, 的最小值为 4,则
D. 若关于 的方程 有实数根，则所有实数根之和为零
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知向量 ，则 _____.
13. 把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥. 在直角圆锥 中，底面圆 的半径为 3,则圆锥 的体积为_____.
14. 设 的内角 所对的边分别为 ,且 . 若 边上的高 ,则 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知 是公差为 的等差数列,其前 项和为 ,且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，其前 项和为 ，证明: .
16. (15 分)
小李为了参加某项考试,对其理论题进行了 100 次模拟练习,小李记录了自己 100 次练习情况并将成绩(满分 100 分)统计如下表所示.
成绩区间 [50,60) [60,70) [70,80) [80, 90) [90,100]
频数 10 20 30 20 20
(1)求上表中成绩的平均值及上四分位数 (同一区间中的数据用该区间的中点值为代表);
(2)小李用分层抽样的方式从 的练习成绩中随机抽取了 5 次成绩，再从这 5 次成绩中随机选 2 次，设成绩落在区间 内的次数为 ，求 的分布列及数学期望.
17. (15分)
如图，在正四棱台 中， 为 的中点， .
(1)证明: ;
(2)平面 把四棱台 分成两部分,体积分别是 和 ,求 的值;
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.(17 分)
已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(2)当 时，求 的单调区间;
(3)若不等式 恒成立，求 的最大值.
19.(17 分)
已知椭圆 .
(1)求 的离心率；
(2)若直线 上存在点 ，过点 可以作 的两条切线，且两条切线互相垂直，求点 的坐标；
(3)若菱形 的四个顶点都在 上，证明: 与 的交点为坐标原点 .
2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟调研卷(二)
选择题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C B A B B A A AB ABD ACD
一、选择题
1. D由题意得 ,所以 , ,所以 .
2. 因为 1-i,因为在复平面内,复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称,所以 1+i.
3. B由题意知
,所以 ,解得 .
4. A根据题意得 ,解得 ,此时 ,又因为 为偶函数,所以 ,故. ,所以
5. B抛物线 的准线方程为 ,圆 的圆心为原点,半径为 1 ,圆心 到直线 的 距离为 ,所以准线方程为 , 得 ,所以抛物线的方程为 .
6. B对于 ,由 cosx≠0,可得 ,所以函数 的定义域为 . 因为 ,所以 不是奇函数，A不满足要求；对于 B，函数 的 定义域为 ，且 则 是奇函数，当 时，
，所以函数 在 , 上单调递增，B满足要求；对于 ，函数 的定义域为 Z,且 一f(x)，则函数 f(x) = tan|x|不是奇函数，C不满足要求；对于 D，函数 f(x) = 的定 义域为 ,且 ,所以函数 为奇函数,当 时, ，所以函数 在 ， 上不单调，D不满足要求.
7. A当个位数是0时，有. 种； 当个位数是2或4时，有. 种，所以组成的四位数的偶数共有 种； 当千位数是 4 时，比 2023 大的偶数有 种; 当千位数是 3 时，比 2023 大的偶数有. 种；当千位数是 2 时，个位是 0 且比 2023大的偶数有 种,个位是 4 且比 2023大的偶数有 种, 所以比 2023大的偶数共有 41 种,所以所求概率为 .
8. A . 又 ,所以 .
二、选择题
9. AB因为底面正六边形的边长为2, 所以底面积 ,又高为3,得体积 ,故 C 错误; 设侧面三角形的高为 , 则 ,侧面积 ,所以表面积 ,故 A, B正确；设正六棱锥的外接球的半径为 ,则 ,解得 ,所以正六棱锥的外接球的表面积 ,故 D 错误.
10. ABD设等差数列{an}的公差为 ,则 ,由 成等比数列,得(6-d)(3+3d)= ,而d>2,解得d=3,故 A正确；数列 的通项公式为 ,则 ,不存在最大值,存在最小值,故 C错误；由 ，得 ，故 B正确; 由 ,只存在最大值不存在最小值，D正确.
11. ACD因为 是定义域为 的奇函数,当 时, ,故 ,当 时, ,故 ,当 时, . 综上可 ,故 A 正确；画出函数 的图象，如图，
当 时, 单调递增,故当 时,有 ,故 B错误;由图象可知f(2)=4,当0 时，f(x)的最小值为4，则a≥2，故C正确； 由函数 和 均为定义域为 的奇函数，故方程f(x)=kx 的所有实数根之和为零，故D正确.
三、填空题
12. 解析】由 , 得 ,则
13.9π圆锥的轴截面为等腰直角三角形ASB，如图所示.
在直角圆锥 中， 为底面圆的直径， 由圆锥底面半径r=3,∠ASB=90°，得圆锥的高为 ，所以圆锥的体积为
,即 ,因为 ,所以 . 由 ,则 ,所以 ,得 2sin Bsin C,则 .
四、解答题
15.(1)解:由题意得
(2分)
解得 (4分)
所以 .(6分)
(2)证明:由 (8分)
所以
(10分)
(13分)
16. 解: (1) 依题意,平均值
95)=77.(2分)
因为 0.8 > 0.75 , (4分)
所以上四分位数落在区间 内,
所以上四分位数为 87.5.(6分)
(2)由样本数据可知，练习成绩在 ， [70,80)之内的频数之比为2:3，
由分层抽样得, 在[60, 70)内抽取了2次成绩,在[70,80)内抽取了3次成绩, (8分)
所以 的所有可能取值有 0,1,2,
故 的分布列为
0 1 2
P
(13分)
所以 .
(15分)
17.(1) 证明:由题意知四边形 为正方形，
所以AC BD,
将正四棱台 ABCD-A 还原为正四棱锥 S-ABCD，如图，
则SO ⊥平面ABCD，
又 BDC平面ABCD，
所以 BD⊥SO,(2分)
因为SOAC=O, SO, AC 平面SAC,
所以BD⊥平面SAC,
因为SA 平面SAC,
所以 SA⊥BD，即 。(4 分)
(2)解:平面 把棱台分成三棱锥
E-A 和几何体 ,
设 ,
由题意得 ,
(6分)
因为
所以 ,
古 .(8分)
(3)解:以O为原点，OA，OB，OS 所在直
线分别为x轴、y轴、z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ,
则 , , 所以 , (9分)
设平面EAC 的法向量为 ,
则
艮
取 ,则 ,
所以 ,(11分)
设平面 的法 向量为 , ,
则
令 ,则 ,
所以 , (13 分)
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 即平面 与平面 夹角的余弦值为 . (15分)
18. 解: (1)当a=1时， , 则 ,得 . (1分) 又 ,
所以 ,
即曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方
程为 . (3 分)
(2)当 时， ， 得 ,
令 ,得 或 (舍去). (4分)
当 时, ; 当 时, , (6 分)
所以 在 上单调递增，
在 上单调递减，
即 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . (8分)
(3)若 恒成立，
则 恒成立, 即 恒成立. (9分)
令 ,
则 ,(10分)
若 ,因为 ,不符合条件，舍去； (11分)
若 ,当 时, 0, h(x)单调递增,
当 时, 单调递减, (13分)
故 的最 大值为 (15分)
令 ,得 .(16分)
综上可得, 的最大值为 .(17 分)
19. (1) 解: 由 ,得 , 又 ,
则 ,即 ,
所以离心率 .(3分)
(2)解:由题设，易知两条切线的斜率一定存在，设切线方程为y=mx+t，
联立 ,
可得 ,
所以 ,
(4分)
则 ,
得 ,
则切线方程为 .
而 在切线上,
则 ,
所以 ，(6分)
则 (7分)
设 分别为过 点的两条切线的斜率,
根据垂直关系有 ,(8分)
所以 ,
得 ,
故点 的坐标为 .(9分)
(3)证明:当AC的斜率不存在时，则BD 的斜率为 0 ，此时菱形 ABCD 的顶点为椭圆的四个顶点，
故 AC 与BD 的交点为坐标原点 ；(10分)
当AC的斜率为 0 时，则BD 的斜率不存在, 此时菱形 ABCD 的顶点为椭圆的四个顶点，
故 AC 与BD 的交点为坐标原点O；
当AC 的斜率存在且不为0时，设直线 AC 的方程为y=kx+n(k≠0)，(11分)
设点 的中点为 .
联立
得 ,(13 分)
所以 ,
且 ,
所以
即 .(14 分)
因为菱形的对角线互相垂直平分，
所以直线 BD 的方程为
化简得 ,(15分)
同理可得BD中点的横坐标 (16分)
因为 且 ，
所以 ,即点 ,
即 AC 与BD 的交点为坐标原点 .
综上所述，AC 与BD 的交点为坐标原点 O.
(17分)