2025-2026学年下学期河北沧州高三数学3月模拟考试试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期河北沧州高三数学3月模拟考试试卷（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 193.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-21 00:00:00 | ||
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文档简介
绝密★启用前
数 学
满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 平面内 三点共线,则
A. B. C. D.
3. 复数 的共轭复数为
A. B. C. D.
4. 若 ,则
A. B. C. D.
5. 已知正项等比数列 满足 ,若 ,则数列 的前 19 项和为
A. 36 B. 38 C. 40 D. 44
6. 过抛物线 焦点 的直线与抛物线交于 两点 点 在第一象限 ,且 , 过点 作抛物线 的准线的垂线,垂足为 ,则直线 的斜率为
A. B. C. D.
7. 已知函数 在区间 存在单调递增区间,则正数 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 球 与棱长为 2 的正四面体 的棱 均相切,且和平面 相切,则正四面体 三个侧面 截球 的截痕长度共为
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求,全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 若 ,则
A. B.
C. D.
10. 袋中有质地均匀的红球 3 个，白球 2 个. 每次从袋中随机摸出 1 个球，摸出后不放回，连续摸球两次. 则
A. 第一次摸到红球的概率是
B. 如果第二次摸到的是红球,那么第一次也摸到红球的概率是
C. 事件“第一次摸到红球”与事件“第二次摸到白球”不互斥
D. 事件“第一次摸到红球”与事件“第二次摸到白球”相互独立
11. 已知角 均为锐角三角形的内角,且 ,则
A. B.
C. D.
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 双曲线 的离心率为 2 . 则其渐近线为_____.
13. 已知 为正实数，且直线 与曲线 相切，则 的最大值为_____.
14. 已知 中, ,线段 与线段 交于点 ,若 0,则 _____.
四、解答题:本大题共5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本题满分 13 分)
钠离子电池是我国新能源储能领域的核心攻关方向之一，某科研团队为优化电池循环寿命，在传统电解液配方与新型复合电解液配方下各取 20 组电池进行加速寿命实验，记录每组电池循环寿命是否达到“长寿命”标准(循环次数≥1000次为长寿命，否则为短寿命)，整理得到如下列联表:
长寿命(≥1000 次) 短寿命(<1000 次) 合计
传统配方 9 11 20
新型配方 15 5 20
合计 24 16 40
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为 “电池‘长寿命’ 与电解液配方有关联”
(2)用样本估计总体，从采用新型配方的量产电池中随机抽取 5 组样品，记其中“长寿命”的组数为 ,求 的数学期望和方差.
参考公式: ,其中 .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16. (本题满分 15 分)
在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ，求 的角平分线 的长度.
17. (本题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， .
(1)证明: ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (本题满分 17 分)
已知椭圆 的长轴长为 4,焦距为 ,过点 的直线 与椭圆 交于 两点,过点 作 轴,交椭圆 于另一点 (异于点 ).
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)证明:直线 过定点 ，并求点 的坐标；
(3)求 面积的取值范围.
19. (本题满分 17 分)
已知 .
(1)若对任意 都有 ，求实数 的取值范围；
(2)当 时，称满足 的数列 为函数 的指数迭代数列,若 .
(i) 证明: 的指数迭代数列各项均为正数,且单调递增;
(ii) 证明: .
数学参考答案
1. B 2. A 3. B
4. A 【法一】由二倍角公式 .
得 ,所以 . 故选: A.
【法二】 . 故选: A.
5. 的各项均为正数, ,得 ,
则 . 因为 ,
则 . 故选: B.
6. C
7. 由 有意义,且 为正数,故其定义域为 ,
设 ,对称轴为 ,抛物线开口向下,
是 的增函数,所以 在 单调递增,在 单调递减.
要使 在区间 存在单调递增区间,只需 ,即 . 故选: D.
8. D 如图,由题意知球心 定在正四面体 的高 上,
球 和平面 的切点定为地面 的中心 . 连接 并延长
定过棱 的中点 ,且 ,
作 ,则得 均为球 的半径,可设为 ,
且易知 ,得 ,
解得 ,则 .
过点 作 垂足为 ,由 可解得 .
设平面 截球 所得截面圆半径为 ,得
.
所以正四面体 三个侧面 截球 的截痕长度共为 .
故选: D.
9. BCD 10. ABC
11. AC 【法一】由 为锐角,得 ,又 ,所以 ,故 . 故 A 正确. 又 ,得 ,则 ,故 . 故 B 错误. 均为锐角三角形的内角,得 ,得 . 故 D 错误.
由 ,又 ,得 ,得 . 故 正确. 故选: .
【法二】 为锐角,得 ,又 ,
所以 ,故 .
又 ,得 ,则 ,
又 ,得 ,
又 ,所以 .
得右面示意图，故 D 错误. 故选: AC.
12.
13. 设切点为 的导数为 ,
由切线的方程 可得切线的斜率为 1,令 ,
则 ,故切点为 ,代入 ,得 ,
为正实数, ,当且仅当 时, 取得最大值 .
14. 【法一】线段 与线段 交于点 ,可设 ,
又
因为点 共线,得 ,解得 . 即 .
同理可得 .
【法二】过点 作 交 于点 ，
,得
同理过点 作 的平行线可得, .
【法三】设 ,则 ,
得 ,又因为 ,
,
所以 ,
整理得 ,
得 ,解得 . 故得 .
【法四】特殊三角形法得 .
所以 .
又 ,得
,得 .
故答案为 2:1:4.【此部分也可利用奔驰定理解决】
15. 解: (1) 零假设 : 电池 “长寿命” 与电解液配方无关联.
(3 分)
根据小概率值 的独立性检验,我们没有充分的证据推断 不成立,
即认为电池 “长寿命” 与电解液配方无关联. (5 分)
(2)由样本估计总体,从采用新型配方的量产电池中随机抽取一组,其为 “长寿命”电池的概率应为 . 【法一】根据二项分布,“长寿命”的组数为 (7 分)
所以 .
则 的数学期望是 ,方差是 . (13 分)
【法二】则 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,
,
,
, (7 分)
(10 分)
.
(13 分)
(或 )
【提醒学生一定要掌握各种变形公式,以选最优】
16. 解: (1) 在 中,满足 ,
由正弦定理,可得 ,化简得 , (4 分)
由余弦定理,可得 ,
因为 ,所以 . (6 分)
(2) . (8 分)
又根据
, (12 分)
而 ,
解得 . (15 分)
17. (1) 证明: 在四边形 中,连接 ,
,
又 ,
得 , (3 分)
又 且平面 平面 ，平面 平面 ，
面 ，得
面 ,得 ,
又 面 ，
所以 面 , (5 分)
又 面 ,所以 . (6 分)
(2)解: ，平面 平面 ，且平面 平面 ，
面 ，
分别以 ， 所在直线为 ， 轴，以过点 且与 平行的直线为 轴，建立如右图所示的空间直角坐标系,得
,
则 , (8 分)
设面 的一个法向量 ,
则 ,即 .
可取 ； (10 分)
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,即 .
可取 ; (12 分)
因为 , (14 分)
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . (15 分)
18. 解: (1) 由题意知 .
又焦距为 ,得 ,得 ,
所以椭圆 的标准方程为 . (4 分)
(2)当过点 的直线 斜率不存在或斜率为 0 时,再过 作 轴,交椭圆 于另一点 ，与异于点 矛盾,故直线 斜率存在且不为 0 .
又由椭圆的对称性可知,直线 过定点,该点定在 轴上可设其为 . (6 分)
【法一】可设 .
联立 ,消去 并整理得 ,
设 ,得 ,
且 , (7 分)
直线 , (8 分)
令 可得点 的横坐标为 ,
又 ,
故 . (10 分)
故点 坐标为 . (11 分)
【法二】可设 .
联立 ,消去 并整理得 ,
设 得 ,
且 , (7 分)
直线 ,
令 可得点 的横坐标为 , (8 分)
又 ,
故 . (10 分)
故点 坐标为 . (11 分)
(3)由题意 的面积可分为 与 的面积之和，
则 (12 分)
【法一】由 (2) 得 ,
(13 分)
设 ,
设 ,则 ,
得 ,
又函数 在 单调递增,得 , (15 分)
所以 ,得 .
所以 面积的取值范围为 . (17 分)
【法二】由 (2) 得 , (12 分) 设 ,设 ,则 ,
得 , (13 分)
又函数 在 单调递增,得 ,
所以 ,得 . (15 分)
所以 面积的取值范围为 . (17 分)
19. 解: (1) 【法一】对任意 都有 ,即 ,
设 ,则
设 ,则 , (2 分)
又 ,所以 ,得 ,
所以 在 上时单调递增,又 ,
所以 ,又 ,
得 ,即函数 在 上时单调递增,
由洛比达法则当 时,
所以得 . (4 分)
【法二】 ,知 且 ,
所以若对任意 有 ,当 在 单调递增时符合条件,
需 在 上恒成立,即 在 上恒成立,
设 ,得 在 上恒大于 0,
所以 在 上单调递增,又 . 得 . (2 分)
① 当 时，又 使 ，
则 在 上单调递增,
又 ,满足 , (3 分)
② 当 时， ，得 ，
故 在 上单调递增,
又当 时, ,
所以当 时 ,
得 对任意 有 ,
所以若对任意 有 ,得实数 的取值范围为 . (4 分)
【法三】 ,令 ; (2 分)
当 时, ,
所以 在 单调递增,故 ,满足题意;
当 时, 在 恒成立,所以 在 单调递增,
而 ,
所以由零点存在性定理得: 存在唯一得 , (3 分)
使得 且当 时, ,所以 在 单调递减,
故 ,均有 ,矛盾,故 不合题意;
综上, 得取值范围为 . (4 分)
(2)(i)证明:设 ，得 ，
因为 单调递增,且 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
则 最小值为 ,故 ,
所以 , (6 分)
满足 的数列 为函数 的指数迭代数列,
则 ,整理得 ,
所以 ,
所以当 时, , (8 分)
因为 ,所以 ,则 ,所以 ,
且 ,数列 各项均为正数且单调递增; (10 分)
(ii) 设
因为 ,所以 ,
得 在 上单调递增,又 ,
则当 时, ,即 , (12 分)
又 ,且由 知 ,
所以 ,即 , (14 分)
,
上述等式左右分别相加得 ,
整理得 ,
又 ,所以 , (16 分)
整理得 .
即 . (17 分)
数 学
满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 平面内 三点共线,则
A. B. C. D.
3. 复数 的共轭复数为
A. B. C. D.
4. 若 ,则
A. B. C. D.
5. 已知正项等比数列 满足 ,若 ,则数列 的前 19 项和为
A. 36 B. 38 C. 40 D. 44
6. 过抛物线 焦点 的直线与抛物线交于 两点 点 在第一象限 ,且 , 过点 作抛物线 的准线的垂线,垂足为 ,则直线 的斜率为
A. B. C. D.
7. 已知函数 在区间 存在单调递增区间,则正数 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 球 与棱长为 2 的正四面体 的棱 均相切,且和平面 相切,则正四面体 三个侧面 截球 的截痕长度共为
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求,全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 若 ,则
A. B.
C. D.
10. 袋中有质地均匀的红球 3 个，白球 2 个. 每次从袋中随机摸出 1 个球，摸出后不放回，连续摸球两次. 则
A. 第一次摸到红球的概率是
B. 如果第二次摸到的是红球,那么第一次也摸到红球的概率是
C. 事件“第一次摸到红球”与事件“第二次摸到白球”不互斥
D. 事件“第一次摸到红球”与事件“第二次摸到白球”相互独立
11. 已知角 均为锐角三角形的内角,且 ,则
A. B.
C. D.
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 双曲线 的离心率为 2 . 则其渐近线为_____.
13. 已知 为正实数，且直线 与曲线 相切，则 的最大值为_____.
14. 已知 中, ,线段 与线段 交于点 ,若 0,则 _____.
四、解答题:本大题共5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本题满分 13 分)
钠离子电池是我国新能源储能领域的核心攻关方向之一，某科研团队为优化电池循环寿命，在传统电解液配方与新型复合电解液配方下各取 20 组电池进行加速寿命实验，记录每组电池循环寿命是否达到“长寿命”标准(循环次数≥1000次为长寿命，否则为短寿命)，整理得到如下列联表:
长寿命(≥1000 次) 短寿命(<1000 次) 合计
传统配方 9 11 20
新型配方 15 5 20
合计 24 16 40
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为 “电池‘长寿命’ 与电解液配方有关联”
(2)用样本估计总体，从采用新型配方的量产电池中随机抽取 5 组样品，记其中“长寿命”的组数为 ,求 的数学期望和方差.
参考公式: ,其中 .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16. (本题满分 15 分)
在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ，求 的角平分线 的长度.
17. (本题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， .
(1)证明: ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (本题满分 17 分)
已知椭圆 的长轴长为 4,焦距为 ,过点 的直线 与椭圆 交于 两点,过点 作 轴,交椭圆 于另一点 (异于点 ).
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)证明:直线 过定点 ，并求点 的坐标；
(3)求 面积的取值范围.
19. (本题满分 17 分)
已知 .
(1)若对任意 都有 ，求实数 的取值范围；
(2)当 时，称满足 的数列 为函数 的指数迭代数列,若 .
(i) 证明: 的指数迭代数列各项均为正数,且单调递增;
(ii) 证明: .
数学参考答案
1. B 2. A 3. B
4. A 【法一】由二倍角公式 .
得 ,所以 . 故选: A.
【法二】 . 故选: A.
5. 的各项均为正数, ,得 ,
则 . 因为 ,
则 . 故选: B.
6. C
7. 由 有意义,且 为正数,故其定义域为 ,
设 ,对称轴为 ,抛物线开口向下,
是 的增函数,所以 在 单调递增,在 单调递减.
要使 在区间 存在单调递增区间,只需 ,即 . 故选: D.
8. D 如图,由题意知球心 定在正四面体 的高 上,
球 和平面 的切点定为地面 的中心 . 连接 并延长
定过棱 的中点 ,且 ,
作 ,则得 均为球 的半径,可设为 ,
且易知 ,得 ,
解得 ,则 .
过点 作 垂足为 ,由 可解得 .
设平面 截球 所得截面圆半径为 ,得
.
所以正四面体 三个侧面 截球 的截痕长度共为 .
故选: D.
9. BCD 10. ABC
11. AC 【法一】由 为锐角,得 ,又 ,所以 ,故 . 故 A 正确. 又 ,得 ,则 ,故 . 故 B 错误. 均为锐角三角形的内角,得 ,得 . 故 D 错误.
由 ,又 ,得 ,得 . 故 正确. 故选: .
【法二】 为锐角,得 ,又 ,
所以 ,故 .
又 ,得 ,则 ,
又 ,得 ,
又 ,所以 .
得右面示意图，故 D 错误. 故选: AC.
12.
13. 设切点为 的导数为 ,
由切线的方程 可得切线的斜率为 1,令 ,
则 ,故切点为 ,代入 ,得 ,
为正实数, ,当且仅当 时, 取得最大值 .
14. 【法一】线段 与线段 交于点 ,可设 ,
又
因为点 共线,得 ,解得 . 即 .
同理可得 .
【法二】过点 作 交 于点 ，
,得
同理过点 作 的平行线可得, .
【法三】设 ,则 ,
得 ,又因为 ,
,
所以 ,
整理得 ,
得 ,解得 . 故得 .
【法四】特殊三角形法得 .
所以 .
又 ,得
,得 .
故答案为 2:1:4.【此部分也可利用奔驰定理解决】
15. 解: (1) 零假设 : 电池 “长寿命” 与电解液配方无关联.
(3 分)
根据小概率值 的独立性检验,我们没有充分的证据推断 不成立,
即认为电池 “长寿命” 与电解液配方无关联. (5 分)
(2)由样本估计总体,从采用新型配方的量产电池中随机抽取一组,其为 “长寿命”电池的概率应为 . 【法一】根据二项分布,“长寿命”的组数为 (7 分)
所以 .
则 的数学期望是 ,方差是 . (13 分)
【法二】则 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,
,
,
, (7 分)
(10 分)
.
(13 分)
(或 )
【提醒学生一定要掌握各种变形公式,以选最优】
16. 解: (1) 在 中,满足 ,
由正弦定理,可得 ,化简得 , (4 分)
由余弦定理,可得 ,
因为 ,所以 . (6 分)
(2) . (8 分)
又根据
, (12 分)
而 ,
解得 . (15 分)
17. (1) 证明: 在四边形 中,连接 ,
,
又 ,
得 , (3 分)
又 且平面 平面 ，平面 平面 ，
面 ，得
面 ,得 ,
又 面 ，
所以 面 , (5 分)
又 面 ,所以 . (6 分)
(2)解: ，平面 平面 ，且平面 平面 ，
面 ，
分别以 ， 所在直线为 ， 轴，以过点 且与 平行的直线为 轴，建立如右图所示的空间直角坐标系,得
,
则 , (8 分)
设面 的一个法向量 ,
则 ,即 .
可取 ； (10 分)
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,即 .
可取 ; (12 分)
因为 , (14 分)
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . (15 分)
18. 解: (1) 由题意知 .
又焦距为 ,得 ,得 ,
所以椭圆 的标准方程为 . (4 分)
(2)当过点 的直线 斜率不存在或斜率为 0 时,再过 作 轴,交椭圆 于另一点 ，与异于点 矛盾,故直线 斜率存在且不为 0 .
又由椭圆的对称性可知,直线 过定点,该点定在 轴上可设其为 . (6 分)
【法一】可设 .
联立 ,消去 并整理得 ,
设 ,得 ,
且 , (7 分)
直线 , (8 分)
令 可得点 的横坐标为 ,
又 ,
故 . (10 分)
故点 坐标为 . (11 分)
【法二】可设 .
联立 ,消去 并整理得 ,
设 得 ,
且 , (7 分)
直线 ,
令 可得点 的横坐标为 , (8 分)
又 ,
故 . (10 分)
故点 坐标为 . (11 分)
(3)由题意 的面积可分为 与 的面积之和，
则 (12 分)
【法一】由 (2) 得 ,
(13 分)
设 ,
设 ,则 ,
得 ,
又函数 在 单调递增,得 , (15 分)
所以 ,得 .
所以 面积的取值范围为 . (17 分)
【法二】由 (2) 得 , (12 分) 设 ,设 ,则 ,
得 , (13 分)
又函数 在 单调递增,得 ,
所以 ,得 . (15 分)
所以 面积的取值范围为 . (17 分)
19. 解: (1) 【法一】对任意 都有 ,即 ,
设 ,则
设 ,则 , (2 分)
又 ,所以 ,得 ,
所以 在 上时单调递增,又 ,
所以 ,又 ,
得 ,即函数 在 上时单调递增,
由洛比达法则当 时,
所以得 . (4 分)
【法二】 ,知 且 ,
所以若对任意 有 ,当 在 单调递增时符合条件,
需 在 上恒成立,即 在 上恒成立,
设 ,得 在 上恒大于 0,
所以 在 上单调递增,又 . 得 . (2 分)
① 当 时，又 使 ，
则 在 上单调递增,
又 ,满足 , (3 分)
② 当 时， ，得 ，
故 在 上单调递增,
又当 时, ,
所以当 时 ,
得 对任意 有 ,
所以若对任意 有 ,得实数 的取值范围为 . (4 分)
【法三】 ,令 ; (2 分)
当 时, ,
所以 在 单调递增,故 ,满足题意;
当 时, 在 恒成立,所以 在 单调递增,
而 ,
所以由零点存在性定理得: 存在唯一得 , (3 分)
使得 且当 时, ,所以 在 单调递减,
故 ,均有 ,矛盾,故 不合题意;
综上, 得取值范围为 . (4 分)
(2)(i)证明:设 ，得 ，
因为 单调递增,且 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
则 最小值为 ,故 ,
所以 , (6 分)
满足 的数列 为函数 的指数迭代数列,
则 ,整理得 ,
所以 ,
所以当 时, , (8 分)
因为 ,所以 ,则 ,所以 ,
且 ,数列 各项均为正数且单调递增; (10 分)
(ii) 设
因为 ,所以 ,
得 在 上单调递增,又 ,
则当 时, ,即 , (12 分)
又 ,且由 知 ,
所以 ,即 , (14 分)
,
上述等式左右分别相加得 ,
整理得 ,
又 ,所以 , (16 分)
整理得 .
即 . (17 分)
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