2025-2026学年下学期河北承德高三数学3月一模试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期河北承德高三数学3月一模试卷（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 89.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-21 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
高三数学
班级_____ 姓名_____
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ,则
A. 1 B. C. D. 2
3. 已知向量 ，若 与 的夹角的余弦值为 ，则 的值为
A. -1 B. -5 C. -1 或 -5 D. 无法确定
4. 已知某函数的大致图象如图所示, 则该函数的解析式可能为
A. B. C. D.
5. 已知直线 与坐标轴分别交于 两点,在圆 上仅存在一点 ,使 ,则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 记 ,若 ,则
A. 1 B. C. D.
7. 已知把函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变得到函数 的图象,若 在区间 上有三个零点,则 的取值范围为
A. B. C. D.
8. 已知集合 且 ，若 中任意元素均在曲线 的下方,则符合条件的整数 的最大值是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知曲线 ,则下列说法正确的是
A. 若 ,则曲线 的焦距为 4
B. 若 ，则曲线 表示双曲线，且其渐近线方程为
C. 若曲线 表示椭圆，则
D. 是曲线 表示焦点在 轴上的双曲线的充分不必要条件
10. 已知数列 满足 ,设 的前 项和为 ,则下列结论中正确的是
A. B. 数列 是等比数列
C. D. 数列 中存在最小项
11. 已知在直角 中, 为边 上的中线,将 沿边 翻折至 ,则下列选项正确的是
A.
B. 三棱锥 的体积的最大值为
C. 存在某个位置使得平面 平面
D. 三棱锥 的外接球的体积最小值为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 是增函数，则实数 的取值范围是_____.
13. 将标号为1,1,2,2,3,4的 6 张不同卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张标号不同的卡片，则不同的放法共有_____种.
14. 设数列 满足 ，设 为数列 的前 项和,则 _____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分) 2025 年 9 月 3 日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 80 周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼. 某中学为了增强学生的爱国主义情怀，减轻学习压力，决定组织一次军事知识竞赛. 为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了 100 名学生进行调查，已知女生中有 15 名喜欢军事，男生中有 的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有 是男生. 参加竞赛的学生从喜欢军事的学生中选取，测试题型分为选择题与填空题两种，每次由电脑随机选出一道，选择题与填空题出现的频率之比为 ，已知学生答对选择题的概率为 ，答对填空题的概率为 ，每次答题互不影响.
喜欢军事 不喜欢军事 合计
男生
女生 15
合计
(1)根据已知条件补充完整上表，并根据小概率值 的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性别有关；
(2)若每位学生答 3 题,求学生答对题数 的分布列和数学期望.
附: ,其中 .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
16.(本小题满分 15 分)已知三棱锥 中， ， ， 为 中点， 为 中点，平面 平面 ，点 到平面 的距离为 2 .
(1)证明: ;
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (本小题满分 15 分)已知 内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ， ( ,面积 边上有两个动点 ，且 .
(1)求角 ；
(2)求 的最小值.
18. (本小题满分 17 分)已知椭圆 ， ， 分别为它的左、右焦点，离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若点 是椭圆 上任意一点,求 的内切圆半径 的最大值；
(3)过点 分别作直线 与椭圆交于 ， 两点，作直线 与椭圆交于 ， 两点，其中点 位于第一象限，直线 过点 且与 轴垂直，直线 与直线 分别交于点 ,证明: 点 为 中点.
19. (本小题满分 17 分) 已知函数 .
(1)当 时,求曲线在点 处的切线方程；
(2)当 时，讨论函数 的单调性；
(3)若 有两个极小值点 ，且 恒成立，求符合条件的整数 的最大值.
高三数学参考答案及解析
23G302
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B A D C C B A ABD ABC ABC
1. D 由题可知 ,又 ,所以 ,故选 D.
2. 因为 ,所以 ,所以 . 故选 B.
3. A 因为 ,所以 ,所以 ,又因为 与 的夹角的余弦值为 ,所以 ,解得 ,故选 A.
4. D 对于 选项,当 时, ，与题中函数图象不符，故 错误；对于 选项， ,所以函数 为 上的增函数,与题中函数图象不符,故 错误; 对于 选项,易知函数 是偶函数,与题干中函数图象不符,故 错误; 对于 选项,设 ,该函数的定义域为 ,所以函数 为奇函数,当 时, ,由 ,可得 ; 由 ,可得 或 ,所以函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ,与题中函数图象相符,故选 D.
5. C 不妨设 ,因为 ,所以 点在以 为直径的圆上,又因为 中点坐标为 ,所以点 在圆 上,又因为在圆 上仅存在一点 ,使 ,且两圆半径相等,所以两圆外切,因此 ,解得 3 或 (舍),故选 C.
6. C ,令 ,得 ,则 . ,故选 C.
7. 由题可知 ,令 ,即 ,即 ,所以 ,或 ,解得 ,或 ,则非负根从小到大依次为 ,又因为 在区间 上有三个零点,所以 ,解得 ,故选 B.
8. A 因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,由题意可知 ,即 ,化简得 ,则 恒成立,则 ,故符合条件的整数 的最大值是 0 . 故选 A.
9. ABD 对于 ,若 ,则曲线 的方程为 ,表示焦点在 轴上的椭圆,其焦距为 ,故 A 正确; 对于 B,若 ,则曲线 的方程为 ,表示焦点在 轴上的双曲线,其渐近线方程为 ,故 正确; 对于 ,当 时,曲线 的方程为 ,表示圆,故选项 错误; 对于 D,若曲线 表示焦点在 轴上的双曲线,则 解得 ,又因为 , 所以 是曲线 表示焦点在 轴上的双曲线的充分不必要条件,故 D 正确. 故选 ABD.
10. 当 时,可得 ,又因为 ,所以 ,故 正确; 由 ,得 ,所以 ,又 ,所以数列 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列,故 B 正确; 由 B 选项分析可得 , 所以 ,所以 ,故 C 正确; 由 C 选项分析可得 , 所以 ,所以 恒成立, 所以数列 为单调递减数列,所以数列 中不存在最小项,故 错误. 故选 ABC.
11. ABC 对于 ,因为 ,所以 ,又 为斜边 上的中线,所以 ,所以 ,结合旋转的性质可知 ,所以 ,故 A 正确; 对于 B,如图,过点 作 的延长线于点 ,连接 ,由对 的分析可知 ,故 ,当 平面 时,三棱锥 的体积最大,此时 ,故
,故 B 正确; 对于 ,假设存在某个位置使得平面 上平面 , 分别取 的中点 ，连接 ，由已知条件可知 ，又 平面 ，平面 平面 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以 ,在三角形 中，易知 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 . 易知在旋转过程中 能成立，所以假设成立，所以 C 正确；对于 ，由题可知 ， ，所以三角形 的外接圆的半径为 1，是定值. 易知三角形 是边长为 1 的等边三角形，所以其外接圆的半径为 ，又因为在旋转的过程中，三角形 是固定不动的，所以在旋转过程中，三角形 所在平面始终不过三棱锥 外接球的球心,所以当三角形 的外接圆正好是三棱锥 -ACD 外接球的大圆时,三棱锥 -ACD 的外接球的半径最小,为 1,此时三棱锥 -ACD 的体积最小,为 ,所以 错误,故选 ABC.
12.【答案】
由题可知 ,故 ,当 时, ,故 .
13.【答案】60
将 6 张卡片均匀分成三组,然后放到三个不同的信封中,总的放法种数为 . 若其中有 2 个信封中的卡片标号相同,则卡片的分组为 ,共 1 种,此时放法种数为 . 若有 1 个信封中的卡片标号相同,则卡片的分组为 ,共 4 种,此时放法种数为 . 所以若每个信封放 2 张标号不同的卡片,则不同的放法种数为 .
14.【答案】392
由 得 ,即 ,又 ,所以 , 同理得 ,由 得 ,令 ,则 ,且 , 所以 ,所以 ,所以 ,则
15.【解】( 1 )由题可知喜欢军事的男生与女生人数之比为2 :1 ，且有 15 名女生喜欢军事，所以有 30 名男生喜欢军事，因为男生中有 的人喜欢军事，所以男生共有 50 名，故不喜欢军事的男生有 20 名，( 2 分) 完善后的列联表如下:
喜欢军事 不喜欢军事 合计
男生 30 20 50
女生 15 35 50
合计 45 55 100
(3 分)
零假设为 : 该校学生喜欢军事与性别无关.
, (4 分)
根据小概率值 的 独立性检验,没有充分证据推断 不成立,因此可以认为 成立,即该校学生喜欢军事与性别无关. (5 分)
(2)学生答对一题的概率为 , (6 分)
的可能取值为0,1,2,3,且 ,
(10 分)
所以 的分布列为
0 1 2 3
数学期望 . (13 分)
16.【解】(1)因为 中点，所以 ，
又因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以 . (4 分)
(2)在等腰 中， ， (5 分)
因为点 到平面 的距离为 ,所以 平面 , (7 分)
建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
, (9 分)
设平面 的法向量为 ,则 即 令 ,则 , (11 分)
设平面 的法向量为 ,则 即 令 ,则 , , (13 分)
设平面 与平面 的夹角为 ,则 ,故平面 与平面 夹角的余弦值为 . (15 分)
17.【解】(1)由 ，得 ，即 ,即 , (2 分)
所以 ,故 , (4 分)
因为 ,所以 ,
故在 Rt 中, ,因为 ,所以 . (6 分)
(2)不妨设点 靠近点 ，由(1)可得 ，设 ，
则在 中, ,在 中, , (9 分)
故
(12 分)
设 ,则 ,故 , (13 分)
因为函数 在 上单调递减,所以 时, ,故 的最小值为 2 . (15 分)
18.【解】(1)设椭圆的半焦距为 ,由题意可知 ,
解得 ,所以椭圆 的方程为 . (2 分)
(2)因为点 是椭圆 上任意一点，所以结合椭圆的定义可得 ,又 ,
所以 的面积 , (3 分)
易知当 位于短轴的端点时, 最大, ,
所以 ,解得 ,
即 的最大值为 . (6 分)
(3)证明:设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ， ， ， ， ,联立 消去 ,整理得 ,得 (9 分) 同理得 (10 分)
直线 的方程为 ,令 ,得 (12 分)
同理可得 , (13 分)
则 (16 分)
所以点 为 中点. (17 分)
19.【解】( 1 )当 时， ，则 ，
则 ，所以曲线在点 处的切线方程为 . (2 分)
(2) ,
令 ,则 ,
若 ,则 ,所以 在 上单调递增,所以 , (4 分)
若 ,则当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增,故 , (6 分)
因此当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增。(7分) (3)由(2)知 时不符合题意；
当 时,易知 在 上单调递减,在 上单调递增, ,且 , ,当 时, ,故存在 使 ,又 ,故 , (8 分)
则当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增,故 为 的两个极小值点,且满足 则 令 , 得
则 , (11 分)
令 ,则 ,
令 ,则 ,
当 时, 单调递增,当 时, 单调递减, , (13 分)
故 在 内存在唯一零点 ,即 ,且当 时, ,则 单调递减; 当 时, ,则 单调递增,
故 , 由 ,得 , (16 分)
故整数 的最大值为 2 . (17 分)
班级_____ 姓名_____
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ,则
A. 1 B. C. D. 2
3. 已知向量 ，若 与 的夹角的余弦值为 ，则 的值为
A. -1 B. -5 C. -1 或 -5 D. 无法确定
4. 已知某函数的大致图象如图所示, 则该函数的解析式可能为
A. B. C. D.
5. 已知直线 与坐标轴分别交于 两点,在圆 上仅存在一点 ,使 ,则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 记 ,若 ,则
A. 1 B. C. D.
7. 已知把函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变得到函数 的图象,若 在区间 上有三个零点,则 的取值范围为
A. B. C. D.
8. 已知集合 且 ，若 中任意元素均在曲线 的下方,则符合条件的整数 的最大值是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知曲线 ,则下列说法正确的是
A. 若 ,则曲线 的焦距为 4
B. 若 ，则曲线 表示双曲线，且其渐近线方程为
C. 若曲线 表示椭圆，则
D. 是曲线 表示焦点在 轴上的双曲线的充分不必要条件
10. 已知数列 满足 ,设 的前 项和为 ,则下列结论中正确的是
A. B. 数列 是等比数列
C. D. 数列 中存在最小项
11. 已知在直角 中, 为边 上的中线,将 沿边 翻折至 ,则下列选项正确的是
A.
B. 三棱锥 的体积的最大值为
C. 存在某个位置使得平面 平面
D. 三棱锥 的外接球的体积最小值为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 是增函数，则实数 的取值范围是_____.
13. 将标号为1,1,2,2,3,4的 6 张不同卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张标号不同的卡片，则不同的放法共有_____种.
14. 设数列 满足 ，设 为数列 的前 项和,则 _____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分) 2025 年 9 月 3 日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 80 周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼. 某中学为了增强学生的爱国主义情怀，减轻学习压力，决定组织一次军事知识竞赛. 为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了 100 名学生进行调查，已知女生中有 15 名喜欢军事，男生中有 的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有 是男生. 参加竞赛的学生从喜欢军事的学生中选取，测试题型分为选择题与填空题两种，每次由电脑随机选出一道，选择题与填空题出现的频率之比为 ，已知学生答对选择题的概率为 ，答对填空题的概率为 ，每次答题互不影响.
喜欢军事 不喜欢军事 合计
男生
女生 15
合计
(1)根据已知条件补充完整上表，并根据小概率值 的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性别有关；
(2)若每位学生答 3 题,求学生答对题数 的分布列和数学期望.
附: ,其中 .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
16.(本小题满分 15 分)已知三棱锥 中， ， ， 为 中点， 为 中点，平面 平面 ，点 到平面 的距离为 2 .
(1)证明: ;
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. (本小题满分 15 分)已知 内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ， ( ,面积 边上有两个动点 ，且 .
(1)求角 ；
(2)求 的最小值.
18. (本小题满分 17 分)已知椭圆 ， ， 分别为它的左、右焦点，离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若点 是椭圆 上任意一点,求 的内切圆半径 的最大值；
(3)过点 分别作直线 与椭圆交于 ， 两点，作直线 与椭圆交于 ， 两点，其中点 位于第一象限，直线 过点 且与 轴垂直，直线 与直线 分别交于点 ,证明: 点 为 中点.
19. (本小题满分 17 分) 已知函数 .
(1)当 时,求曲线在点 处的切线方程；
(2)当 时，讨论函数 的单调性；
(3)若 有两个极小值点 ，且 恒成立，求符合条件的整数 的最大值.
高三数学参考答案及解析
23G302
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B A D C C B A ABD ABC ABC
1. D 由题可知 ,又 ,所以 ,故选 D.
2. 因为 ,所以 ,所以 . 故选 B.
3. A 因为 ,所以 ,所以 ,又因为 与 的夹角的余弦值为 ,所以 ,解得 ,故选 A.
4. D 对于 选项,当 时, ，与题中函数图象不符，故 错误；对于 选项， ,所以函数 为 上的增函数,与题中函数图象不符,故 错误; 对于 选项,易知函数 是偶函数,与题干中函数图象不符,故 错误; 对于 选项,设 ,该函数的定义域为 ,所以函数 为奇函数,当 时, ,由 ,可得 ; 由 ,可得 或 ,所以函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ,与题中函数图象相符,故选 D.
5. C 不妨设 ,因为 ,所以 点在以 为直径的圆上,又因为 中点坐标为 ,所以点 在圆 上,又因为在圆 上仅存在一点 ,使 ,且两圆半径相等,所以两圆外切,因此 ,解得 3 或 (舍),故选 C.
6. C ,令 ,得 ,则 . ,故选 C.
7. 由题可知 ,令 ,即 ,即 ,所以 ,或 ,解得 ,或 ,则非负根从小到大依次为 ,又因为 在区间 上有三个零点,所以 ,解得 ,故选 B.
8. A 因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,由题意可知 ,即 ,化简得 ,则 恒成立,则 ,故符合条件的整数 的最大值是 0 . 故选 A.
9. ABD 对于 ,若 ,则曲线 的方程为 ,表示焦点在 轴上的椭圆,其焦距为 ,故 A 正确; 对于 B,若 ,则曲线 的方程为 ,表示焦点在 轴上的双曲线,其渐近线方程为 ,故 正确; 对于 ,当 时,曲线 的方程为 ,表示圆,故选项 错误; 对于 D,若曲线 表示焦点在 轴上的双曲线,则 解得 ,又因为 , 所以 是曲线 表示焦点在 轴上的双曲线的充分不必要条件,故 D 正确. 故选 ABD.
10. 当 时,可得 ,又因为 ,所以 ,故 正确; 由 ,得 ,所以 ,又 ,所以数列 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列,故 B 正确; 由 B 选项分析可得 , 所以 ,所以 ,故 C 正确; 由 C 选项分析可得 , 所以 ,所以 恒成立, 所以数列 为单调递减数列,所以数列 中不存在最小项,故 错误. 故选 ABC.
11. ABC 对于 ,因为 ,所以 ,又 为斜边 上的中线,所以 ,所以 ,结合旋转的性质可知 ,所以 ,故 A 正确; 对于 B,如图,过点 作 的延长线于点 ,连接 ,由对 的分析可知 ,故 ,当 平面 时,三棱锥 的体积最大,此时 ,故
,故 B 正确; 对于 ,假设存在某个位置使得平面 上平面 , 分别取 的中点 ，连接 ，由已知条件可知 ，又 平面 ，平面 平面 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以 ,在三角形 中，易知 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 . 易知在旋转过程中 能成立，所以假设成立，所以 C 正确；对于 ，由题可知 ， ，所以三角形 的外接圆的半径为 1，是定值. 易知三角形 是边长为 1 的等边三角形，所以其外接圆的半径为 ，又因为在旋转的过程中，三角形 是固定不动的，所以在旋转过程中，三角形 所在平面始终不过三棱锥 外接球的球心,所以当三角形 的外接圆正好是三棱锥 -ACD 外接球的大圆时,三棱锥 -ACD 的外接球的半径最小,为 1,此时三棱锥 -ACD 的体积最小,为 ,所以 错误,故选 ABC.
12.【答案】
由题可知 ,故 ,当 时, ,故 .
13.【答案】60
将 6 张卡片均匀分成三组,然后放到三个不同的信封中,总的放法种数为 . 若其中有 2 个信封中的卡片标号相同,则卡片的分组为 ,共 1 种,此时放法种数为 . 若有 1 个信封中的卡片标号相同,则卡片的分组为 ,共 4 种,此时放法种数为 . 所以若每个信封放 2 张标号不同的卡片,则不同的放法种数为 .
14.【答案】392
由 得 ,即 ,又 ,所以 , 同理得 ,由 得 ,令 ,则 ,且 , 所以 ,所以 ,所以 ,则
15.【解】( 1 )由题可知喜欢军事的男生与女生人数之比为2 :1 ，且有 15 名女生喜欢军事，所以有 30 名男生喜欢军事，因为男生中有 的人喜欢军事，所以男生共有 50 名，故不喜欢军事的男生有 20 名，( 2 分) 完善后的列联表如下:
喜欢军事 不喜欢军事 合计
男生 30 20 50
女生 15 35 50
合计 45 55 100
(3 分)
零假设为 : 该校学生喜欢军事与性别无关.
, (4 分)
根据小概率值 的 独立性检验,没有充分证据推断 不成立,因此可以认为 成立,即该校学生喜欢军事与性别无关. (5 分)
(2)学生答对一题的概率为 , (6 分)
的可能取值为0,1,2,3,且 ,
(10 分)
所以 的分布列为
0 1 2 3
数学期望 . (13 分)
16.【解】(1)因为 中点，所以 ，
又因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以 . (4 分)
(2)在等腰 中， ， (5 分)
因为点 到平面 的距离为 ,所以 平面 , (7 分)
建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
, (9 分)
设平面 的法向量为 ,则 即 令 ,则 , (11 分)
设平面 的法向量为 ,则 即 令 ,则 , , (13 分)
设平面 与平面 的夹角为 ,则 ,故平面 与平面 夹角的余弦值为 . (15 分)
17.【解】(1)由 ，得 ，即 ,即 , (2 分)
所以 ,故 , (4 分)
因为 ,所以 ,
故在 Rt 中, ,因为 ,所以 . (6 分)
(2)不妨设点 靠近点 ，由(1)可得 ，设 ，
则在 中, ,在 中, , (9 分)
故
(12 分)
设 ,则 ,故 , (13 分)
因为函数 在 上单调递减,所以 时, ,故 的最小值为 2 . (15 分)
18.【解】(1)设椭圆的半焦距为 ,由题意可知 ,
解得 ,所以椭圆 的方程为 . (2 分)
(2)因为点 是椭圆 上任意一点，所以结合椭圆的定义可得 ,又 ,
所以 的面积 , (3 分)
易知当 位于短轴的端点时, 最大, ,
所以 ,解得 ,
即 的最大值为 . (6 分)
(3)证明:设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ， ， ， ， ,联立 消去 ,整理得 ,得 (9 分) 同理得 (10 分)
直线 的方程为 ,令 ,得 (12 分)
同理可得 , (13 分)
则 (16 分)
所以点 为 中点. (17 分)
19.【解】( 1 )当 时， ，则 ，
则 ，所以曲线在点 处的切线方程为 . (2 分)
(2) ,
令 ,则 ,
若 ,则 ,所以 在 上单调递增,所以 , (4 分)
若 ,则当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增,故 , (6 分)
因此当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增。(7分) (3)由(2)知 时不符合题意；
当 时,易知 在 上单调递减,在 上单调递增, ,且 , ,当 时, ,故存在 使 ,又 ,故 , (8 分)
则当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增,故 为 的两个极小值点,且满足 则 令 , 得
则 , (11 分)
令 ,则 ,
令 ,则 ,
当 时, 单调递增,当 时, 单调递减, , (13 分)
故 在 内存在唯一零点 ,即 ,且当 时, ,则 单调递减; 当 时, ,则 单调递增,
故 , 由 ,得 , (16 分)
故整数 的最大值为 2 . (17 分)
同课章节目录