2025-2026学年下学期湖南邵阳高三数学3月二模试卷（含答案）

2026 年邵阳市高三第二次联考试题卷 数 学
满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4. 保持答题卡的整洁。考试结束后, 只交答题卡, 试题卷自行保存。
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 ，集合 ，则
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ,则下列说法正确的是
A.
B. 复数 在复平面内对应的点位于第一象限
C. 复数 的共轭复数为
D. 将复数 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转 ，所得向量对应的复数为
3. 在平行四边形 中,点 在线段 上,且 . 若 ,其中 ,则
A. B. C. D.
4. 清明将至, 为倡导文明祭祀, 筑牢防火安全防线, 4 名青年志愿者到 3 个社区参加 “绿色清明”公益宣讲活动, 要求每名志愿者只能选择一个社区, 每个社区至少要有一名志愿者，则不同的派法共有
A. 24 种 B. 36 种 C. 64 种 D. 72 种
5. 已知函数 ,则下列结论错误的是
A. B.
C. 函数 在区间 上单调递增
D. 函数 的图象关于点 中心对称
6. 已知 是 内的一点,且 . 若 和 的面积分别为 ,则 的最小值是
A. B. 9 C. 15 D. 20
7. 已知函数 ,则
A. 是偶函数,且在 单调递增 B. 是偶函数,且在 单调递减
C. 是奇函数,且在 单调递增 D. 是奇函数,且在 单调递减
8. 在正四棱锥 中， 是棱 的中点，平面 将该正四棱锥分割成两部分， 则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为
A. B. C. D.
二、选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点,过 的直线 交 于 两点, 则下列结论成立的是
A. 的周长为 8 B.
C. 的最小值为 D. 存在直线 ,使得
10. 下列说法正确的是
A. 数据2,3,4,5,6,7,8,9的第 25 百分位数为 3
B. 若随机变量 ,则
C. 某校在对高一(2)班学生的数学成绩调查中，随机抽取 10 名男生的数学成绩，其平均数为 105 , 方差为 24 , 随机抽取 5 名女生的数学成绩, 其平均数为 102 , 方差为 21 , 则这 15 名学生的数学成绩的方差为 25
D. 一箱 12 罐的饮料中 4 罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取 2 罐，则这 2 罐中有奖券的概率为
11. 在 中,角 所对的边分别为 ,且 , 则下列选项正确的是
A.
B. 若 是边 的中点，则线段 的长的最小值为
C. 的最大值为
D. 若点 是 的外心，且 ， ，则
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 在平面直角坐标系中, 为坐标原点, ,动点 满足 . 当 取最大值时, _____.
13. 已知 ,则 _____.
14. 已知函数 ,若 在 上恒成立,则 的最大值为_____.
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13 分) 已知数列 是等差数列,且 ,数列 满足 ,
(1)求 的通项公式，并证明数列 是等比数列；
(2)若数列 满足 ，求 的前 项和 .
16. (15 分) 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平, 采用简单随机抽样的方法从甲、乙两所学校共抽取 120 名学生. 通过测验得到如下数据: 甲校 50 名学生中有 10 名学生的数学成绩优秀; 乙校 70 名学生中有 10 名学生的数学成绩优秀. 根据抽样数据的分析，得到不完整抽样数据列联表，如表(一)所示.
单位:人
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校 10 50
乙校 10 70
合计
表(一)
(1)完成表 (一) 列联表，依据小概率值 的 独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异
(2)已知甲、乙两所学校利用 AI 自习室帮助数学不优秀的学生进行成绩有效转化，且转化数据如下: 甲校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为 ,乙校数学不优秀学生成绩有效转化的概率为 . 若从甲、乙两所学校数学不优秀的学生中采用随机抽样的方式抽出 1 名学生, 用样本估计总体, 用频率估计概率, 求该学生数学成绩有效转化的概率.
参考公式与数据:
,其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17. (15 分) 如图(一),在四棱锥 中, , ,点 在线段 上, ,平面 平面 .
(1)求证: ；
(2)设点 是三棱锥 的外接球的球心，且四棱锥 的体积是 ， 求直线 与平面 所成角的正弦值.
图(一)
18. (17 分) 已知双曲线 的渐近线方程为 ,右焦点为 ,直线 与 相切于点 .
(1)若 与 的渐近线分别交于 两点，证明:点 为线段 的中点；
(2)已知直线 ，若 与 分别交于点 ，是否存在实数 ， 使得 恒成立 若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由.
19. (17 分) 已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)若函数 有两个零点 和 ，且 ，求证: ；
(3)设函数 ，若 与 的图象有两个交点 ， ,试比较 与 的大小. (参考数据: )
2026 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准 数 学
一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A B C C A B
8. 如图所示,在正四棱锥 中, 是棱 的中点,取 的中点为 ,连接 ,所以 ,因为 ,所以 ,所以 四点共面，所以平面 在四棱锥上的截面是平面 .
平面 把四棱锥分为两个部分,设四棱锥 的体积为 ,高为 .
则 ,
同理 .
设点 到平面 的距离是 ,
则 ,
即 ,
所以体积较小部分与体积较大部分的体积之比为 .
二、选择题(本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
题号 9 10 11
答案 ABD BC ACD
11. 因为 ,所以 , 即 ,因为 ,得 .
又 ,故 ,所以选项 正确;
由正弦定理 ,得 ,所以 .
又 ,所以 .
因为 是边 的中点,所以 ,
又因为 ,所以 ,
当且仅当 时取等号,所以 ,所以选项 B 错误;
当 时, 的最大值为 ,此时 ,所以选项 C 正确;
因为 ,所以 .
因为 ,所以 又 ,
即 得 ,所以选项 正确.
三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12.
14. 由已知可得 恒成立,令 .
故 恒成立,故 . 与此同时, .
(1)若 ，则 .
(2)若 ，令 ，
的定义域为 ,
当 时,有 ; 当 时,有 .
所以 在 单调递减,在 单调递增.
所以当 时, 的最小值为 ,
因为 恒成立,则 恒成立,得 ,即 .
( i ) 当 时,则有 ;
(ii) 当 时,则有 ,则 ;
令 ,
当 时, ,当 时, ,
则 在 上单调递增,在 上单调递减,
2026 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准 (数学) 第 2 页(共 7 页)
所以当 时, 取得最大值 ;
综合 (1) (2) 得: 的最大值为 ,
所以 的最大值为 .
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13 分)
(1)设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，解得 . 所以 . 3 分
由 得 ,即 ,又 ,
所以 是一个以 4 为首项,3 为公比的等比数列. 6 分
(2)由(1)可得 ，所以 . 9 分
所以 .
所以 . 13 分
16. (15 分)
解:(1)列联表如下
单位:人
学校 数学成绩 合计
不优秀 优秀
甲校 40 10 50
乙校 60 10 70
合计 100 20 120
2 分
零假设为 : 两校学生的数学成绩优秀率无差异.
根据列联表数据，计算得到
5 分
根据小概率值 的 独立性检验,没有充分证据推断 不成立,因此可以认为 成立, 即认为两校学生的数学成绩优秀率没有差异. 7 分
(2)设事件 “利用 自习室帮助该学生且数学成绩能有效转化”,事件 “该学生来自甲校”,事件 “该学生来自乙校”,则
,且 , 11 分
则 ,
所以该学生数学成绩有效转化的概率为 . 15 分
17. (15 分)
解:(1)证明:在直角梯形 中， ，
,所以 .
因为 ,所以 .
又 ，所以 ，
所以 . 3 分
又因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 .
因为 平面 ,所以 . 6 分
(2)取 的中点为 ，连接 . 因为 ，所以 .
又因为平面 平面 ,平面 平面 平面 , 所以 平面 .
所以 ,
得 . 8 分
以点 为原点,分别以 所在直线分别为
轴, 轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则 .
设 ,由 ,得 .
又 ,
所以 ,
且 ,
解得: 所以 . 10 分
所以 .
设 是平面 的一个法向量,则 且 ,
即 取 ,则 ,
所以 . 12 分
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值是 . 15 分
18.(17分)
解: 设双曲线 ,
由题意得: 解得 故双曲线方程为 . 3 分
(1)证明: 设 ，则
i) 当切线 斜率不存在时,由对称性可知, 为 的中点.
ii) 当切线 斜率存在时,设切线
联立方程组: 消去 得: .
由 ,即 . 6 分
又 ,则 ,
所以 ,即 ,解得 .
所以直线 ,又 ,则 . 8 分
联立方程组: 消去 得: ,因为 .
则上式化简为 恒成立.
设 ,则 ,所以 为 的中点. 11 分
(2)因为 与 相交，则切线 的斜率存在，
由 (1) 知,切线 ,将 分别代入切线 的方程得
所以 ,则 ,
15 分所以 .
故存在 ,使得 恒成立. 17 分
19. (17 分)
解: (1) 的定义域为 ,
当 时, . 当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
当 时, 取极小值,极小值为 ,无极大值. 3 分
(2) 有两个零点，即方程 有两个不同实根 和 .
设 ,则 .
当 时, ; 当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 在 处取得最小值, 的大致图象如图所示.
5 分
不难知函数 的最低点为 ，且 ，直线 ，直线 . 则直线 与函数 的图象交点的横坐标分别是 和 ,设与直线 和 的交点的横坐标分别是 和 .
解方程可得 . 7 分
当 时, ,所以函数 的图象在线段 的下方.
当 时, .
令 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
又 ,所以 ,其中 ,故函数 的图象在线段 的下方.
所以根据单调性,可得 ,所以 ,命题得证. 9 分
(3) 由 得 ,所以 ,
两式相加,得 ; 两式相减,得 ,
即 ,
所以 ,
即 . 12 分
不妨令 ,记 ,下面来证明: ,
令 ,则 ,所以 在 上单调递增,
则 ,得证.
所以 ,即 ,所以 .
又 ,
所以 ,即 . 15 分
令 ,则 时, ,所以 在 上单调递增.
又 ,
所以 ,
所以 ,即 . 17 分
注:解答题有其他解法酌情给分.