2025-2026学年下学期辽宁多校高三数学3月模拟调研卷一试卷（含解析）

2026 年普通高等学校招生全国统一考试模拟调研卷
数学(一)
本试卷总分 150 分, 考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 设集合 ,若 ,则 的取值集合为
A. B. C. D.
2. 若复数 的共轭复数 ,则
A. B. C. D.
3. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，若 ，则 “ ” 是 “ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知向量 ,若向量 在 上的投影向量相等,则
A. 2 B. 1
C. D. -1
5. 若 ,则
A. B. C. D.
6. 已知函数 ,若函数 与 的图象关于直线 对称,且 ,则
A. B. C. D.
7. 已知直线 与圆 相交于 ， 两点， 为坐标原点， 若 ,则
A. B. 4 C. D.
8. 在四面体 中,平面 平面 ,若点 均在球 的球面上,且 ,则球 的表面积为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,上顶点为 ,过点 作垂直于 的直线交 于 两点,则
A. 的离心率为 B. 的短轴长为
C. 为等边三角形 D. 为等边三角形
10. 甲、乙两人进行足球点球比赛，用抽签的方式决定谁先进行，甲、乙抽中的机会均等. 每次点球若射中,则继续; 若未射中,则换对方点球. 已知甲、乙每次点球射中的概率分别为 , 且每次点球是否射中相互独立，则
A. 第 2 个球是甲射门的概率为
B. 在第 1 个球和第 2 个球均是甲射门的条件下,第 3 个球是乙射门的概率为
C. 前 4 个球中甲、乙各射 2 个的概率为
D. 在第 3 个球是甲射门的条件下,第 1 个球是乙射门的概率为
11. 已知正方体 的棱长为 2,动点 在该正方体内部及其表面上运动, 为 的中点,则下列说法正确的是
A. 若 ，则三棱锥 的体积为定值
B. 若 ，则动点 轨迹的长度为 2
C. 若点 到平面 与 的距离相等，则 的最小值为 3
D. 若点 到平面 与 的距离相等,则直线 与 一定不垂直
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 已知随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 的值为_____.
13. 若圆锥的底面半径与其内接正方体 (四个顶点在圆锥的底面上, 另四个顶点在圆锥的侧面上) 的棱长均为 1,则该圆锥的体积为_____.
14. 已知函数 ,则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
将 3 个标号不同的红球和 2 个标号不同的白球排成一排.
(1)求2个白球均不排在两端的所有排法种数;
(2)记 为 2 个白球之间红球的个数，求 的分布列.
16.(15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， ， 分别为 的中点,平面 底面 .
(1)证明: ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17.(15分)
已知数列 前 项的积为 .
(1)判断 ， ， 是否成等差数列，并给出证明；
(2)令 ,求数列 的前 项和 ,
18.(17 分)
已知点 在抛物线 上,直线 .
(1)求 的方程；
(2)点 ， 在 上，且以 为直径的圆过坐标原点 ，若直线 交 于另一点 ，直线 交 于另一点 .
( i ) 证明:直线 过定点,并求出该定点坐标;
(ii)是否存在 ， ，使得 的面积为 面积的 2 倍？若存在，求出 的值； 若不存在, 说明理由.
19.(17分)
已知函数 .
(1)求 的单调区间;
(2)记 ，若 ，证明: ;
(3)记 的导函数为 ，证明:当 时， .
答案与解析
2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟调研卷(一)
选择题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B C A A B C D AC AC ACD
一、选择题
1. C若 ,则 ，此时AnB={m,-1}，不符合题意；若m=2m-1，解得m=1，则A={-1， 1}, B={0,1},此时AnB={m}，符合题意. 综上，m的取值集合为{1}.
2. B由题意知z=2+i,所以(z- 1)i=(1+i)i=-1+i.
3. C若m⊥α, m∥n,则n⊥α,又n⊥ ,所以 ; 反之,若m⊥α,α∥ ,则m⊥β, 又n⊥β,所以m∥n,所以“m∥n”是“α∥β″ 的充要条件.
4. A由题意得 ,即 b) ,整理得 ,所以 .
5. A 由题意得 ,所以 . . 因为 ,所以 0,所以 ,即 ,可得 .
6. B由题意知 ,所以 ,所以 . 因为 ,所以 ,所以 ,解得
7. C由|OA|=|OB|,得OC , 所以 ,解得 ,所以
8. D取 的中点M,在平面 内，过M 作MN⊥AB，因为平面 平面 ,平面 平面 ,所以MN⊥平面 ,因为 ,所以 为 的外心，且球心 为 的外心,又 ,所以球 的半径 ,故球 的 表面积为
二、选择题
9. AC由 的左、右焦点分别为 ，得 4-m= 1，解得 ，所以 的离心率为 1，短轴长为 的边长均为 2,故选项 A正确，选项 B 错误，选项 C 正确；由题意设 ,则 ,解得 ,所以 ,又 ,所以 , 即 不 是等边三角形，故 选项 D错误.
10. 记 “抽签抽到甲”, “甲点球射中”, “ 抽签抽到乙”, “乙点球射中”, 则第2个球是甲射门的概率为 ,故 A 正确; 在第 1 个球和第2个球均是甲射门的条件下，第3 个球是 射门的概率为 ,故 B错误；前 4 个球中甲、乙各射 2 个的概率 ,故 C 正确; 在第 3 个球是甲射门的条件下, 第 1 个球是乙 射 门 的 概 率 ,故 错误.
11. ACD 分别取棱 , 的中点 则 四点共面，且四边形 EMNH 为正方形，若 ,则 在平面EMNH 内,且 到平面 的距离为定值 1 , 所以 故选项 正确; 若 ，则点 既在正方形 EMNH 内 及其边界上,又在 对角面 BDD1B1内，所以点 P 的轨迹为线段MH， 其长度为 ，故选项B错误；若点 P 到平面 与 的距离相等，则点 P 在对角面 内，取 的中点 K，则点 F，K 关于平面 1B 1对称，所以PC+PF≥CK=3, i 故选项 C 正确；若 PC PC1,则点 P 在以CC 1为直径的球面上，因为点 到平面 的距离为 ,所以平面 与以 为直径的球面无公共点，故选项 D 正确.
三、填空题
12. 2 因为 4) ,所以 , 由正态分布的对称性,得 .
13. 设圆锥的高为 ,则 ,解得 ,所以该圆锥的体积 .
14. 由 ,得 . 因为 ,所以当 时, 0 ;当 时, ,所以当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减; 当 时, 单 单调
递增.因为 ,所以当 时, 的最小
值为 . 又 ，所以 为
的一个周期,即当 时, 的
最小值为 .
四、解答题
15. 解:(1)先从中间的 3 个空位中选出 2 个空位排2 个白球, 再把3个红球全排放入剩下的3个空位,共. (种),
所以 2 个白球均不排在两端的所有排法种数为 36 . (5分)
(2)由题意知 的所有可能取值为0,1,2,3, (6分)
则 ;
(12分)
所以 的分布列为(13分)
X 0 1 2 3
P 2 5
16. (1)证明: 因为底面ABCD 是边长为2的正方形，O，M分别为AD，BC 的中点，
所以OM AD,(2分)
因为平面 POM 底面 ，平面 POMn底面 ABCD = OM, AD 底面
ABCD,
所以AD ⊥ 平面POM,(5分)
因为 PMC平面POM,
所以 PM AD. (6分)
(2)解:由(1)及底面ABCD 为正方形，可得 AO⊥PO, PM⊥CM,
又正方形的边长为2, O, M 分别为AD，BC 的中点 ,
所以 ,
在 中， ，
所以 PO⊥OM,所以 OM, OD, OP 两两
垂直.
以O为坐标原点,以OM, OD, OP 所在直
线分别为x, y, z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,
,(9分)
设平面 PCD 的法向量为 ,
则 得
令 ,则 , ,
所以平面 PCD 的一个法向量 .
(12分)
设直线 与平面 所成的角为 ，
则
所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦
值为 .(15分)
17. 解: (1) 成等差数列, 证明如下: (1分)
因为数列 前 项的积 ,
所以当 时, , (3分)
当 时， ，符合上式，
所以 , (5分)
所以
即 成等差数列. (7 分)
(2)由(1)可得 ,
所以 (11分)
所以
所以数列 的前 项和 .
(15分)
18. (1)解: 因为点 在抛物线
上，
所以 ，解得 ，
所以 的方程为 . (3分)
(2)(i) 证明:由题意不妨设A(-1, a),
B(-1, b)(a>0),
因为以 为直径的圆过坐标原点O,
所以 ,
得 ,即 . (5分)
设直线MN:x=my+t, M( ), N( ),
联立方程组
消去 得 ,
则 , (6分)
因为A, P, M 三点共线,
所以 ,
解得 ,
又由B, P, N 三点共线，
所以 ,
解得 ,(8分)
所以 ,
又 ,得 ,符合题意,
所以直线MN:x= my+1, (9分)
即直线 MN 过定点(1,0). (10分)
(ii) 解: 由(i)知
设点 到直线 的距离为 ，
所以 . (13分)
因为 ，(14分)
若 ,则 ,
即 ,方程有解,
所以 .
所以存在 ,使得 的面积为
面积的 2 倍，此时 .(17分)
19.(1) 解: 由题意得 f(x)的定义域为(一∞,
,且. ,(1分) 令。 ,
则 恒成立,
所以 在 上单调递增,(2分)
又 ,
所以当 时,
0, f(x)单调递减;
当 时, ,
f(x)单调递增,(4分)
所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 .(5分)
(2)证明:由(1)知， ，(6分)
即 ,
即 ,(7 分)
所以
即 .(11分)
(3)证明:因为 ，令 ， 所以 ,且 ,(12分)
又 ,
则 1) .(15分)
令 ,
则 ,
所以 在 上单调递增,
所以 ,
即 ,
所以当 时, ,(16分)
又当 时， ，
所以当 时， 1) ,
即当 时 . (17 分)