10.2 消元——解二元一次方程组 课件（6课时）2025-2026学年数学人教版七年级下册

(共115张PPT)
10.2 消元——解二元一次方程组
消元——解二元一次方程组（第1课时）
　　每个方程都含有_____个未知数，且含有未知数的式子都是______,含有未知数的项的次数都是______，像这样的方程叫作二元一次方程．
两
1
　　方程组中含有______个未知数，且含有未知数的式子都是______,含有未知数的项的次数都是 ______，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组．
两
1
　　二元一次方程组的两个方程的______________，叫作二元一次方程组的解．
　　使二元一次方程两边的值__________的______个未知数的值，叫作二元一次方程的解．
相等
两
公共解
整式
整式
　　新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式，某种棉大户租用 6 台大、小两种型号的采棉机，1 h 就完成了 8 hm2 棉田的采摘．如果大型采棉机1 h完成 2 hm2 棉田的采摘，小型采棉机 1 h 完成 1 hm2 棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？
　　解：设这个种棉大户租用了 x 台大型采棉机，y 台小型采棉机.　
　　根据题意，可列方程组
　　思考：如果只设一个未知数呢？
　　解：设这个种棉大户租用了 x 台大型采棉机，则租用（6-x） 台小型采棉机.
　　根据题意，可列出一元一次方程 2x＋(6－x)＝8．
　　新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式，某种棉大户租用 6 台大、小两种型号的采棉机，1 h 就完成了 8 hm2 棉田的采摘．如果大型采棉机1 h完成 2 hm2 棉田的采摘，小型采棉机 1 h 完成 1 hm2 棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？
问题
　　比较二元一次方程组和一元一次方程，你能发现它们之间的关系吗？
2x＋6－x＝8．
6－x：小型采棉机台数
y：小型采棉机台数
y＝6－x
二元
一元
消 元
　　二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．
新知
　　这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想．
问题
　　对于二元一次方程组 你能写出求 x 的值的过程吗？
　　解：由①，得 y＝6－x．③
　　将③代入②，得 2x＋6－x＝8．
　　解得 x＝2．
　　把③代入①可以吗？试试看？
问题
　　解：由①，得 y＝6－x．③
　　将③代入①，得 x＋6－x＝6．
　　再化简将会出现不含未知数的恒等式，这是因为方程③是由方程①得到的，所以它只能代入方程②，不能代入方程①.
　　把③代入①可以吗？试试看？
　　对于二元一次方程组 你能写出求 x 的值的过程吗？
　　解：由①，得 y＝6－x．③
　　将③代入②，得 2x＋6－x＝8．
　　解得 x＝2．
　　思考：你能求出 y 的值，并写出这个方程组的解吗？
　　解：由①，得 y＝6－x．③
　　将③代入②，得 2x＋6－x＝8．
　　解得 x＝2．
　　把 x＝2 代入③，得 y＝4．
　　所以这个方程组的解为
　　把 x＝2 代入①或②可以吗？
　　把 x＝2 代入方程①②③都能得到另一个未知数的值，但是通常代入运算最简捷的方程③中．
　　把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法．
　　在这种解法中，哪一步是最关键的步骤？为什么？
新知
问题
　　对于二元一次方程组 你能先消去 x 得到关于 y 的一元一次方程吗？
　　解：由①，得 x＝6－y．③
　　将③代入②，得 2(6－y)＋y＝8．
　　解得 y＝4．
　　把 y＝4 代入③，得 x＝2．
所以这个方程组的解为
思考
　　回顾解方程组的过程，你能总结出代入法解二元一次方程组的一般步骤吗？
y＝6－x
消元
用一个未知数表示另一个未知数
2x＋6－x＝8
代入
解 x
x＝2
回代
解 y
y＝4
　　（1）变形：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来；
　　（2）代入：把变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
　　（3）求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
　　（4）回代：把求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值；
　　（5）写解：将两个未知数的值用“{”联立在一起，就得到方程组的解．
　　代入法解二元一次方程组的一般步骤：
　　例1　用代入法解方程组
　　分析：方程①中 x 的系数是 1，用含 y 的式子表示 x，比较简便．
　　解：由①，得 x＝3＋y．③
　　将③代入②，得 3(3＋y)－8y＝14．
　　解得 y＝－1．
　　把 y＝－1 代入③，得 x＝2．
　　所以这个方程组的解为
　　例2　用代入法解方程组
　　解：将①代入②，得 5x＋2x－3＝11．
　　解得 x＝2．
　　把 x＝2 代入①，得 y＝1．
　　所以这个方程组的解为
　　例3　用代入法解方程组
　　解得 y＝4．
　　所以这个方程组的解为
　　把 y＝4 代入③，得 x＝0．
　　解：由①，得 x＝ ．③
　　把③代入②，得 5× －6y＝－24，
　　（1）当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的式子时，可以直接利用代入消元法求解；
　　（2）若方程组中有未知数的系数为 1（或－1）的方程，则选择系数为 1（或－1）的方程进行变形比较简单；
　　（3）若方程组中所有方程中的未知数的系数都不是 1 或－1，则选系数的绝对值较小的方程变形比较简单．
归纳
解二元一次方程组
基本思想
基本方法
消元思想
代入消元法
消元——解二元一次方程组（第2课时）
　　1．将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作____________．
　　2．把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用______________________表示出来，再_________________，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫作代入消元法，简称________．
　　变形　　　代入　　　求值　　　回代　　　写解
　　3．代入法解二元一次方程组的一般步骤：
消元思想
　　_____　　 _____　　 _____　　 _____　　 _____ 　　　　
含另一个未知数的式子
代入另一个方程
代入法
　　4．（1）当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的式子时，可以____________________求解；
　　（2）若方程组中有未知数的系数为 ___________的方程，则选择系数为 ___________的方程进行变形比较简单；
　　（3）若方程组中所有方程中的未知数的系数都不是 1 或－1，则选__________________的方程变形比较简单．
直接利用代入消元法
1（或－1）
1（或－1）
系数的绝对值较小
　　上节课我们学习了代入消元法解二元一次方程组，由此我们能够解决哪些实际问题呢？本节课我们将学习代入法解二元一次方程组在实际生活中的简单应用．
　　快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120 件和 45 件，报酬为 270元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90 件和 25 件，报酬为 185 元．如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
　　思考：问题中有哪些未知量？
　　未知量：每送一件和每揽一件的报酬．
　　思考：问题中有哪些条件？
　　分析：问题中包含两个条件：
　　送 120 件的报酬＋揽 45 件的报酬＝270元
　　送 90 件的报酬＋揽 25 件的报酬＝185元
　　快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120 件和 45 件，报酬为 270元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90 件和 25 件，报酬为 185 元．如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
　　解：设这名快递员每送一件的报酬是 x 元，每揽一件的报酬是y 元．
　　根据这名快递员星期一和星期二取得的报酬满足的相等关系，
列得方程组
　　快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120 件和 45 件，报酬为 270元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90 件和 25 件，报酬为 185 元．如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
　　由①，得
　　 　　　　 　　 ．③
　　把③代入②，得 ．
　　解这个方程，得 y＝2．
　　把 y＝2 代入③，得 x＝1.5．
　　所以这个方程组的解是
　　答：这名快递员每送一件的报酬是 1.5 元，每揽一件的报酬是2 元．
　　例　化肥厂往某地区运送了两批化肥，第一批装满了9节火车车厢和 25 辆卡车，共运走了 640 t；第二批装满了 12 节火车车厢和 10 辆卡车，共运走了 760 t．平均每节火车车厢和每辆卡车分别装运化肥多少吨？
　　分析：两个未知数，即每节火车车厢装运的化肥的质量与每辆卡车装运的化肥的质量．它们的数量关系如下：
　　（1）9节火车车厢装运的总质量＋25辆卡车装运的总质量＝640 t；
　　（2）12节火车车厢装运的总质量＋10辆卡车装运的总质量＝760 t．
　　例　化肥厂往某地区运送了两批化肥，第一批装满了9节火车车厢和 25 辆卡车，共运走了 640 t；第二批装满了 12 节火车车厢和 10 辆卡车，共运走了 760 t．平均每节火车车厢和每辆卡车分别装运化肥多少吨？
　　解：设平均每节火车车厢装运化肥 x t，每辆卡车装运化肥 y t，
　　根据题意，得　　
　　由①，得 ．③
　　把③代入②，得 ．
　　所以这个方程组的解是
　　答：平均每节火车车厢装运化肥 60 t ，每辆卡车装运化肥 4 t ．
　　解得 y＝4．
　　把 y＝4代入③，得 x＝60．
实际问题
数学问题
（二元一次方程组）
数学问题的解
（二元一次方程组的解）
设未知数
列方程组
解方程组
代入消元法
实际问题的答案
检验
①变形
②代入
③求解
④回代
⑤写解
　　解方程的过程可以用下面的框图表示：
代入法解二元一次方程组的简单应用
基本思路
找出相等关系
根据相等关系列出二元一次方程组
解二元一次方程组
消元——解二元一次方程组（第3课时）
　　某种瓶装饮料有 A，B 两种包装盒，1 个 A 包装盒和 1 个 B 包装盒能装 6 瓶，2 个 A 包装盒和 1 个 B 包装盒能装 8 瓶．A，B 两种包装盒分别能装多少瓶？
　　解：设 A 种包装盒能装 x 瓶，B 种包装盒能装 y 瓶．
　　根据题意，可列方程组
　　你能用代入法解这个方程组吗？
　　由①，得 y＝6－x．③
　　将③代入②，得 2x＋6－x＝8．
　　解这个方程，得 x＝2．
　　把 x＝2 代入③，得 y＝4．
　　所以这个方程组的解为
思想：消元
方法：代入法
　　前面我们用代入法求出了方程组 的解，仔细观察，你能发现新的消元的方法吗？
　　思考：这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？
　　两个方程中 y 的系数相等．
问题
　　思考：利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
　　用②－①可消去未知数 y，得 (2x＋y)－(x＋y)＝8－6．
　　解：②－①，得 2x－x＝8－6，
　　解得 x＝2．
　　把 x＝2代入①，得 y＝4．
　　所以这个方程组的解为
依据：等式的性质1
　　思考：①－②也能消去未知数 y，求出 x 吗？
　　用①－②也能消去未知数 y，得 (x＋y)－(2x＋y)＝6－8．
　　解：①－②，得 x－2x＝6－8，
　　解得 x＝2．
　　把 x＝2 代入①，得 y＝4．
　　所以这个方程组的解为
　　联系前面的解法，想一想怎样解方程组
问题
　　思考：此题中未知数 y 的系数有什么新的关系？
　　思考：利用这种关系你能想到什么办法消元？
　　两个方程中 y 的系数互为相反数．
　　用①＋②可消去未知数 y，得 (3x＋10y)＋(15x－10y)＝2.8＋8．
依据：等式的性质1
　　解：①＋②，得 15x＋3x＝2.8＋8，
　　解得 x＝0.6．
　　把 x＝0.6 代入①，得 y＝0.1．
　　所以这个方程组的解为
思考
　　这两个方程组的特点分别是什么？如何实现消元？依据是什么？
　　y 的系数相同，通过两方程相减实现消元，依据是等式的性质1 ．
　　y 的系数互为相反数，通过两方程相加实现消元，依据是等式的性质1 ．
　　当两个二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．进而求得二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法这种方法叫作加减消元法，简称加减法．
加减消元法
加减消元法的依据是等式的性质．
　　用加减消元法解方程组
问题
　　思考：直接加减是否可行？为什么？
　　这两个方程中同一个未知数的系数既不相等也不互为相反数，直接把这两个方程进行加减不能消元．
　　用加减消元法解方程组
问题
　　在方程两边乘适当的数，变形成同一未知数在两个方程中的系数相反或相等．
　　思考：怎样对方程变形，使两个方程中某个未知数的系数相反或相同，进而使用加减消元法？
　　以用加减法消去未知数 y 为例，
　　解：①×2，得 8x－6y＝30．③
　　②×3，得 9x＋6y＝21．④
　　③＋④，得 17x＝51，解得 x＝3 ．
　　把 x＝3 代入①，得 y＝－1．
　　所以这个方程组的解为
思想：消元
方法：加减法
把 x＝3 代入②可以解得 y 吗？
　　思考：如果用加减法消去 x 应如何解？解得的结果一样吗？
　　解：①×3，得 12x－9y＝45．③
　　②×4，得 12x＋8y＝28．④
　　③－④，得 －17y＝17，解得 y＝－1．
　　把 y＝－1 代入①，得 x＝3．
　　所以这个方程组的解为
归纳
　　当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍时，可以先在系数绝对值较小的方程两边同乘倍数，使之与另一个方程中同一未知数的系数的绝对值相等，再将两个方程相加或相减，从而实现消元．
　　例如，　　　　　　可变形为
归纳
　　当两个方程中同一个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较简单（或相对较小）的未知数消元，将两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值分别转化成它们的最小公倍数，再加减消元．
　　例如，　　　　　　可变形为
　　解：①＋②，得 2x＋x＝10＋5，
　　解得 x＝5．
　　把 x＝5 代入②，得 y＝0．
　　所以这个方程组的解为
　　例1　用加减法解方程组
　　解： ②×2，得 2x－4y＝8．③
　　解得 x＝6．
　　把 x＝6 代入②，得 y＝1．
　　所以这个方程组的解为
　　例2　用加减法解方程组
　　①＋③，得 2x＋2x＝16＋8，
　　例3　用加减法解方程组
　　解：①×3，得 9x＋12y＝48．③
　　②×2，得 10x－12y＝66．④
　　③＋④，得 19x＝114，解得 x＝6．
　　所以这个方程组的解为
　　把 x＝6 代入①，得 y＝－ ．
如果用加减法消去 x 应如何解？
　　加减法解二元一次方程组的一般步骤：
　　（1）变形：使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数；
　　（2）加减：将两个二元一次方程用相加或相减的方式消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
　　（3）求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
　　加减法解二元一次方程组的一般步骤：
　　（4）回代：把求得的未知数的值代入方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值；
　　（5）写解：将两个未知数的值用“{”联立在一起，就得到方程组的解．
加减法解二元一次方程组
一般步骤
基本思路
消元——解二元一次方程组（第4课时）
　　用加减法解方程组
　　解：①×2，得 4x－10y＝－6．③
　　③＋②，得 －9y＝－9，
　　解得 y＝1．
　　所以这个方程组的解为
　　把 y＝1 代入②，得 x＝1．
　　用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
变形
使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数；
将两个二元一次方程用相加或相减的方式消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
加减
求值
回代
写解
解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
把求得的未知数的值代入方程组中比较简单的方程中，求出另一个未知数的值；
将两个未知数的值用“{”联立在一起．
　　上节课我们学习了加减消元法解二元一次方程组，由此我们能够解决哪些实际问题呢？本节课我们将学习加减法解二元一次方程组在实际生活中的简单应用．
问题
　　我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：
　　今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？
　　意思是：假设 5 头牛、2 只羊，共值金 10 两；2 头牛、5 只羊，共值金 8 两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？
　　思考：本题中有哪些未知量？
　　 每头牛、每只羊的值金数．
　　我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：
　　今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？
　　意思是：假设 5 头牛、2 只羊，共值金 10 两；2 头牛、5 只羊，共值金 8 两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？
问题
　　思考：本题中有哪些相等关系？
　　5×每头牛的值金数＋2×每只羊的值金数＝ 10 两；
　　2×每头牛的值金数＋5×每只羊的值金数＝ 8 两．
思考
　　如何用二元一次方程组表示上面的两个相等关系？
　　分析：由于每头牛和每只羊的价格分别相等，所以根据“5 头牛、2 只羊，共值金 10 两；2 头牛、5 只羊，共值金 8 两”可列方程组
问题
　　解：设 每头牛和每只羊分别值金 x 两和 y 两．
　　根据问题中的相等关系，列得方程组
　　我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：
　　今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？
　　意思是：假设 5 头牛、2 只羊，共值金 10 两；2 头牛、5 只羊，共值金 8 两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？
　　①×2，得 10x＋4y＝20．③
　　②×5，得 10x＋25y＝40．④
　　答：每头牛和每只羊分别值金 两和 两.
　　所以这个方程组的解是
　　④－③，得 21y＝20， y＝ .
把 y＝ 代入①，得 x＝ .
　　列二元一次方程组解决实际问题，需要从实际问题中找出两个相等关系，要根据相等关系选择适当的设未知数的方法，如直接设未知数、间接设未知数、设辅助未知数等．注意单位统一及检验所得到的解是否与实际意义相符合．
　　例　某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑、白两种颜色的文化衫共 140 件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：
项目 批发价/元 零售价/元
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
　　假设文化衫全部售出，共获利 1 860 元，求黑、白两种文化衫各多少件．
　　分析：根据题意，设黑色文化衫 x 件，白色文化衫 y 件．根据题目中的数量关系可得：黑色文化衫件数与白色文化衫件数之和是 140，即______________；每件黑色文化衫的利润是____________元，每件白色文化衫的利润是____________元，两种文化衫共获利 1 860 元，即____________________________．联立两式构建二元一次方程组，进而求出x，y 的值．
x＋y＝140
25－10＝15
20－8＝12
(25－10)x＋(20－8)y＝1 860
　　解：设黑色文化衫 x 件，白色文化衫 y 件．
　　根据题意列方程组，得
　　去括号，得
　　解得 x＝60．
　　所以这个方程组的解为
　　答：黑色文化衫 60 件，白色文化衫 80 件．
　　①×12，得 12x＋12y＝1 680．③
　　把 x＝60 代入①，得 y＝80．
　　②－③，得 3x＝180，
归纳
实际问题
数学问题
（二元一次方程组）
数学问题的解
（二元一次方程组的解）
设未知数
列方程组
解方程组
加减消元法
实际问题的答案
检验
①变形
②加减
③求值
④回代
⑤写解
加减法解二元一次方程组的简单应用
基本思路
找出相等关系
根据相等关系列出二元一次方程组
解二元一次方程组
消元——解二元一次方程组（第5课时）
　　解方程组
　　解：由①，得 x＝32－y．③
　　把③代入②，得 2(32－y)＋4y＝84，
　　解得 y＝10．
　　所以这个方程组的解为
　　把 y＝10 代入③，得 x＝22．
代入消元法
二
元
一
次
方
程
组
x＋y＝32
2x＋4y＝84
y＝10
x＝22
解得 y
解得 x
一元一次方程
2(32－y)＋4y＝84
　　上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
消去 x
x＝32－y
变形
代入
　　还有其他方法解这个方程组吗？
　　解方程组
　　解：①×2，得 2x＋2y＝64．③
　　②－③，得 2y＝20，
　　解得 y＝10．
　　所以这个方程组的解为
　　把 y＝10 代入①，得 x＝22．
加减消元法
二
元
一
次
方
程
组
x＋y＝32　①
2x＋4y＝84　②
　　上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
2x＋2y＝64　③
①×2
一元一次方程
2y＝20
消去 x
②－③
y＝10
x＝22
解得 y
解得 x
　　代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同．我们应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法．
二元一次方程组
消元
一元一次方程
代入消元法
加减消元法
　　选择合适的方法解下面的方程组：
　　（1）
　　（2）
　　（3）
　　分析：分别用代入消元法和加减消元法求解，再对比分析．
问题
　　（1）代入消元法解方程组
　　解：由①，得 y＝1.5－2x．③
　　把③代入②，得 0.8x＋0.6(1.5－2x)＝1.3，
　　解得 x＝－1．
　　所以这个方程组的解为
　　把 x＝－1 代入③，得 y＝3.5．
　　加减消元法解方程组
　　解：①×0.6，得 1.2x＋0.6y＝0.9．③
　　③－②，得 0.4x＝－0.4，
　　解得 x＝－1．
　　所以这个方程组的解为
　　把 x＝－1 代入①，得 y＝3.5．
　　（2）代入消元法解方程组
　　解：由①，得 x＝3－2y．③
　　把③代入②，得 3(3－2y)－2y＝5，
　　所以这个方程组的解为
　　解得 y＝ ．
　　把 y＝ 代入③，得 x＝2．
　　加减消元法解方程组
　　解：①＋②，得 x＋3x＝3＋5，
　　解得 x＝2．
　　所以这个方程组的解为
　　把 x＝2 代入①，得 y＝ ．
　　（3）代入消元法解方程组
　　解得 y＝1．
　　所以这个方程组的解为
　　把 y＝1 代入③，得 x＝－2．
　　解：由①，得 x＝ ．③
　　把③代入②，得 3· － 2y＝－8，
　　加减消元法解方程组
　　解：①×3，得 6x＋15y＝3．③
　　③－④，得 19y＝19，
　　解得 y＝1．
　　所以这个方程组的解为
　　把 y＝1 代入①，得 x＝－2．
　　②×2，得 6x－4y＝－16．④
　　如何根据方程组的形式选择比较简便的方法？
思考
　　（1）
　　（2）
　　（3）
代入消元法
加减消元法
加减消元法
解二元一次方程组，看系数选方法
　　当方程中有未知数的系数为1（或－1）时，可直接用代入法消元．否则观察相同未知数的系数，当系数互为相反数时，相加消元；当系数相等时，相减消元；当系数既不相等，也不互为相反数时，需要通过变形使同一个未知数的系数相等或互为相反数再相减或相加消元．
　　解方程组
　　分析：二元一次方程组的标准形式为 （a1，a2，b1，b2不同时为0）．
问题
　　方程①去括号，得 4m－4n－4＝3－3n－2．
化简，得 4m－n＝5．
　　方程②去分母，得 3m＋2n＝12．
① ②
　　①×2＋②，得 11m＝22，
　　解得 m＝2．
　　所以这个方程组的解为
　　把 m＝2 代入①，得 n＝3．
　　解：原方程组可化为
　　解较复杂的二元一次方程组时，一般先把方程组化简为标准形式，且系数都化为整数，再设法消元求解．
　　例1　选择合适的方法解下列方程组：
　　（1）
　　（2）
　　分析：（1）方程 2x－y＝3 中 y 的系数是－1，故可选择代入消元法，用含 x 的式子表示 y．
　　（2）方程组中 y 的系数的绝对值成整数倍，故利用加减消元法解二元一次方程组比较简便．
　　（1）
　　解：由①，得 y＝2x－3．③
　　把③代入②，得 3x＋4(2x－3)＝10，
　　解得 x＝2．
　　所以这个方程组的解为
　　把 x＝2代入③，得 y＝1．
　　（2）
　　解：①×2，得 2x＋4y＝6．③
　　②＋③，得 5x＝5，
　　解得 x＝1．
　　所以这个方程组的解为
　　把 x＝1 代入①，得 y＝1．
　　例2　解方程组
　　②×3＋①，得 11u＝11，
　　解得 u＝1．
　　所以这个方程组的解为
　　把 u＝1 代入②，得 v＝1．
　　解：原方程组可化为
选择适当的方法解二元一次方程组
解复杂的二元一次方程组
选择适当的方法解二元一次方程组
消元——解二元一次方程组（第6课时）
　　1．消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，就可将二元一次方程组转化为________________．可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．
一元一次方程
　　2．代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用________________________的式子表示出来，再代入另一个方程，实现____________，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做__________________，简称代入法．
含另一个未知数
消元
代入消元法
　　3．加减法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数________或________时，把这两个方程的两边分别________或________，就能消去这个未知数，得到一个_________________，这种方法叫做加减消元法，简称____________．
相反
相等
相加
相减
一元一次方程
加减法
　4．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？请选择你认为简便的方法解决这个问题．
　　解：设笼中有鸡 x 只、兔 y 只．
　　根据题意，得
　　由①，得 x＝35－y．③
　　把③代入②，得 2(35－y)＋4y＝94，
　　解得 y＝12．
　　所以这个方程组的解为
　　把 y＝12 代入③，得 x＝23．
　　答：笼中有鸡 23 只、兔 12 只．
类型一、整体思想在解方程组中的应用
　　 1．用适当的方法解方程组
　　分析：解题的关键是利用整体思想把 x＋y 和 x－y 分别看成整体进行消元，先求 x＋y，x－y 的值，再求 x，y 的值．
　　解：②×6，得 3(x＋y)＋(x－y)＝6．③
　　③－①，得 5(x－y)＝2，
即 x－y＝ ．
　　把 x－y＝ 代入①，得 x＋y＝ ．
　　解方程组
　　得
　　所以原方程组的解为
利用整体思想解二元一次方程组的步骤
　　第 1 步：找准“整体”，从已知方程组中找到可以作为整体的式子；
　　第 2 步：正确变形，求解整体，把方程组看作以选定的“整体”为未知数的二元一次方程组，并求解；
　　第 3 步：求原方程组的解，此时得到的解并不是原方程组的解，需根据选择的“整体”进一步求出原方程组中未知数的值．
归纳
　　2．已知方程组 的解为 求方程
组 的解．
　　解：把(x＋2)和(y－1)分别看成整体 A，B，
　　则所求的方程组可转化为
　　分析：运用整体思想解二元一次方程组的前提是方程组中每一个方程都有相同结构的式子．
　　因为方程组 的解为
　　所以
　　解得
　　即
　　所以原方程组的解为
　　3．解方程组
类型二、系数成对称关系的二元一次方程组的解法
　　分析：若方程组中两个方程的 x 与 y 的系数成对称关系，则先把两个方程相加和相减，转化为关于 x＋y，x－y 的方程组，再利用加减消元法求解．
　　②－①，得 x－y＝1．④
　　将③④联立，得
　　解：①＋②，得 25x＋25y＝75，即 x＋y＝3．③
　　解得
　　所以原方程组的解为
　　对于系数成对称关系的二元一次方程组，通过两方程加减重新构造方程组解答比较简单，也可直接用加减消元法或代入消元法求解，但过程比较烦琐．
类型三、利用二元一次方程组求代数式的值
　　4．已知 是关于 x，y 的二元一次方程组 的解，则代数式(a＋b)(a－b)的值为____________．
　　解析： 把 代入方程组，得
　　由①＋②，得 a＋b＝－4．
　　由①－②，得 5a－5b＝10，即 a－b＝2．
　　所以 (a＋b)(a－b)＝－4×2＝－8．
－8
　　已知二元一次方程组求关于未知数的式子的值时，有时不必解方程组，可将所求式子看作一个整体，利用方程组中两个方程之间的相关运算直接求出式子的值．
归纳
　　5．若 x，y 的值满足方程组 则 ＋ ＝_______，
－ ＝_______．
　　由①＋②，得 ＋ ＝80，则 ＋ ＝16．
　　由①－②，得 － ＝10．
16
10
　　解析：
类型四、同解方程（组）的应用
　　6．已知关于 x，y 的方程组 和 有相同的解，求(－a)b 的值．
　　分析：因为两个方程组有相同的解，所以只要将两个方程组中不含有 a，b 的两个方程联立，组成新的方程组，求出 x 和 y 的值，再将 x，y 的值代入含有 a，b 的两个方程中，解关于 a，b 的方程组即可得出 a，b 的值，进而可求得(－a)b 的值．
　　解方程组①，得
　　解：因为两方程组有相同的解，所以原方程组可化为
　　解得
　　代入方程组②，得
　　所以(－a)b＝(－2)3＝－8．
　　7．若关于 x，y 的方程组 的解也是方程 3x＋2y＝17 的一个解，求 m 的值．
　　①－②，得 3y＝－6m，即 y＝－2m．
　　把 y＝－2m 代入①，得 x－4m＝3m，所以 x＝7m．
　　解：方法 1 ：
　　把 x＝7m，y＝－2m 代入 3x＋2y＝17，得 21m－4m＝17，
　　解得 m＝1．
　　①×3－②，得 2x＋7y＝0．
　　方法 2 ：
　　联立 2x＋7y＝0 与 3x＋2y＝17，得方程组
　　解这个方程组，得
　　解得 m＝1．
　　把 代入①，得 7－4＝3m，
利用同解方程（组）求字母参数的方法
　　当几个二元一次方程有公共解或两个二元一次方程组同解时，可利用两个不含有字母参数或通过运算可将字母参数消去的二元一次方程组成新的方程组，并求出新方程组的解，然后利用这个解得到关于字母参数的方程（组），解方程（组）进而求得字母参数的值．
归纳
类型五、有关二元一次方程组的新题型
　　8．定义一种运算“◎”，规定 x◎y＝ax－by，a，b 为常数，且 2◎3＝6，4◎2＝8，则 a＋b 的值是__________．
　　解得
　　所以 a＋b＝ ．
　　解析：因为 x◎y＝ax－by．
　　所以 2◎3＝2a－3b＝6，4◎2＝4a－2b＝8，
　　即
题目
类型
整体思想在解方程组中的应用
系数成对称关系的二元一次方程组的解法
利用二元一次方程组求代数式的值
有关二元一次方程组的新题型
同解方程（组）的应用
消元解二元一次方程组的灵活应用