10.3实际问题与二元一次方程组 课件（3课时）2025-2026学年数学人教版七年级下册

(共66张PPT)
10.3 实际问题与二元一次方程组
实际问题与二元一次方程组（第1课时）
　　1．解二元一次方程组的基本思想是什么？
　　2．解二元一次方程组的基本方法有哪些？
消元．
代入消元法和加减消元法．
　　列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？
　　（1）审：弄清题意，分清已知量和未知量，并找出相等关系．
　　（2）设：设未知数，并用含有未知数的式子表示出其他相关量．
　　（3）列：根据相等关系列出方程．
　　（4）解：通过解方程，求出未知数的值．
　　（5）验：检验所得的未知数的值是不是所列方程的解，是否符合题意．
　　（6）答：根据题意写出答案．
　　怎样用二元一次方程组解决实际问题呢？
　　养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用饲料 675 kg；一周后又购进 12 头大牛和 5 头小牛，这时 1 天约用饲料 940 kg．饲养员李大叔估计每头大牛 1 天需饲料 18～20 kg，每头小牛 1 天需饲料 7～8 kg．你能通过计算检验他的估计吗？
问题
　　思考：如何理解“通过计算检验他的估计”这句话？
　　对于估算的结果要通过精确求值来检验，要想检验估计是否准确，需要分别计算出 1 头大牛和 1 头小牛 1 天约用的饲料量．
　　养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用饲料 675 kg；一周后又购进 12 头大牛和 5 头小牛，这时 1 天约用饲料 940 kg．饲养员李大叔估计每头大牛 1 天需饲料 18～20 kg，每头小牛 1 天需饲料 7～8 kg．你能通过计算检验他的估计吗？
　　思考：题目中有哪些未知量？
　　1 头大牛 1 天约用的饲料量和 1 头小牛 1 天约用的饲料量．
　　养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用饲料 675 kg；一周后又购进 12 头大牛和 5 头小牛，这时 1 天约用饲料 940 kg．饲养员李大叔估计每头大牛 1 天需饲料 18～20 kg，每头小牛 1 天需饲料 7～8 kg．你能通过计算检验他的估计吗？
　　思考：题目中有哪些相等关系？
　　30 头大牛 1 天约用的饲料量＋15 头小牛 1 天约用的饲料量＝675 kg；
　　(30＋12)头大牛 1 天约用的饲料量＋(15＋5)头小牛 1 天约用的饲料量＝940 kg．
思考
　　如何用二元一次方程组表示上面的两个相等关系？
(30x＋15y)
(42x＋20y)
　　分析：设每头大牛 1 天约用饲料 x kg，每头小牛 1 天约用饲料 y kg，那么 30 头大牛和 15 头小牛 1 天约用饲料______________kg，(30＋12)头大牛和(15＋5)头小牛1天约用饲料____________kg．
　　用二元一次方程组表示：
　　解：设每头大牛和每头小牛 1 天各约用饲料 x kg 和 y kg．
　　由题意，得方程组
　　化简，得
　　这就是说，每头大牛 1 天约需饲料 20 kg，每头小牛 1 天约需饲料 5 kg．
　　解得
　　养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用饲料 675 kg；一周后又购进 12 头大牛和 5 头小牛，这时 1 天约用饲料 940 kg．饲养员李大叔估计每头大牛 1 天需饲料 18～20 kg，每头小牛 1 天需饲料 7～8 kg．你能通过计算检验他的估计吗？
　　思考：饲养员李大叔的估计正确吗？
　　饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高．
　　养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用饲料 675 kg；一周后又购进 12 头大牛和 5 头小牛，这时 1 天约用饲料 940 kg．饲养员李大叔估计每头大牛 1 天需饲料 18～20 kg，每头小牛 1 天需饲料 7～8 kg．你能通过计算检验他的估计吗？
问题
　　思考：列一元一次方程能解决这个问题吗？
　　这就是说，每头大牛 1 天约需饲料 20 kg，每头小牛 1 天约需饲料 5 kg．因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高．
　　所以 ＝ ＝5．
　　解：设每头大牛 1 天约用饲料 x kg，则每头小牛 1 天约用饲料 kg．
　　解得 x＝20．
　　由题意，得方程 (30＋12)x＋(15＋5)× ＝940．
　　随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的 42 头大牛和 20 头小牛．现有 A，B 两种岗位，已知 A 岗位的饲养员每人负责 8 头大牛和 4 头小牛，B 岗位的饲养员每人负责 5 头大牛和 2 头小牛，请问李大叔应聘请 A，B 两种岗位的饲养员各多少人？
问题
　　解：设李大叔应聘请 A 岗位的饲养员 x 人，B 岗位的饲养员 y 人．
　　由题意，得方程组
　　答：李大叔应聘请 A 岗位的饲养员 4 人，B 岗位的饲养员 2 人．
　　解得
思考
　　列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
　　（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系．
　　（2）设：恰当地设未知数．
　　（3）列：根据（1）中的相等关系列方程组．
　　（4）解：正确地解方程组．
　　（5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意．
　　（6）答：答案要完整且单位统一．
归纳
实际问题
数学问题
（二元一次方程组）
数学问题的解
（二元一次方程组的解）
设未知数，列方程组
解方程组
问题答案
检验
转化
代入法
（消元）
加减法
　　例1　《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 1 尺，则木长多少尺？
　　解：设木长 x 尺，绳子长 y 尺．
　　由题意，得方程组
　　答：木长 6.5 尺．
　　解得
归纳
　　对于二元一次方程组问题，应设两个未知数，找出两个相等关系，列两个方程，组成二元一次方程组计算．
　　例2　已知 A，B 两件服装的成本共 500 元，某服装店老板分别以 30％ 和 20％ 的利润率定价后进行销售，该服装店共获利 130 元，问：A，B 两件服装的成本各是多少元？
　　解：设 A 服装的成本为 x 元，B 服装的成本为 y 元．
　　由题意，得方程组
　　答：A 服装的成本为300元，B 服装的成本为200元．
　　解得
归纳
　　销售问题中的利润和折扣问题的题目背景与现实生活紧密相连，分析题目时应注意：商品的售价＝商品的进价＋利润＝(1＋利润率)×进价．因此，解决此类问题时要弄清进价、售价、利润率、折扣等专业名词的含义，并按数量关系列出方程组．
列二元一次方程组解决实际问题
一般步骤
基本思路
实际问题与二元一次方程组（第2课时）
　　列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
　　（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系．
　　（2）设：恰当地设未知数．
　　（3）列：根据（1）中的相等关系列方程组．
　　（4）解：正确地解方程组．
　　（5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意．
　　（6）答：答案要完整且单位统一．
　　如图，将长方形纸片折成面积之比为 1∶1 的两个小长方形，有多少种折法？
解：如图，将长方形纸片折成面积之比为 1∶1 的两个小长方形，有 2 种折法．
　　如图，将长方形纸片折成面积之比为 1∶2 的两个小长方形，有多少种折法？
解：如图，将长方形纸片折成面积之比为 1∶2 的两个小长方形，有 4 种折法．
　　通过上面的两个活动，你能得出什么结论？
思考
　　按面积分割长方形的问题可转化为分割边长的问题．
　　据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1∶2．现要把一块长 200 m、宽 100 m 的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4？
问题
　　思考：如何求甲、乙两种作物的总产量？
　　总产量＝单位面积产量×面积．
　　据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1∶2．现要把一块长 200 m、宽 100 m 的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4？
　　思考：甲、乙两种作物的总产量的比与种植面积的比有什么关系？
　　 ＝ ．
　　 ＝ ，
　　所以 ＝ ．
　　据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1∶2．现要把一块长 200 m、宽 100 m 的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4？
　　 甲、乙两种作物的总产量的比等于甲作物的种植面积与乙作物的种植面积的 2 倍的比．
　　思考：甲、乙两种作物的总产量的比与种植面积的比有什么关系？
　　据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1∶2．现要把一块长 200 m、宽 100 m 的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4？
　　思考：根据上面的分析可知，本题研究的是长方形面积的分割问题，你能画出示意图帮助自己理解吗？
A
B
C
D
E
F
乙
甲
A
B
C
x
D
y
E
F
　　思考：你能列出方程组，并求出 x，y 的值吗？
　　分析：如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形 AEFD 和 BCFE．此时设 AE＝x m，BE＝y m，根据问题中涉及的长度、产量的数量关系即可列出方程组．
　　解：如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形 AEFD 和 BCFE．此时设 AE＝x m，BE＝y m．
乙
甲
A
B
C
x
D
y
E
F
　　由题意，得方程组
　　化简，得
　　这样就得到了一个可行的种植方案．
　　解得
思考
　　
　　如何表述你的种植方案？
　　过长方形土地的长边上离一端 80 m 处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物．
　　思考：还有其他设计方案吗？
乙
甲
A
B
C
x
D
y
E
F
　　解：如图，另一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形 ABFE 和 EFCD．此时设 AE＝x m，DE＝y m．
　　由题意，得方程组
　　化简，得
　　解得
乙
甲
A
B
C
x
D
E
F
y
　　
　　过长方形土地的短边上离一端 40 m 处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物．
乙
甲
A
B
C
x
D
E
F
y
问题
　　思考：列一元一次方程能解决这个问题吗？
　　据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1∶2．现要把一块长 200 m、宽 100 m 的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4？
　　由题意，得方程 100x∶[2×100× (200－x)]＝3∶4，
　　过长方形土地的长边上离一端 80 m 处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物．
　　所以 200－x＝200－120＝80．
　　解：①如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE．此时设AE＝x m，则BE＝(200－x)m．
　　解得 x＝120．
乙
甲
A
B
C
x
D
(200－x)
E
F
　　由题意，得方程 200x∶[2×200× (100－x)]＝3∶4，
　　过长方形土地的短边上离一端 40 m 处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物．
　　所以 100－x＝100－60＝40．
　　解：②如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形ABFE和EFCD．此时设AE＝x m，则DE＝(100－x)m．
　　解得 x＝60．
乙
甲
A
B
C
x
D
E
F
(100－x)
思考
　　你认为列二元一次方程组解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题有哪些相同点和不同点？
　　（1）能列二元一次方程组解决的实际问题，一般都可以列一元一次方程解决．但是，随着实际问题中未知量的增多和数量关系的复杂化，列方程组更加简单直接，一般问题中有几个相等关系就可以列出几个方程．
思考
　　你认为列二元一次方程组解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题有哪些相同点和不同点？
　　（2）两者的相同点是都需要先分析题意，把实际问题转化为数学问题（设未知数，列方程或方程组），再检验解的合理性，进而得到实际问题的解．这一过程就是建模的过程．
　　例1　某服装厂用某种布料生产一批某种款式的秋装，已知 2 m 布料可做衣身 3 个或衣袖 5 只，现计划用 132 m 这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应怎样分配布料才能使衣身和衣袖恰好配套？
　　解：设用 x m 布料做衣身，用 y m 布料做衣袖．
　　由题意，得方程组
　　答：用 60 m 布料做衣身，用 72 m 布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套．
　　解得
归纳
用二元一次方程组解决配套问题
　　生产中的配套问题有很多，例如，螺栓和螺母的配套，桌面与桌腿的配套，衣身与衣袖的配套等；各种配套都有一定的数量比例，在本例中，准确找出相等关系“衣身数量×2＝衣袖数量”是解题的关键．
　　例2　如图，10 块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块地砖的长和宽分别是多少？
　　解：设每块地砖的长为 x cm，宽为 y cm．
　　由题意，得方程组
　　答：每块地砖的长为 48 cm，宽为 12 cm．
　　解得
60 cm
归纳
　　列二元一次方程组解决有关图形的问题时，常借助数形结合思想，发现各种量之间的关系，找出相等关系，从而列方程组解决问题．
列二元一次方程组解决实际问题
配套问题
几何问题
实际问题与二元一次方程组（第3课时）
　　如图，丝路纺织厂与 A，B 两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从 A 地购进一批长绒棉运回工厂，每吨运费 29 元，再把制成的纺织面料从工厂运到 B 地销售，每吨的运费为 32 元，试求铁路、公路运价分别为多少元/(t·km)？
每吨每千米多少元
　　解：设铁路、公路运价分别为 x 元/(t·km)和 y 元/(t·km)．
每吨 120x 元
每吨 10y 元
每吨 20y 元
每吨 110x 元
从 A 地到工厂
从工厂到 B 地
　　由题意，得方程组
　　答：铁路、公路运价分别为 0.2 元/(t·km)和0.5 元/(t·km)．
　　解得
　　如图，丝路纺织厂与 A，B 两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从 A 地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往 B地．已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为 0.5 元/(t·km)，铁路运价为 0.2 元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费 5 200 元，铁路运费 16 640 元．那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？
丝路纺织厂
铁路 120 km
公路 10 km
公路 20 km
铁路 110 km
A
B
　　思考：要求“这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？
　　已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为 0.5元/(t·km)，铁路运价为 0.2 元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费 5 200 元，铁路运费 16 640 元．那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？
丝路纺织厂
铁路 120 km
公路 10 km
公路 20 km
铁路 110 km
A
B
销售额
原料费
运输费(公路和铁路)
原料数量
产品数量
原料数量
产品数量
　　分析：销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们设购买 x t 长绒棉，制成 y t 纺织面料．
　　思考：你能根据题中数量关系完成下表吗？
x t 长绒棉 y t 纺织面料 合计
公路运费/元
铁路运费/元
价值/元
x t 长绒棉 y t 纺织面料 合计
公路运费/元
铁路运费/元
价值/元
丝路纺织厂
铁路 120 km
公路 10 km
公路 20 km
铁路 110 km
A
B
总价＝单价×数量
单价：3.08元/t
单价：4.25元/t
长绒棉
纺织面料
3.08x
4.25y
x t 长绒棉 y t 纺织面料 合计
公路运费/元
铁路运费/元
价值/元 3.08x 4.25y
丝路纺织厂
铁路 120 km
公路 10 km
公路 20 km
铁路 110 km
A
B
长绒棉
纺织面料
铁路运价为 0.2 元/(t·km)
0.2×120x
0.2×110y
0.2(120x＋110y)
运输费＝数量×运价×距离
x t 长绒棉 y t 纺织面料 合计
公路运费/元
铁路运费/元 0.2×120x 0.2×110y 0.2(120x＋110y)
价值/元 3.08x 4.25y
丝路纺织厂
铁路 120 km
公路 10 km
公路 20 km
铁路 110 km
A
B
公路运价为 0.5 元/(t·km)
0.5×10x
0.5×20y
0.5(10x＋20y)
运输费＝数量×运价×距离
纺织面料
长绒棉
x t 长绒棉 y t 纺织面料 合计
公路运费/元 0.5×10x 0.5×20y 0.5(10x＋20y)
铁路运费/元 0.2×120x 0.2×110y 0.2(120x＋110y)
价值/元 3.08x 4.25y
　　思考：你发现相等关系了吗？如何列方程组并求解？
　　根据两次运输共支出公路运费 5 200 元，铁路运费 16 640 元，列方程组
　　解：设购买 x t 长绒棉，制成 y t 纺织面料．
　　所以丝路纺织厂从 A 地购买了 400 t 长绒棉，制成 320 t 纺织面料运往 B 地．
　　由题意，得方程组
　　化简，得
　　解得
　　
　　思考：这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多多少元？
　　销售额：4.25y＝4.25×320＝1 360（万元）；
　　原料费：3.08x＝3.08×400＝1 232（万元）；
　　运输费：5 200＋16 640＝21 840（元）；
　　13 600 000－(12 320 000＋21 840)＝1 258 160（元）．
　　这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多 1 258 160 元．
归纳
　　若在直接设要求的量为未知数不容易列方程（组）时，应设间接未知数，求得未知数的值后再计算要求的量．
　　从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具．用方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义．
问题
　　一个农机服务队有技术员工和辅助员工共 15 人，技术员工人数是辅助员工人数的 2 倍．服务队计划对员工发放奖金共计 20 000 元．按每名技术员工 A 元和每名辅助员工 B 元两种标准发放，其中 A，B 均不小于 800，且 A 不小于 B，并且 A，B 都是 100 的整数倍．（注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务．）
　　（1）求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数；
　　（2）求本次奖金发放的具体方案．
　　分析：（1）①由“服务队有技术员工和辅助员工共 15 人”得相等关系：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．由“技术员工人数是辅助员工人数的 2 倍”得相等关系：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　②设该农机服务队有技术员工 x 人，辅助员工 y 人，根据①中的两个相等关系可列方程组 解得 即该农机服务队有技术员工＿＿＿人，辅助员工＿＿＿人．
技术员工人数＋辅助员工人数＝15
技术员工人数＝辅助员工人数×2
x＋y＝15
x＝2y
10
5
10
5
　　分析：（2）①由“服务队计划对员工发放奖金共计 20 000 元”得相等关系：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
据此可列出关于 A，B 的二元一次方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　②因为 A≥B≥800，且 A，B 都是 100 的整数倍，
　　所以当 B＝800 时，A＝＿＿＿＿＿；
　　当 B＝900 时，A＝＿＿＿＿＿（ A 不是 100 的整数倍，舍去）；
　　当 B＝1 000 时，A＝＿＿＿＿＿；
　　当 B＝1 100 时，A＝＿＿＿＿（ A 不是 100 的整数倍，舍去）；
技术员工总奖金＋辅助员工总奖金＝20 000 元
10A＋5B＝20 000
1 600
1 550
1 500
1 450
　　当 B＝1 200 时，A＝＿＿＿＿＿；
　　当 B＝1 300 时，A＝＿＿＿＿（ A 不是 100 的整数倍，舍去）；
　　当 B＝1 400 时，A＝＿＿＿＿＿（ A＜B，舍去）；
　　由此再取下去都不符合题意．
　　所以本次奖金发放的具体方案有 3 种：
　　方案 1：技术员工每人＿＿＿＿＿元，辅助员工每人 800 元；
　　方案 2：技术员工每人＿＿＿＿＿元，辅助员工每人 1 000 元；
　　方案 3：技术员工每人＿＿＿＿＿元，辅助员工每人 1 200 元．
1 400
1 350
1 300
1 600
1 500
1 400
归纳
　　要求两个量，且已知两个相等关系，一般列二元一次方程组即可求解；若要求两个量，且只知一个相等关系，则一般列二元一次方程，然后根据问题的实际情况讨论得出符合题意的结果．
　　例　某工厂去年的总产值比总支出多 500 万元．由于今年总产值比去年增加 15％，总支出比去年节约 10％，因此，今年总产值比总支出多 950 万元．今年的总产值和总支出各是多少万元？
　　分析：解决此类问题要先明确几个基本关系：
　　（1）增长量＝原有量×增长率；
　　（2）原有量＝现有量－增长量；
　　（3）现有量＝原有量×(1＋增长率)．
　　再根据相等关系列方程组．
　　解：设去年总产值是 x 万元，总支出是 y 万元，列表如下：
　　由题意，得方程组
　　所以(1＋15%)x＝2 300，(1－10%)y＝1 350．
　　解得
总产值/万元 总支出/万元 差/万元
去年 x y 500
今年 (1＋15%)x (1－10%)y 950
　　答：今年的总产值是 2 300 万元，总支出是 1 350 万元．
归纳
画表格巧解增长率问题
　　在此类数量关系比较复杂的增长率题目中，仅靠想象寻找相等关系或列方程组，难免会出现顾此失彼的情况，如果能借助表格分析，将会更容易理清解题思路，从而列出方程组．
列二元一次方程组解决复杂的实际问题
方案设计类问题
设间接未知数解决问题