10.4 三元一次方程组的解法 课件（2课时）2025-2026学年数学人教版七年级下册

(共40张PPT)
10.4三元一次方程组的解法
三元一次方程组的解法
（第1课时）
　　1．代入法解二元一次方程组的一般步骤：
　　（1）变形：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来；
　　（2）代入：把变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
　　（3）求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
　　（4）回代：把求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值；
　　（5）写解：将两个未知数的值用“{”联立在一起，就得到方程组的解．
　　2．加减法解二元一次方程组的一般步骤：
　　（1）变形：使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数；
　　（2）加减：将两个二元一次方程用相加或相减的方式消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
　　（3）求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
　　（4）回代：把求得的未知数的值代入方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值；
　　（5）写解：将两个未知数的值用“{”联立在一起，就得到方程组的解．
思考
　　在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？
　　分析：这个问题中含有____个相等关系．
　　胜的场数＋平的场数＋负的场数＝22
　　胜场的得分＋平场的得分＋负场的得分＝47分
思考
　　分析：这个问题中含有____个相等关系．
　　胜的场数＝负的场数×4＋2
3
　　在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？
　　解：设这个球队胜、平、负的场数分别为x ，y ，z ，根据题意，可以得到下面三个方程：
　　x＋y＋z＝22，
　　3x＋y＝47，
　　x＝4z＋2．
　　这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
新知
　　这个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
思考
　　怎样解三元一次方程组 ？
　　提示：二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解．那么，能不能按照同样的思路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次方程组呢？
①
③
②
　
　　解这个二元一次方程组，可以求出 y 和 z，进而可以求出 x.
　　分析：要想解三元一次方程组
　　仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②并化简，得到两个只含 y，z 的方程y＋5z＝20 和 y＋12z＝41，它们组成方程组：
　　解这个二元一次方程组，可以求出 x 和 z，进而可以求出 y.
　　你还能用其他方法解这个三元一次方程组吗？
　　仿照前面学过的加减法，②－①先消去 y，再将得到的只含 x，z 的方程 2x－z＝25 与③联立：
　　分析：要想解三元一次方程组
三元一次方程组
　　解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
归纳
消元
消元
一元一次方程
二元一次方程组
　　A． B．
　
　　C． 　 D．
　　例1　下列方程组中，不是三元一次方程组的是（　　）．
B
　　例2　解三元一次方程组
①
③
②
变形
代入
消去 x
关于 y，z 的二元一次方程组
　　方程①中每个未知数的系数的绝对值都不是 1，将其变形，用代入法解比较繁琐
　　例2　解三元一次方程组
①
③
②
消去 y
关于 x，z 的二元一次方程组
④
只含 x，z
　　解：②×3＋③，得 11x＋10z＝35． ④
　　①与④组成方程组
　　解这个方程组，得
　　把 x＝5，z＝－2 代入②，得 2×5＋3y－2＝9，
　　所以 y＝ ．
　　因此，这个三元一次方程组的解为
　　当三元一次方程组中某个方程缺少一个未知数时，可由另两个方程消去与前述方程中所缺未知数相同的未知数，从而组成二元一次方程组求解．
归纳
　　例3　在等式 y＝ax2＋bx＋c 中，当 x＝－1 时，y＝0；当 x＝2 时，y＝3；当 x＝5 时，y＝60．求 a，b，c 的值．
　　分析：把 a，b，c 看作三个未知数，分别把已知的 x，y 值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．
　　解：根据题意，得三元一次方程组
①
③
②
　　②－①，得 a＋b＝1； ④
　　③－①，得 4a＋b＝10． ⑤
　　
　　解这个方程组，得
　　④与⑤组成二元一次方程组
　　即 a，b，c 的值分别为 3，－2，－5．
　　因此
　　把 代入①，得 c＝－5．
三元一次方程组
解法
概念
三元一次方程组的解法
（第2课时）
　　1．如果一个方程组含有_______未知数，且含有未知数的式子都是______，含有未知数的项的次数都是____，一共有_______方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
　　2．解三元一次方程组的基本思路是：通过“______”或“______”进行消元，把“_______”化为“_______”，使解三元一次方程组转化为解_________________ ，进而再转化为解一元一次方程．
三个
三个
1
三元
二元
代入
加减
二元一次方程组
整式
　　1．解三元一次方程组
①
③
②
类型一、一般型三元一次方程组的解法
　　解：由②，得 x＝y＋1． ④
　　把④代入①，得 2y＋z＝25． ⑤
　　把④代入③，得 y＋z＝16． ⑥
类型一、一般型三元一次方程组的解法
　　⑤与⑥组成方程组
　　解这个方程组，得
　　把 y＝9代入④，得 x＝10．
　　所以原方程组的解是
归纳
消元法解三元一次方程组的两点注意
　　（1）确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．
　　（2）消去的未知数一定是同一个未知数，否则就达不到消元的目的．
　　2．解三元一次方程组
①
③
②
类型一、一般型三元一次方程组的解法
　　解：由③，得 z＝4x－7． ④
　　把④代入①，得 17x－2y＝40． ⑤
　　把④代入②，得 7x＋2y＝8． ⑥
　　⑤与⑥组成方程组
　　解这个方程组，得
　　把 x＝2代入④，得 z＝1．
　　所以原方程组的解是
类型一、一般型三元一次方程组的解法
类型二、轮换型三元一次方程组的解法
　　3．解三元一次方程组
①
③
②
　　分析：先将①②③相加，并适当整理所得方程，再分别减去①②③，就可以得到原方程组的解．
类型二、轮换型三元一次方程组的解法
　　解：①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝12，即 x＋y＋z＝6． ④
　　④－①，得 z＝3；
　　④－②，得 x＝1；
　　④－③，得 y＝2．
　　所以原方程组的解是
归纳
　　解三元一次方程组时，应具体问题具体分析，找出其结构特点及系数之间的关系，灵活巧妙地消元．本例中，由于未知数的系数都相同，故采用了整体代入来消元的方法，简化了运算．
　　4．解三元一次方程组
①
③
②
类型二、轮换型三元一次方程组的解法
类型二、轮换型三元一次方程组的解法
　　解：①＋②＋③，得 x＋y＋z＝16． ④
　　④－①，得 z＝8；
　　④－②，得 x＝4.5；
　　④－③，得 y＝3.5．
　　所以原方程组的解是
类型三、连等型三元一次方程组的解法
　　5．解三元一次方程组
①
②
　　分析：像这种连等形式的方程，通常选择用同一字母参数来表示各个未知数，即参数法．通过参数法化多元为一元，简化解题过程．
类型三、连等型三元一次方程组的解法
　　解：设
（ k为常数，k≠0 ），
　　则 x＝3k，y＝4k，z＝5k．
　　将它们代入②中，得 3k－4k＋10k＝18，解得 k＝2．
　　所以 x＝6，y＝8，z＝10．
　　所以原方程组的解是
归纳
用参数法解连等形式的方程组
　　解连等形式的方程组时，通常采用参数法，先用同一个字母参数表示方程组中各个未知数，再根据题目所给的条件求出字母参数的值，最后求出各个未知数的值．此外，比例形式的方程也可运用参数法．通过参数法达到消元的目的，使运算更加简便，且不易出错．
类型三、连等型三元一次方程组的解法
　　6．解三元一次方程组
①
③
②
　　解：由①②，得 x∶y∶z＝3∶4∶5．
　　设 x＝3k，y＝4k，z＝5k（k为常数，k≠0），
类型三、连等型三元一次方程组的解法
　　将它们代入③，得 3k＋4k＋5k＝36，解得 k＝3．
　　所以 x＝9，y＝12，z＝15．
　　所以原方程组的解是
三元一次方程组的解法
一般型三元一次方程组的解法
轮换型三元一次方程组的解法
连等型三元一次方程组的解法