11.1 不等式 课件（3课时）2025-2026学年数学人教版七年级下册

(共71张PPT)
11.1 不等式
不等式（第1课时）
　　观察下图，圆和三角形的数量之间存在着怎样的关系？
　　圆的数量________三角形的数量，即 9______7．
大于
＞
　　圆有 9 个，三角形有 7 个．
　　数量有大小之分，它们之间有相等关系，也有不等关系．现实世界和日常生活中存在大量涉及不等关系的问题．我们常常用等式（包括方程）研究相等关系，那么研究不等关系需要用什么？
　　一辆汽车在高速公路上匀速行驶， 6:00 时汽车距前方的A 地 210 km，汽车要在 8:00 之前驶过 A 地，车速应满足什么条件？
问题
　　思考：汽车在 8:00 之前驶过 A 地的意思是什么？
　　从时间上看，汽车行驶 210 km（驶过 A 地）所用时间，必须在 6:00～8:00 这 120 min 之内，即所用的时间不到 2 h．
　　从路程上看，汽车在 6:00～8:00 这 2 h 之内行驶的路程必须超过 210 km．
　　设车速是 x km/h，如何用式子表示上面的两个不等关系？
思考
　　从时间上看，汽车要在 8:00 之前驶过 A 地，就是以 x km/h 的速度行驶 210 km 的时间小于2 h，
即　　　．
路程
速度
　　设车速是 x km/h，如何用式子表示上面的两个不等关系？
思考
　　从路程上看，汽车要在 8:00 之前驶过 A 地，就是以 x km/h 的速度行驶2 h 的路程要大于 210 km，
即 2x＞210．
　　路程＝时间×速度＝2x
＞210
　　式子 和 2x＞210从不同角度表示了车速应满足的条件．
新知
　　观察下列式子：
9＞7，　　　，2x＞210．
　　它们有什么共同特点？
　　用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式．
新知
　　像 a＋2≠a－2 这样的式子是不等式吗？
　　用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
　　注意：（1）“＜”是小于号，读作“小于”；“＞”是大于号，读作“大于”； “≠”是不等于号，读作“不等于”，表示“大于或小于”．这 3 个符号统称不等号．
　　（2）不等式中可以不含未知数，如“5＞3”．
　　有下列式子：
　　①－1＞－2；②3x＜－1；③x－3；④s＝vt；⑤3x－4＜2y；
⑥a2＋2＞0；⑦a2＋b2≠c．
　　其中是不等式的有____________．（只填序号）
　　解析： ③不是等式，也不是不等式；④用等号连接，是等式，不是不等式；①②⑤⑥⑦都是用不等号表示不等关系的式子，都是不等式．
①②⑤⑥⑦
练习
判断一个式子是不是不等式，要把握两点：（1）是否含有不等号；（2）是否表示不等关系．注意，一个式子是不是不等式与不等式是否成立无关．
归纳
　　对于不等式 2x＞210 而言， x 可以取 90 吗？110 呢？
思考
　　解：当 x＝90 时， 2x＝180 ，不等式 2x＞210 不成立 ；
　　当 x＝110 时，2x＝220，不等式 2x＞210 成立 ．
新知
　　类比方程的解，你能说出什么叫作不等式的解吗？
　　使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．
　　与方程的解类似，使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解．
　　例如 110 是不等式 2x＞210 的解，而 90不是不等式 2x＞210的解．
思考
　　再取 x 的一些值试一试，看一看哪些是不等式 2x＞210 的解．
x … 90 95 100 105 110 …
2x … 180 190 200 210 220 …
　　可以发现，当 x＞105 时，不等式 2x＞210 总成立；而当 x＜105 或 x＝105 时，不等式 2x＞210 不成立．
　　观察不等式 2x＞210 的解，它们都满足什么条件？
　　这就是说，任何一个大于 105 的数都是不等式 2x＞210 的解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于105 的数都不是不等式 2x＞210 的解．
　　因此，x＞105 表示了能使不等式 2x＞210 成立的 x 的取值范围．
　　我们称 x＞105 是不等式 2x＞210 的解集．
　　由上可知，在前面的问题中，汽车要在 8:00 之前驶过 A 地，车速应大于 105 km/h．
新知
　　一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫作解不等式．
　　注意：（1）当不等式的解集只有一个解时，不等式的解集就是它的解．
　　（2）一个不等式一般有无数个解，但这并不意味着任何一个实数都是它的解．
　　除了用不等式 x＞105 表示不等式 2x＞210 的解集，还有其他表示方法吗？
思考
用数轴表示．
　　回顾数轴的相关知识，并思考：如何在数轴上表示 x＞105 ？
　　除了用不等式 x＞105 表示不等式 2x＞210 的解集，还有其他表示方法吗？
思考
　　用数轴表示：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以在数轴上表示不等式的解集时应牢记“大于向右画，小于向左画”．
注意：在表示 105 的点上画空心圆圈，表示解集不包含这个点所对应的数．
0
105
　　分析：这是一道用不等式表示数量关系的题目，关键是抓住表示不等关系的词语．
　　例1　用不等式表示下列不等关系：
　　（1）a 的一半与 3 的和大于 5； （2）x 的 3 倍与 1 的差小于 2；
　　（3）a 的一半与 1 的差是正数；（4）m 与 2 的差是负数．
找不等关系
用不等号表示
　　例1　用不等式表示下列不等关系：
　　（1）a 的一半与 3 的和大于 5； （2）x 的 3 倍与 1 的差小于 2；
　　（3）a 的一半与 1 的差是正数；（4）m 与 2 的差是负数．
　　（2）3x－1＜2．
　　（4）m－2＜0．
　　解：（1） ＋3＞5．
　　（3） －1＞0．
　　解决此类问题要把握两点：一是要用式子表示其中的相关量，二是要把其中表示不等关系的关键词找出来，并用不等号表示出不等关系．
归纳
　　例2　在 3，0，2，π，－2 中，是不等式 3x－1＞2 的解的有________个．
　　解析：把 x＝3 代入不等式 3x－1＞2 的左边，得 3x－1＝8＞2，所以不等式成立，故 x＝3 是不等式 3x－1＞2 的解．同理可知，x＝2， x＝π 也是不等式 3x－1＞2 的解．
　　把 x＝0 代入不等式 3x－1＞2 的左边，得 3x－1＝－1＜2 ，所以不等式不成立，故 x＝0 不是不等式 3x－1＞2 的解．同理可知，x＝－2 也不是不等式 3x－1＞2 的解．
3
判断一个数是不是不等式的解的基本方法
　　判断一个数是不是不等式的解，只需用这个数代替不等式中的未知数，看能否使不等式成立，若不等式成立，则该数是不等式的解；若不等式不成立，则该数不是不等式的解．
归纳
　　例3　直接写出不等式 2x＜6 的解集，并在数轴上表示出来．
　　解：不等式 2x＜6 的解集为 x＜3，原不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
－1
0
1
2
3
4
5
6
7
不等式的解集
不等式的概念
不等式的解
用不等式表示
用数轴表示
不等式及其解集
不等式（第2课时）
不等式
不等式的解
方程的解
等式（方程）
等式的性质
不等式的性质
（不等式的解集）
类比
　　对于某些简单的不等式，可以直接得出它们的解集，例如不等式 x＋4＞10 的解集是 x＞6，不等式 2x＜6 的解集是 x＜3．但是对于比较复杂的不等式，例如 ，直接得出它的解集就比较困难．因此，还要讨论怎样解不等式．
　　等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？
项目 文字语言 符号语言
性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果a＝b，那么a±c＝b±c
性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等 如果a＝b，那么ac＝bc．
如果a＝b，c≠0，那么 ＝
　　（1）5＞3，
　　 5＋2_____3＋2，5＋0_____3＋0，5＋（－2）_____3＋（－2）；
　　（2）－1＜3，
　　－1＋4_____3＋4，－1＋0_____3＋0，－1＋（－7）_____3＋（－7）．
　　类比等式的性质 1，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），大小关系会发生变化吗？
问题
　　用“＞”或“＜”填空，并观察不等号的方向是否改变，你能发现其中的规律吗？
＞
＞
＞
＜
＜
＜
　　（1）5＞3，5＋2＞3＋2，5＋0＞3＋0，5＋（－2）＞3＋0；
　　（2）－1＜3，－1＋4＜3＋4，－1＋0＜3＋0，－1＋（－7）＜3＋（－7）．
　　猜想 1：当不等式两边加（或减）同一个数（或式子）时，不等号的方向不变．
　　你能换一些其他的数，验证你的猜想吗？
　　－4＞－6，
　　－4＋3＞－6＋3，－4－4＞－6－4，－4＋(4＋1)＞－6＋(4＋1)．
不等式的性质 1
　　不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
　　符号语言：
　　如果 a＞b，那么 a±c＞b±c；
　　如果 a＜b，那么 a±c＜b±c．
　　结合动图，巩固不等式的性质 1．
　　结合动图，巩固不等式的性质 1．
　　类比等式的性质 2，不等式两边乘（或除以）同一个不为 0 的数，大小关系会发生变化吗？
问题
　　用“＞”或“＜” 填空，并观察不等号的方向是否改变，你能发现其中的规律吗？
　　（1）6＞2，
　　6×5____2×5，6×(－5)____2×(－5)；
　　（2）－2＜3，
　　－2×4____3×4，－2×(－0.5)____3×(－ 0.5)；
＞
＜
＜
＞
问题
　　用“＞”或“＜” 填空，并观察不等号的方向是否改变，你能发现其中的规律吗？
　　（3）12＞8，
　　12÷2____8÷2，12÷(－4)____8÷(－4)；
　　（4）－6＜－4，
　　－6÷2____－4÷2，－6÷(－2)____－4÷(－2)．
＞
＜
＜
＞
　　类比等式的性质 2，不等式两边乘（或除以）同一个不为 0 的数，大小关系会发生变化吗？
　　（1）6＞2，6×5＞2×5，6×(－5)＜2×(－5)；
　　（2）－2＜3，－2×4＜3×4，－2×(－0.5)＞3×(－ 0.5)；
　　（3）12＞8，12÷2＞8÷2，12÷(－4)＜8÷(－4)；
　　（4）－6＜－4，－6÷2＜－4÷2，－6÷(－2)＞－4÷(－2)．
　　猜想 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
　　你能换一些其他的数，验证你的猜想吗？
　　3＞－9，3×3＞－9×3，3÷3＞－9÷3．
　　（1）6＞2，6×5＞2×5，6×(－5)＜2×(－5)；
　　（2）－2＜3，－2×4＜3×4，－2×(－0.5)＞3×(－ 0.5) ；
　　（3）12＞8，12÷2＞8÷2，12÷(－4)＜8÷(－4)；
　　（4）－6＜－4，－6÷2＜－4÷2，－6÷(－2)＞－4÷(－2)．
　　猜想 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
　　你能换一些其他的数，验证你的猜想吗？
　　3＞－9，3×(－3)＜－9×(－3)，3÷(－3)＜－9÷(－3)．
不等式的性质 2
　　不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
　　符号语言：
　　如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc ；
　　如果 a＜b，c＞0，那么 ac＜bc ．
　　结合动图，巩固不等式的性质 2．
　　结合动图，巩固不等式的性质 2．
　　不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
不等式的性质 3
　　符号语言：
　　如果 a＜b，c＜0，那么ac＞bc ．
　　如果 a＞b，c＜0，那么ac＜bc ．
　　等式的性质与不等式的性质的主要区别是什么？
思考
项目 等式的性质 不等式的性质
两边加（或减）同一个数（或式子）
两边乘（或除以）同一个正数
两边乘（或除以）同一个负数
相等关系不变
不等关系不变
相等关系不变
不等关系不变
相等关系不变
不等关系改变
　　例1　填空：
　　（1）已知 a＜b，则 a－3_____b－3，根据：_______________；
　　（2）已知 a＞b，则 2a_____a＋b，根据：_______________．
　　解析：（1）已知 a＜b，根据不等式的性质 1，不等式两边减 3，不等号的方向不变，得到 a－3＜b－3；
　　（2）已知 a＞b，根据不等式的性质 1，不等式两边加 a，不等号的方向不变，得到 2a＞a＋b．
＜
不等式的性质 1
＞
不等式的性质 1
　　例2　用“＞”或“＜”填空：
　　（1）若 x＞y，则 2x_____2y；
　　（2）若 －2a＞4，则 a_____－2．
　　解析：（1）将不等式 x＞y 的两边乘 2，根据不等式的性质 2 可知，不等号的方向不变；
　　（2）将不等式 －2a＞4 的两边除以 －2，根据不等式的性质 3 可知，不等号的方向改变．
＞
＜
　　不等式的两边乘（或除以）同一个不为 0 的数（或式子）时，先对这个数（或式子）的性质（正负性）进行判断，再运用不等式的性质 2 或性质 3 判断是否需要改变不等号的方向．
　　例3　若 x＞y，则下列式子错误的是（　　）．
　　A．3－y＞3－x B．x－3＞y－3
　　C．(c－1)2x＞(c－1)2y D．－ ＜－
C
　　解析：A．不等式 x＞y 的两边都乘－1，再都加 3，不等号方向改变，A 正确；
　　B．不等式 x＞y 的两边都减 3，不等号方向不改变，B 正确；
　　C．当c－1＝0，即c＝1时，该不等式不成立，C 错误；
　　D．不等式 x＞y 的两边都除以 －3，不等号方向改变，D 正确．
不等式性质中的陷阱
　　解答与不等式有关的问题时，应密切关注“0”是否存在，以防掉进“0”的陷阱．如本例 C 选项，不等式
x＞y 两边同乘的(c－1)2 可能是 0，若两边同乘 0，则不等式变为等式 0＝0．
不等式的性质 3
不等式的性质 1
不等式的性质 2
不等式的性质
不等式（第3课时）
　　不等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？
　　不等式的性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
　　符号语言：如果 a＞b，那么 a±c＞b±c．
　　
　　符号语言：如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc ；
　　不等式的性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
　　符号语言：如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc ．
　　不等式的性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
　　利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
　　（1）x－7＞26； （2）3x＜2x＋1；
　　（3） x＞50； （4）－4x＞3．
问题
　　分析：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为 x＞m或 x＜ m （ m 为常数）的形式．
　　解：（1）根据不等式的性质 1，不等式两边加 7，不等号的方向不变，所以
　　（1）x－7＞26；
x－7＋7＞26＋7，
x＞33．
0
33
　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
　　解：（2）根据不等式的性质 1，不等式两边减 2x，不等号的方向不变，所以
　　（2）3x＜2x＋1；
3x－2x＜2x＋1－2x，
x＜1．
0
1
　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
　　（3） x＞50；
x＞75．
　　解：（3）根据不等式的性质 2，不等式两边乘 ，不等号的方向不变，所以
× x＞ ×50，
0
75
　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
， 　
　　解：（4）根据不等式的性质 3，不等式两边除以－4，不等号的方向改变，所以
　　（4）－4x＞3．
　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
0
． 　
　　利用不等式的性质 1 可简化为“移项”；利用不等式的性质 2 或性质 3 就是把未知数的系数化为 1，要注意不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向，常数项的符号也要改变．
总结
问题
　　一辆轿车在一条规定车速不低于 60 km/h，且不高于 100 km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶的路程 s（单位：km）与行驶时间 x（单位：h）之间的关系呢？
　　根据路程与速度、时间之间的关系可得：s≥60x，且 s≤100x．
问题
　　铁路部门对随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过 160 cm．设行李的长、宽、高分别为 a cm，b cm，c cm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式．
　　根据题意可得：a＋b＋c≤160，且 a＋b＋c＞0．
新知
　　观察式子：s≥60x，s≤100x，a＋b＋c≤160．它们有什么共同特点？
　　像 a≥b 或 a≤b 这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式．
　　符号“≥”读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”；符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”．
思考
　　符号“≥”与“＞”的含义有什么区别？“≤”与“＜”呢？
　　x≥a 表示 x＞a 或者 x＝a；x≤a 表示 x＜a 或者 x＝a．“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层含义．
　　a≥b 或 a≤b 形式的不等式，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质．
　　如果 a≥b，那么
　　（2）ac≥bc（c＞0）；
　　（3）ac≤bc（c＜0）．
　　（1）a＋c≥b＋c，a－c≥b－c；
总结
思考
　　如何在数轴上表示 x＜－1与 x≥3？
－2
－1
0
1
2
3
4
5
6
　　在数轴上表示不等式的解集时，无等号的画空心圆圈，有等号的画实心圆点．
　　在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定“方向”．
　　（1）确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点；若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈．
　　（2）确定“方向”：对边界点 m 而言，x＞m 或 x≥m 向右画，
x＜m 或 x≤m 向左画．
总结
问题
　　如图，一个长方体形状的鱼缸长 10 dm，宽 3.5 dm，高 7 dm．若鱼缸内已有水的高度为 1 dm，现准备向鱼缸内继续注水．用 V（单位：dm3）表示新注入水的体积，写出 V 的取值范围并在数轴上表示．
　　解：因为“已有水的体积＋新注入水的体积V≤鱼缸的容积”，所以
10×3.5×1＋V≤10×3.5×7，
解得 V≤210．
　　又由于新注入水的体积V 不能是负数，所以V 的取值范围是
0 ≤V≤210．
　　在数轴上表示 V 的取值范围如图所示．
　　在表示 0 和 210的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个点所对应的数．
0
210
　　例1　用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
　　（1）x＋5≥12； （2）－3x≤1－4x．
　　解：（1）根据不等式的性质 1，不等式两边减 5，不等号的方向不变，所以
x＋5－5≥12－5，
x≥7．
0
7
　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
　　例1　用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
　　（1）x＋5≥12； （2）－3x≤1－4x．
　　解：（2）根据不等式的性质 1，不等式两边加 4x，不等号的方向不变，所以
－3x＋4x≤1－4x＋4x ，
x≤1．
0
1
　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
　　（1）在运用不等式的性质将不等式变形时，首先要注意每一步变形的依据，然后由不等式的性质判断不等号的方向是否改变．
　　（2）在数轴上表示不等式的解集，定边界点时，要注意是实心圆点还是空心圆圈．
总结
　　例2　某品牌服装 2022 年 1 月份的售价是每件 a 元，3 月份的售价上涨 10％，6 月份又比 3 月份下降 10％．
　　（1）用含有 a 的式子分别表示该品牌服装 3 月份和 6 月份的售价；
　　（2）几月份去购买该品牌服装最便宜？为什么？
　　解：（1）该品牌服装 3 月份的售价为每件(1＋10％)a＝1.1a(元)，
　　6 月份的售价为每件(1－10％)×1.1a＝0.99a(元)；
　　（2）6 月份去购买该品牌服装最便宜．
　　因为 0.99＜1＜1.1，且 a＞0，所以 0.99a＜a＜1.1a．
　　所以 6 月份去购买该品牌服装最便宜．
不等式在实际问题中的简单应用
利用不等式的性质解不等式
含“≤”“≥”的不等式
不等式的性质的应用