第1讲 实数
考纲要求
命题趋势
1．理解有理数、无理数和实数的概念，会用数轴上的点表示有理数．
2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．
3．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会求一个数的算术平方根、平方根、立方根．
4．理解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数，会用科学记数法表示一个数．
5．熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小.
实数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的解答题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．另外，命题者也会利用分析归纳、总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力.
一、实数的分类
1、按实数的定义分类：
实数
有限小数或无限循环数
2、按实数的正负分类：
二、实数的有关概念及性质
1．数轴
(1)规定了原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴；
(2)实数与数轴上的点是一一对应的．
2．相反数
(1)实数a的相反数是 -a，零的相反数是零；
(2)a与b互为相反数?a＋b＝0.
3．倒数
(1)实数a(a≠0)的倒数是1/a；
(2)a与b互为倒数?ab=1.
4．绝对值
(1)数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|.
(2)|a|＝
5．平方根、算术平方根、立方根
(1)平方根
①定义：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根(也叫二次方根)，数a的平方根记作±．21世纪教育网版权所有
②一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
(2)算术平方根
①如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作．零的算术平方根是零，即＝0.21cnjy.com
②算术平方根都是非负数，即≥0(a≥0)．
③()2＝a(a≥0)，＝|a|＝
(3)立方根
①定义：如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的立方根(也叫三次方根)，数a的立方根记作．21·cn·jy·com
②任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同．
6．科学记数法、近似数、有效数字
(1)科学记数法
把一个数N表示成a与10的幂相乘(1≤a＜10，n是整数)的形式叫做科学记数法．当N≥1时，n等于原数N的整数位数减1；当N＜1时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．www.21-cn-jy.com
(2)近似数与有效数字
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．
三、非负数的性质
1．常见的三种非负数
|a|≥0，a2≥0，≥0(a≥0)．
2．非负数的性质
(1)非负数的最小值是零；
(2)任意几个非负数的和仍为非负数；
(3)几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0.
四、实数的运算
1．运算律
(1)加法交换律：a＋b＝b＋a.
(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
(3)乘法交换律：ab＝ba.
(4)乘法结合律：(ab)c＝a(bc).
(5)乘法分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.
2．运算顺序
(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从左至右的顺序进行；(3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．
3．零指数幂和负整数指数幂
(1)零指数幂的意义为：a0＝1(a≠0)；
(2)负整数指数幂的意义为：＝(a≠0，p为正整数)．
五、实数的大小比较
1．实数的大小关系
在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．
2．作差比较法
(1)a－b＞0?a＞b；(2)a－b＝0?a＝b；(3)a－b＜0?a＜b.
3．倒数比较法
若＞，a＞0，b＞0，则a＜b.
4．平方法
因为由a＞b＞0，可得＞，所以我们可以把与的大小问题转化成比较a和b的大小问题．
实数π，，0，-1中，无理数是（ ）
A．π B． C．0 D．-1
2．-的绝对值是（ ）
A． B．- C． D．-
3．计算× +的结果为（ ）
A．-1 B．1 C．4-3 D．7
4．花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，已知1克=1000毫克，那么0.000037毫克可用科学记数法表示为（ ）21教育网
A．3.7×10-5克 B．3.7×10-6克 C．37×10-7克 D．3.7×10-8克
5．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a-2.5|=（ ）
A．a-2.5 B．2.5-a C．a+2.5 D．-a-2.5
6．计算：20130+()-1-2sin60°-|-2|= ．
答案
1． A
2． A
3． B
4． D
5． B
6． 1
第1讲 实数
考点一、实数的分类
【例1】四个数下列各数中，3.14159，，0.131131113…，-π，，，无理数的个数有（ ）21教育网
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
方法总结 一个数是不是无理数，应先计算或者化简再判断．有理数都可以化成分数的形式．常见的无理数有四种形式：(1)含有π的式子；(2)根号内含开方开不尽的式子；(3)无限且不循环的小数；(4)某些三角函数式．21·cn·jy·com
举一反三 在下列实数中，无理数是（ ）
A．0 B． C． D．6
考点二、相反数、倒数、绝对值与数轴
【例2】 1．－5的绝对值是
2．-6的倒数是（ B ）
A． B．- C．6 D．-6
3．如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．-a＜b D．a+b＜0
方法总结 1．求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需要化简得出．
2．解有关绝对值和数轴的问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想．
3．相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是0和正数(即非负数)；倒数是它本身的数是±1.
举一反三 1．-3的相反数是 ；-3的倒数是
2．-2013的绝对值是（ ）
A．-2013 B．2013 C． D．-
3．如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，其中AB=BC，如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O的位置应该在（ ）www.21-cn-jy.com
A．点A的左边 B．点A与点B之间
C．点B与点C之间 D．点B与点C之间或点C的右边
考点三、平方根、算术平方根与立方根
【例3】 1．实数0.5的算术平方根等于（ ）
A．2 B． C． D．
2．实数-8的立方根是 ．
方法总结 1．对于算术平方根，要注意：(1)一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0；②算术平方根本身是非负数，即≥0.
2．()3＝a，＝a.
举一反三 1．的平方根是 ．
2．若a是（﹣3）2的平方根，则等于（ ）
A．﹣3 B． C． 或﹣ D．3或﹣3
考点四、科学记数法、近似数、有效数字
【例4】2016年，我国财政性教育经费支出实现了占国内生产总值比例达4%的目标，其中在促进义务教育均衡方面，安排农村义务教育经费保障机制改革资金达865.4亿元，数据“865.4亿元”用科学记数法可表示为（ ）元．2·1·c·n·j·y
A．865×108 B．8.65×109 C．8.65×1010 D．0.865×1011
方法总结 1．用科学记数法表示数，当原数的绝对值大于或等于1时，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数．【来源：21·世纪·教育·网】
2．取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑．
3．用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数(即a)的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上．21·世纪*教育网
举一反三 2016年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．1.2×10-9米 B．1.2×10-8米 C．12×10-8米 D．1.2×10-7米
考点五、非负数性质的应用
【例5】若a，b为实数，且|a+1|+=0，则（ab）2013的值是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
方法总结 常见的非负数的形式有三种：|a|，(a≥0)，a2，若它们的和为零，则每一个式子都为0.2-1-c-n-j-y
举一反三 设a、b、c都是实数，且满足（2﹣a）2++|c+8|=0，ax2+bx+c=0，求代数式x2+x+1的值．【来源：21cnj*y.co*m】
考点六、实数的运算
【例6】计算：sin45°+(-)0= ．
点拨：(1)根据负整数指数幂的意义可把负整数指数幂转化为正整数指数幂运算，即a－p＝(a≠0)．(2)a0＝1(a≠0)．21cnjy.com
方法总结 提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义、特殊角的三角函数、绝对值、相反数、倒数等相关知识及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好符号关．
举一反三
考点七、实数的大小比较
【例7】估计的值在（ ）之间．
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
方法总结 实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围．如：“差值比较法”用于比较任意两数的大小，而“商值比较法”一般适用于比较符号相同的两个数的大小，还有“平方法”、“倒数法”等．要依据数值特点确定合适的方法．【出处：21教育名师】
举一反三 已知，，，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
一、选择题
统计显示，2013年底杭州市各类高中在校学生人数约是11.4万人，将11.4万用科学记数法表示应为( )
A. 11.4×104 B. 1.14×104 C. 1.14×105 D. 0.114×106
2．下列各数中，倒数为– 2的数是（ ）
A. 2 B. – 2 C. D.
3．下列各式中，错误的是（ ）
A. B. C. D.
4．比较三个数的大小，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5．的相反数是（ ）
A． B．3 C． D．
6．的值等于（ ）
A． 4 B． C．2 D．
7．PM2.5是指大气中直径小于或等于毫米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. 把用小数形式表示正确的是（ ）
A．0.000025 B. 0.00025 C. 0.0025 D.0.02521*cnjy*com
8．的平方根（ ）
A．4 B. 2 C． D.
9．表示（ ）
A. B. C. D.
10．下列实数中,是无理数的是( )
A． B. C. D.
11．下列实数中是无理数的是（ ）
A．tan30° B． C． D．
12．下列式子中正确的是（ ）
A．（﹣3）3=﹣9 B．=﹣4 C．﹣|﹣5|=5 D．（）﹣3=8
13．G20峰会将于2016年9约4日﹣5日在杭州举行，在“百度”搜索引擎中输入“G20峰会”，能搜索到与之相关的结果约为1680000个，将1680000用科学记数法表示为（ ）
A．1.68×104 B．1.68×106 C．1.68×107 D．0.168×107
二、填空题
1．据统计，杭州市注册志愿者人数已达109万人，将109万人用科学记数法表示应为 ．
2．若a2﹣3a=4，则6a﹣2a2+8= ．
3．2012年末统计，杭州市常住人口是880.2万人，用科学技术法表示为 ．
4． ．
5．计算 ．
三、解答题
1．一个数的算术平方根为2M﹣6，平方根为±（M﹣2），求这个数．
2．计算6÷（﹣），方方同学的计算过程如下，原式=6+6=﹣12+18=6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
3．（1）计算：3﹣[6﹣（2﹣3）2]
（2）因式分解：4m2﹣16n2．
1．下列各数中，最小的数是( )
A．0 B．1 C．－1 D．－
2．的算术平方根是（ ）
A．2 B．±2 C． D．±
3．已知一个数的两个平方根分别是a+3与2a﹣15，这个数的值为（ ）
A．4 B．±7 C．﹣7 D．49
4．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的平方根．其中正确的有（ ）【版权所有：21教育】
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2?i=（﹣1）?i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n?i=（i4）n?i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（ ）21教育名师原创作品
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
6．若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 ．
7．若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是 ．
8．阅读下列材料：设=0.333…①，则10x=3.333…②，则由②﹣①得：9x=3，即．所以=0.333…=．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数．= ，= ．
9.规定：logab（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之间的一种运算．
现有如下的运算法则：lognan=n．logNM=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）．
例如：log223=3，log25=，则log1001000= ．
10. 若实数x、y满足等式：x+y=xy，则称这两个数为一对“和谐数”．请写出一对这样的“和谐数” ． 21*cnjy*com
11. 已知|a﹣b+1|与是互为相反数，求（a﹣b）2008的值．
12.已知a、b分别是6﹣的整数部分和小数部分．
（1）分别写出a、b的值；
（2）求3a﹣b2的值．
13.阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．21世纪教育网版权所有
例如计算：（5+i）×（3﹣4i）=19﹣17i．
（1）填空：i3= ，i4= ．
（2）计算：（3+i）2；
（3）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式．
答案
【例1】 B
举一反三 C
【例2】 1． 5
2． B
3． C
举一反三 1． 3 ；
2． B
3． D
【例3】 1． C
2． -2
举一反三 1．±3
2． C
【例4】 C
举一反三 D
【例5】 C
举一反三
解：∵（2﹣a）2≥0，≥0，|c+8|≥0
而（2﹣a）2+
∴
解这个方程组得
∴2x2+4x﹣8=0
x2+2x﹣4=0
∴x=﹣1±
x+1=±
∴x2+x+1=（x+1）2﹣x=（±）2﹣（﹣1±）=6±．
【例6】 2
举一反三 +1
【例7】 C
举一反三 B
解：∵a﹣b=﹣1﹣（2﹣）
=﹣（1+）
≈2.449﹣2.414＞0，
∴a＞b；
∵a﹣c=﹣1﹣（﹣2）=+1﹣≈2.414﹣2.449＜0，
∴a＜c；
于是b＜a＜c，
故选B．
一、选择题
1． C
2． D
3． D
4． D
5． B
6． A
7． C
8． D
9． B
10． D
11． A
12． C
13． B
二、填空题
1． 1.09×106
2． 0
3．
4． 1
5．-3
三、解答题
1．解：①2M﹣6=M﹣2，
解得M=4，
2M﹣6=8﹣6=2；
22=4；
②2M﹣6=﹣（M﹣2）
解得M=，
2M﹣6=﹣6=﹣（不合题意舍去）．
故这个数是4．
2．解：方方的计算过程不正确，
正确的计算过程是：
原式=6÷（﹣+）
=6÷（﹣）
=6×（﹣6）
=﹣36．
3．解：（1）3﹣[6﹣（2﹣3）2]=3﹣（6﹣1）=﹣2；
（2）4m2﹣16n2=（2m﹣4n）（2m+4n）=4（m﹣2n）（m+2n）．
1． D
2． C
3． D
4． B
5． D
6． 2
7． 7
8．解：设=x=0.777…①，
则10x=7.777…②
则由②﹣①得：9x=7，即x=；
根据已知条件=0.333…=．
可以得到=1+=1+=．
故答案为：；．
9.
10. 2和2
11. 解：∵|a﹣b+1|与是互为相反数，
∴|a﹣b+1|+=0，
∵两个非负数的和为0，
∴必须都为0，
即，
①﹣②得：﹣3b=3，
b=﹣1，
代入①得：a+1+1=0，
a=﹣2，
∴（a﹣b）2008=（﹣2+1）2008=1．
12.解：（1）∵2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∴3＜6﹣＜4，
∴a=3，b=6﹣﹣3=3﹣；
（2）3a﹣b2=3×3﹣（3﹣）2=9﹣9+6﹣5=6﹣5．
13.解：（1）﹣i，1；
（2）（3+i）2，
=9+6i+i2，
=8+6i；
（3），
=，
=，
=．
