第3讲 分式
考纲要求
命题趋势
1．能确定分式有意义、无意义和分式的值为零时的条件．
2．能熟练应用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
3．能熟练进行分式的四则运算及其混合运算，并会解决与之相关的化简、求值问题.
命题反映在分式中主要涉及分式的概念、性质、运算法则及其应用，题型表现为填空题、选择题、化简求值题等形式.
一、分式
1．分式的概念
形如(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
2．与分式有关的“三个条件”
(1)分式无意义的条件是B＝0；
(2)分式有意义的条件是B≠0；
(3)分式值为零的条件是A＝0且B≠0.
二、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个相同的整式，分式的值不变．用式子表示是：
＝，＝(其中M是不等于0的整式)．
三、分式的约分与通分
1．约分
根据分式的基本性质将分子、分母中的相同的整式约去，叫做分式的约分．
2．通分
根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为分母相同的分式，这种变形叫分式的通分．
四、分式的运算
1．观察下列方程：
（1）；（2）；（3）；（4）
其中是关于x的分式方程的有（ ）
A．（1） B．（2） C．（2）（3） D．（2）（4）
2．如果m为整数，那么使分式的值为整数的m的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变
4．关于x的分式方程﹣=0无解，则m= ．
5．先化简再求值：，其中．
6．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．21世纪教育网版权所有
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？21教育网
答案：
C
2． C
3． B
4．0或﹣4 ．
5．解：原式=×
=×
=a﹣2，
当a=2+时，原式=2+﹣2=．
6．解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，依题意有
+30=，
解得x=40，
经检验，x=40是原方程组的解，且符合题意，
1.5x=60．
答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件；
（2）=160，
160﹣30=130（元），
130×60%×60+160×60%×（40÷2）﹣160×[1﹣（1+60%）×0.5]×（40÷2）
=4680+1920﹣640
=5960（元）
答：售完这批T恤衫商店共获利5960元．
第3讲 分式
考点一、分式有意义、无意义、值为零的条件
【例1】使代数式有意义的x的取值范围是 ．
方法总结 分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．21教育网
举一反三 要使分式有意义，则x的取值范围为 ．
考点二、分式的基本性质
【例2】若分式的x和y均扩大为原来各自的10倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．缩小到原分式值的
C．缩小到原分式值的 D．缩小到原分式值的
方法总结 运用分式的基本性质解题必须理解和掌握分式的基本性质：＝，＝(其中m≠0)和分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变．www.21-cn-jy.com
举一反三 已知﹣=3，则分式的值为 ．
考点三、分式的约分与通分
【例3】设=2，则=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
方法总结 1．分式约分的步骤：(1)找出分式的分子与分母的公因式，当分子、分母是多项式时，要先把分式的分子与分母分解因式；(2)约去分子与分母的公因式．
2．通分的关键是确定最简公分母．
求最简公分母的方法是：(1)将各个分母分解因式；(2)找各分母系数的最小公倍数；(3)找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足(2)(3)的因式之积即为各分式的最简公分母．2·1·c·n·j·y
举一反三 先化简，再求值：（+2﹣x）÷，其中x满足x2﹣4x+3=0．
考点四、分式的运算
【例4】计算：．
方法总结 在分式运算的过程中，要注意对分式的分子、分母进行因式分解，然后简化运算，再运用四则运算法则进行求值计算．分式混合运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，其乘除运算归根到底是乘法运算，实质是约分，分式加减实质是通分，结果要化简．【来源：21·世纪·教育·网】
关于化简求值，近年来出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字，要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．2-1-c-n-j-y
举一反三 先化简，然后从1、、﹣1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值．
考点五、分式方程及其增根
【例5】1．解分式方程：=﹣．
2．已知方程有增根，则k= ．
方法总结 在解分式方程时主要注意解分式方程的步骤及分式的性质的应用
举一反三 1．若关于x的分式方程﹣2=有增根，则m的值为 ．
2．分式方程 的根为（ ）
A．x1=1，x2=2 B．x1=﹣1，x2=﹣2 C．x=2 D．x=1
考点六、分式的应用
【例6】 1．已知a2﹣3a﹣1=0，求a6+120a﹣2= ．
2．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备精加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：【出处：21教育名师】
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍；
信息三：甲工厂加工一天、乙工厂加工2天共需加工费11200元，甲工厂加工2天、乙工厂加工3天共需加工费18400元；【版权所有：21教育】
根据以上信息，完成下列问题：
（1）求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
（2）公司将1200件新产品交甲、乙两工厂一起加工3天后，根据产品质量和市场需求，决定将剩余产品交乙工厂单独加工，求该公司这批产品的加工费用为多少？
方法总结 对于分式的应用题要把握好前面讲的解分式方程的步骤，对于分式的综合题型要把握好分式的增根计算及性质等的综合。www-2-1-cnjy-com
举一反三 1．对于正数x，规定，例如：，，则= ．
2．为弘扬中华民族传统文化，某校举办了“古诗文大赛”，并为获奖同学购买签字笔和笔记本作为奖品．1支签字笔和2个笔记本共8.5元，2支签字笔和3个笔记本共13.5元．
（1）求签字笔和笔记本的单价分别是多少元？
（2）为了激发学生的学习热情，学校决定给每名获奖同学再购买一本文学类图书，如果给每名获奖同学都买一本图书，需要花费720元；书店出台如下促销方案：购买图书总数超过50本可以享受8折优惠．学校如果多买12本，则可以享受优惠且所花钱数与原来相同．问学校获奖的同学有多少人？21*cnjy*com
一、选择题
1．若，则w=（ ）
A. B. C. D.
2．将分式方程去分母，整理后得（ ）
A. B. C. D.
3．化简的结果是（ ）
A．x﹣1 B． C．x+1 D．
4．下列式子正确的是（ ）
A．3a2b+2ab2=5a3b3 B．2﹣=
C．（x﹣2）（﹣x+2）=x2﹣4 D．a2?a3+a6=2a6
5．化简的结果是（ ）
A．A B．a+1 C．a﹣1 D．a2﹣1
二、填空题
1．化简得_____；当m＝－1时，原式的值为 ．
2．当时，分式没有意义，则= .
3．当时，分式没有意义，则 .
三、解答题
1.已知，求代数式+1的值.
2．（1）将下列各式进行分解因式：① ； ②
（2）先化简，再求值：（1－）÷（－2），其中；
完成对分式的化简求值后，填空：要使该分式有意义，x的取值应满足 .
3．计算：，并求当，b=1时原式的值.
4．化简：，并回答：原代数式的值能 等于1吗？为什么？
5．阅读材料，解答问题：
观察下列方程：① ； ②； ③；…；
（1）按此规律写出关于的第4个方程为 ，第n个方程为 ；21·cn·jy·com
（2）直接写出第n个方程的解，并检验此解是否正确.
6．（1）解方程：﹣2=；
（2）设y=kx，且k≠0，若代数式（x﹣3y）（2x+y）+y（x+5y）化简的结果为2x2，求k的值．21教育名师原创作品
7．解方程﹣2．
8．给定下面一列分式：，﹣，﹣，﹣，…（其中a≠1）
（1）请写出第6个分式；
（2）当3a﹣4b=3时，求﹣的值．
1．若分式不论x取何值总有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m＞1 C．m≤1 D．m＜1
2．若ab=1，m=+，则m2013=（ ）
A．2013 B．0 C．1 D．2
3．已知=﹣，其中A、B为常数，则4A﹣B的值为（ ）
A．7 B．9 C．13 D．5
4．若的值为，则的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．
5．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且，则△ABC一定是（ ）
A．等边三角形 B．腰长为a的等腰三角形
C．底边长为a的等腰三角形 D．等腰直角三角形
若，则的值为 ．
7．已知+=3，则代数式的值为 ．
9.已知a，b，c是不为0的实数，且，那么的值是 ．
9.已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为 ．
10.已知关于x的分式方程﹣=0无解，则a的值为 ．
11.先化简分式（﹣）÷，再从不等式组的解集中取一个合适的值代入，求原分式的值．
12.先化简分式，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值．
13.解方程：．
14.某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．21·世纪*教育网
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数． 21*cnjy*com
答案：
【例1】．
举一反三 解：1+x≠0，1+≠0，
x≠﹣1，x≠﹣2
故答案为：x≠﹣1且x≠﹣2．
【例2】 C
举一反三 解：∵﹣=3，
∴x≠0，y≠0，
∴xy≠0．
∴=====．
故答案为：．
【例3】A
解：=2，
∴3x﹣2y=2x+2y，
∴x=4y，
∴原式==．
故选A．
举一反三 解：原式=÷
=?
=﹣，
解方程x2﹣4x+3=0得，
（x﹣1）（x﹣3）=0，
x1=1，x2=3．
当x=1时，原式无意义；当x=3时，原式=﹣=﹣．
【例4】解：=?=．
举一反三 解：
=×
=﹣
=
=，
由于a≠±1，所以当a=时，原式==．
【例5】1． 解：原方程即=﹣，
两边同时乘以（2x+1）（2x﹣1）得：x+1=3（2x﹣1）﹣2（2x+1），
x+1=6x﹣3﹣4x﹣2，
解得：x=6．
经检验：x=6是原分式方程的解．
∴原方程的解是x=6．
2．﹣
举一反三 1． 3
2． D
考点六、分式的应用
【例6】 1．1309
解：∵a2﹣3a﹣1=0，
∴a2=3a+1，
a6=（a2）3=（3a+1）2（3a+1）=（9a2+6a+1）（3a+1）=[9×（3a+1）+6a+1]（3a+1）=（33a+10）（3a+1）=99a2+63a+10=99（3a+1）+63a+10=360a+109，21cnjy.com
∵a2﹣3a=1，
120a﹣2=（a2﹣3a）=120﹣=120﹣×（a2﹣3a）=120﹣360a+1080，
∴a6+120a﹣2=360a+109+120﹣360a+1080=1309．
2．解：（1）设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，依题意得
﹣=10
解得 x=40．
经检验，x=40是原方程的跟，且符合题意，
则1.5x=60
答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品；
（2）设甲、乙工厂一天的加工费分别为a万元、b万元，由题意得
，
解得．
∵加工3天后的时间为：=15（天）
∴3×3200+（15+3）×4000=81600（元）
答：该公司这批产品的加工费用为81600元．
举一反三 1． 2011.5
解：∵当x=1时，f（1）=，当x=2时，f（2）=，当x=时，f（）=；当x=3时，f（3）=，当x=时，f（）=…，【来源：21cnj*y.co*m】
∴f（2）+f（）=1，f（3）+f（）=1，…，
∴f（n）+…+f（1）+…+f（）=f（1）+（n﹣1），
∴=f（1）+（2012﹣1）=+2011=2011.5．
2．解：（1）设签字笔的单价为x元，笔记本的单价为y元．
则可列方程组，
解得．
答：签字笔的单价为1.5元，笔记本的单价为3.5元．
（2）设学校获奖的同学有z人．
则可列方程=，
解得z=48．
经检验，z=48符合题意．
答：学校获奖的同学有48人．
一、选择题
1． D
2． D
3． B
4． B
5． B
二、填空题
1．； 1
2．2
3．-3
三、解答题
1.解：由二元一次方程组解得
原式，
代入得原式=
2．解：（1）① ；②
（2）（1－）÷（－2）＝
＝×＝； 将代入得
要使该分式有意义，x的取值应满足x≠0且x≠1且x≠2
3．解：原式== = 当时， 原式= =
4．解：原式=
当值为0时，有，不成立，所以不能
5．解：原式=
当值为0时，有，不成立，所以不能
6．解：（1）去分母得：1﹣2（x﹣3）=﹣3x，
解得：x=﹣7，
检验：当x=﹣7时，x﹣3≠0，故x=﹣7是原方程的解；
（2）∵（x﹣3y）（2x+y）+y（x+5y）
=2x2﹣5xy﹣3y2+xy+5y2
=2x2﹣4xy+2y2
=2（x﹣y）2=2x2，
∴x﹣y=±x，
则x﹣kx=±x，
解得：k=0（不合题意舍去）或k=2．
7．解：方程的两边同乘（x﹣3），得：2﹣x=﹣1﹣2（x﹣3），
解得：x=3，
检验：把x=3代入（x﹣3）=0，即x=3不是原分式方程的解．
则原方程无解．
8．解：（1）第6个分式为：；
（2）由3a﹣4b=3可得：a﹣1=，
把a﹣1=，代入﹣=﹣=﹣=．
1． B
2． C
解：∵ab=1，
∴m===1，
则原式=1．
C
解：==，
可得A﹣B=3，A+2B=4，
解得：A=，B=，
则4A﹣B=﹣=13．
4． A
5． C
解：将化简
ab+ac﹣a2﹣bc=0
（ab﹣a2）+（ac﹣bc）=0
（b﹣a）（c﹣a）=0
可解得a=b或a=c
由已知a，b，c分别是△ABC的三边长，所以△ABC是腰长为a的等腰三角形．
5
解：∵+=，
∴=，
∴（m+n）2=7mn，
∴原式====5．
7． ﹣
解：∵+=3，
∴=3，即a+2b=6ab，
则原式===﹣．
9.
解：∵=，
∴=3，即+=3①；
同理可得+=4②，
+=5③；
∴①+②+③得：2（++）=3+4+5；++=6；
又∵的倒数为，即为++=6，则原数为．
故答案为．
9. m＞﹣8且m≠﹣4
10. 0、或﹣1
11.解：原式=
=
=2x+4．
解不等式组，得﹣3＜x≤2．
取x=2时，原式=8．
12.解：，
当a=2时，原式=2×2=4．
13.解：原方程即：， 方程两边同时乘以x（x-2）得：2（x+1）（x-2）-x（x+2）=x2-2， 化简得：-4x=2， 解得：x=-， 把x=-代入x（x-2）=≠0， 故方程的解是：x=-．21世纪教育网版权所有
14.解：（1）设原计划每天生产的零件x个，依题意有
=，
解得x=2400，
经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意．
∴规定的天数为24000÷2400=10（天）．
答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是10天；
（2）设原计划安排的工人人数为y人，依题意有
[5×20×（1+20%）×+2400]×（10﹣2）=24000，
解得y=480，
经检验，y=480是原方程的根，且符合题意．
答：原计划安排的工人人数为480人．
