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整式的乘除 单元综合能力测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.0000000076克，将数0.0000000076用科学记数法表示为（ ）
A．7.6×10﹣9 B．7.6×10﹣8 C．7.6×109 D．7.6×108
2．若 ，则 的值是（ ）
A．－11 B．－7 C．－6 D．－5
3．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（3a+b）（a﹣b） B．（﹣3a﹣b）（﹣3a+b）
C．（3a+b）（﹣3a﹣b） D．（﹣3a+b）（3a﹣b）
4．若，，则的值为（ ）
A．5 B．2 C．10 D．无法计算
5．计算的结果是 （ ）
A．3a5 B．9a6 C．6a5 D．6a6
6．下列运算正确的是（ ）
A．（y+1）（y﹣1）＝y2﹣1 B．x3+x5＝x8
C．a10÷a2＝a5 D．（﹣a2b）3＝a6b3
7．下列各式中，计算结果是 的是（ ）
A． B．
C． D．
8．一正方体的棱长为2×103米，则其体积可表示为（ ）立方米．
A．8×109 B．8×108 C．8×1027 D．6×109
9．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙。若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和30，则正方形A、B的面积之和为（ ）
A．33 B．30 C．27 D．24
10．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若，，则的值为 ．
12．计算：﹣2x（x2﹣ x+3）＝ ．
13．化简：（a+1）2﹣（a+1）（a﹣1）＝ ．
14．（1） 若 ， 则单项式 为
（2） 若 ， 则 的值为
15．计算 的结果不含 项，那么m= ．
16．用4张长为宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．先化简，再求值：，其中.
18． ，且 ，求m、n的值.
19．若关于的多项式展开合并后不含项，求的值．
20． 已知 展开后不含 的二次项和一次项．
（1） 求 的值．
（2） 求 的值．
21．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4、12、20都是这种“神秘数”．
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；
（2）试说明神秘数能被4整除；
（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．
22． 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题，例如：已知，，求的值．答案解：；；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）已知，，求的值；
（2）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，天府新区某校开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，．计划在和区域内组织同学们种茄子和黄瓜，在和的区域内种豇豆和辣椒，经测量，种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，米，求种茄子和黄瓜区域的面积和是多少平方米．
23．教材中，在计算如图1所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作：
（1）把它看成是一个大正方形，则它的面积为 ；
（2）把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为 ；因此，可得到等式： .
① 类比教材中的方法，由图2中的大正方形可得等式： .
② 试在图2右边空白处画出面积为 的长方形的示意图（标注好a、b），由图形可知，多项式 可分解因式为： ．
在上方空白处画出②中的示意图
③ 若将代数式 展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N的项数一共有 项.
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整式的乘除 单元综合能力测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.0000000076克，将数0.0000000076用科学记数法表示为（ ）
A．7.6×10﹣9 B．7.6×10﹣8 C．7.6×109 D．7.6×108
【答案】A
【解析】【解答】根据科学记数法的形式，0.0000000076用科学记数法表示为7.6×10﹣9．
故答案为：A．
【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．若 ，则 的值是（ ）
A．－11 B．－7 C．－6 D．－5
【答案】A
【解析】【解答】解：∵（x+m）（x﹣5）＝x2+nx﹣10，
∴x2+mx﹣5x﹣5m＝x2+nx﹣10，
∴x2+（m﹣5）x﹣5m＝x2+nx﹣10，
∴﹣5m＝﹣10，m﹣5＝n，
∴m＝2，n＝﹣3，
∴mn﹣m+n＝2×（﹣3）﹣2+（﹣3）＝﹣11，
故答案为：A．
【分析】利用多项式乘多项式的计算方法将原式（x+m）（x﹣5）展开得到x2+nx﹣10，再根据x2+（m﹣5）x﹣5m＝x2+nx﹣10，可求出m、n的值，再代入计算即可。
3．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．（3a+b）（a﹣b） B．（﹣3a﹣b）（﹣3a+b）
C．（3a+b）（﹣3a﹣b） D．（﹣3a+b）（3a﹣b）
【答案】B
【解析】【解答】解：A、中不存在互为相反数的项，
B、﹣3a是相同的项，互为相反项是b与﹣b，符合平方差公式的要求；
C、D中不存在相同的项；
因此A、C、D都不符合平方差公式的要求．
故选B．
【分析】运用平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
4．若，，则的值为（ ）
A．5 B．2 C．10 D．无法计算
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据题意已知，，利用平方差公式即可得出答案。
5．计算的结果是 （ ）
A．3a5 B．9a6 C．6a5 D．6a6
【答案】C
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘法计算即可.
6．下列运算正确的是（ ）
A．（y+1）（y﹣1）＝y2﹣1 B．x3+x5＝x8
C．a10÷a2＝a5 D．（﹣a2b）3＝a6b3
【答案】A
【解析】【解答】解：A、原式＝y2﹣1，故符合题意.
B、x3与x5不是同类项，不能合并，故不符合题意.
C、原式＝a8，故不符合题意.
D、原式＝﹣a6b3，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，可对A作出判断；不是同类项不能合并，可对B作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对C作出判断；利用积的乘方运算法则，可对D作出判断。
7．下列各式中，计算结果是 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A： ，不符合题意；
B： ，不符合题意；
C： ，符合题意；
D： ，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则对各选项加以计算，由此进一步判断即可.
8．一正方体的棱长为2×103米，则其体积可表示为（ ）立方米．
A．8×109 B．8×108 C．8×1027 D．6×109
【答案】A
【解析】【解答】正方体的体积=（2×103）3=8×（103）3=8×109．故选A．
【分析】根据正方体的体积公式计算，再根据幂的乘方，底数不变指数相乘进行计算即可得解．
9．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙。若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和30，则正方形A、B的面积之和为（ ）
A．33 B．30 C．27 D．24
【答案】A
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b
由图甲得：S1=(a-b)2=3，即：a2-2ab+b2=3
由图乙得：S2=(a+b)2-a2-b2=30，化简得：2ab=30
∴a2+b2-30=3
∴a2+b2=33
故答案为：A.
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，把图甲和图乙中的阴影面积用a、b的代数式表示出来，可以得到两个等式，进而得出答案.
10．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：∵A=(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
∴A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1，
＝(28－1)(28＋1)＋1，
＝216－1＋1，
＝216.
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，
∴末位数字以4为周期，
∴16=4×4，
∴216的末位数字是6，
∴原式末位数字是6.
故答案为：C.
【分析】将原式转化成A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，利用平方差公式计算即可得A=216，再以2的幂的末位数字以4为周期，由16=4×4得原式末位数字.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若，，则的值为 ．
【答案】54
【解析】【解答】∵，
，
∴；
故答案是54．
【分析】利用同底数幂的乘法和幂的乘方可得
，再将
，
代入计算即可。
12．计算：﹣2x（x2﹣ x+3）＝ ．
【答案】
【解析】【解答】原式＝
故答案为： ．
【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算即可．
13．化简：（a+1）2﹣（a+1）（a﹣1）＝ ．
【答案】2a+2
【解析】【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣（a2﹣1）
＝a2+2a+1﹣a2+1
＝2a+2；
故答案是：2a+2．
【分析】根据完全平方公式以及平方差公式的性质化简得到答案即可。
14．（1） 若 ， 则单项式 为
（2） 若 ， 则 的值为
【答案】（1）
（2）4
【解析】【解答】解：（1）由题意得：A=2x2y3z4÷（-2xyz）2=2x2y3z4÷(4x2y2z2)
=yz2；
故答案为：yz2；
（2）（2m2n-2mn2）÷（mn）=2m2n÷（mn）-2mn2÷（mn）
=2m-2n=2(m-n)，
∵m-n=2，
∴原式=2×2=4.
故答案为：4.
【分析】（1）由题意，根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”和单项式除以单项式的法则"系数相除，同底数幂相除 ，只在被除式里的字母则连同它的指数作为积的一个因式"计算即可求解；
（2）根据多项式除以单项式法则"多项式除以单项式就是把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加"计算可求解.
15．计算 的结果不含 项，那么m= ．
【答案】1
【解析】【解答】
由题意得：
解得
故答案为：1．
【分析】先计算整式的乘法运算，再根据“不含 项”列出等式求解即可．
16．用4张长为宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是 ．
【答案】a=2b
【解析】【解答】解：如下图
则空白部分的面积+
化简得：
∵
∴
化简得：=0
∴a=2b
故答案为：a=2b．
【分析】本题考查完全平方公式的计算与化简，根据题意，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，结合，列出算式，求得a、b之间的关系，即可得到答案．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式
当时，
原式
.
【解析】【分析】根据多项式乘以多项式法则去括号法则以及合并同类项法则，进行化简，再代入求值.
18． ，且 ，求m、n的值.
【答案】解： ，故m+2n+1=13，即
，故m-n+3=6，即m-n=3，
则有，解得.
【解析】【分析】先根据同底数幂的乘法法则运算，再根据相同底数的两个幂相等，则指数相等，即可得到关于m、n的两个方程，联立为方程组求解即可.
19．若关于的多项式展开合并后不含项，求的值．
【答案】解：由已知得，解得，即a的值为2．
【解析】【解答】
=
，
展开合并后不含项，
，
解得，
即a的值为2．
故答案为：2.
【分析】 现将多项式展开并合并同类项，找到项， 根据展开合并后不含项，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求解.
20． 已知 展开后不含 的二次项和一次项．
（1） 求 的值．
（2） 求 的值．
【答案】（1）解：，因为不含x的二次项与一次项，则有，解得a=-2，b=4.
故答案为：a=-2，b=4.
（2）解：∵a=-2，b=4，代入得
.
故答案为：-72.
【解析】【分析】（1）、先展开，后根据题意得x的二次项与一次项系数为0，得出关于a，b的等量关系式，解出a，b即可；
（2）、直接代入由（1）求得a、b后计算即可.
21．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4、12、20都是这种“神秘数”．
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？试说明理由；
（2）试说明神秘数能被4整除；
（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．
【答案】解：（1）是，理由如下：
∵28=82﹣62，2012=5042﹣5022，
∴28是“神秘数”；2012是“神秘数”；
（2）“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∴“神秘数”是4的倍数；
（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则
（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k，
而由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
【解析】【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
22． 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题，例如：已知，，求的值．答案解：；；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）已知，，求的值；
（2）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，天府新区某校开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，．计划在和区域内组织同学们种茄子和黄瓜，在和的区域内种豇豆和辣椒，经测量，种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，米，求种茄子和黄瓜区域的面积和是多少平方米．
【答案】（1）解： = .
（2）解：设，则AC=OA+OB=a+b=17(米)，
∵
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
∴S△AOD=，
S△BOC=，
S△AOB=，
S△COD=，
∵ 种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，
∴S△AOD+S△BOC=( 平方米 )
∴，
∴种茄子和黄瓜区域的面积和：S△AOB+S△COD=
=ab
=
=
=60（平方米）.
【解析】【分析】(1)利用 计算即可；
(2)先用a，b表示出 种豇豆和辣椒区域的面积和 、 种茄子和黄瓜区域的面积和 ；再利用计算即可.
23．教材中，在计算如图1所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作：
（1）把它看成是一个大正方形，则它的面积为 ；
（2）把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为 ；因此，可得到等式： .
① 类比教材中的方法，由图2中的大正方形可得等式： .
② 试在图2右边空白处画出面积为 的长方形的示意图（标注好a、b），由图形可知，多项式 可分解因式为： ．
在上方空白处画出②中的示意图
③ 若将代数式 展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N的项数一共有 项.
【答案】①（a＋b＋c）2=a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc
②2a2＋3ab＋b2=（2a＋b）（a＋b）
③210
【解析】【解答】解：⑵①根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
②根据长方形的面积公式与长，宽之间的关系画出图形即可；
③由 ，共有 项. 共有 项.
知 展开后合并同类项共
【分析】根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加；利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；根据长方形的面积公式与长，宽之间的关系画出图形即可.
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