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概率初步 单元综合提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．明天早上会下雨
B．任意一个三角形，它的内角和等于
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等
2．下列说法正确的是（ ）
A．“通常加热到100℃时，水沸腾”是随机事件
B．重复抛掷同一枚矿泉水瓶盖50次，发现这枚瓶盖落地后盖面向上的次数为20 次，盖面向下的次数为30次，由此估计抛掷这枚瓶盖落地后盖面向上的概率为
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 .在某次试验中，小明前三次抛掷硬币的过程中有1次正面朝上，2次正面朝下，那么第四次抛掷该硬币一定是正面朝上
D．小东通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计出自己投中的概率为0.4.在接下来的投篮练习中，小东10 次投篮可能投中3次
3．下列说法正确的是 （ ）
A．“经过有交通信号的路口，遇到红灯，” 是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为 ，则他投 次一定可投中 次
C．处于中间位置的数一定是中位数
D．方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小
4．从正方形的四个顶点中，任取三个顶点连成三角形，对于事件M：“这个三角形是等腰三角形”．下列说法正确的是（ ）
A．事件M为不可能事件 B．事件M为必然事件
C．事件M发生的概率为 D．事件M发生的概率为
5．一个布袋里装有6个只有颜色可以不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．学校要举行运动会，小亮和小刚报名参加100米短跑项目的比赛，预赛分A，B，C三组进行，小亮和小刚恰好在同一个组的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．了解“贵港市初中生每天课外阅读书籍时间的情况“最适合的调查方式是全面调查
B．甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，若 则甲的成绩比乙的稳定
C．平分弦的直径垂直于弦
D．“任意画一个三角形，其内角和是360°”是不可能事件
8．三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字“1”、“2”、“3”，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a、b、c，则以a、b、c为边长正好构成等边三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．某校九年级学生中有5人在省数学竞赛中获奖，其中3人获一等奖，2人获二等奖．老师从5人中选2人向全校学生介绍学好数学的经验，则选出的2人中恰好一人是一等奖获得者，一人是二等奖获得者的概率是（ ）．
A． B． C． D．
10．有三条带子，第一条的一头是黑色，另一头是黄色，第二条的一头是黄色，另一头是白色，第三条的一头是白色，另一头是黑色．若任意选取这三条带子的一头，颜色各不相同的概率是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一个不透明的布袋中仅有2个红球，1个黑球，这些球除颜色外无其它差别.先随机摸出一个小球，记下颜色后放回搅匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色不同的概率是 .
12．如果从方程x+1＝0，x2﹣2x﹣1＝0，x 中任意选取一个方程，那么取到的方程是整式方程的概率是 ．
13．小芳同学有两根长度为4cm、10cm的木棒，她想钉一个三角形相框，桌上有五根木棒供她选择（如图所示），从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是 ．
14．小明用0﹣9中的数字给手机设置了六位开机密码，但他把最后一位数字忘记了，小明只输入一次密码就能打开手机的概率是 .
15．在分别写有数字，，的三张小卡片中卡片只有数字不同，其余完全一样，随机抽出两张卡片，则卡片上数字和为偶数的概率为 ．
16．有四张正面分别标有数字﹣4，﹣3，﹣2，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则a，b使得二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3当x≤1时y随x的增大而减小，且一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解的概率为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设A班剪纸、B班戏曲、C班武术三门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习．
（1）求甲同学选择A班剪纸课的概率．
（2）利用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一门课程的概率．
18．小明和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小明去观看，否则小亮去观看．
（1）转动转盘B一次，转出蓝色的概率是 ；
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由．（用树状图或列表法）
19．现有三位亚运冠军（依次标记为A，B，C）．为了让同学们了解他们的训练日常，陈老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应亚运冠军的训练日常．
（1）求小张在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率；
（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同亚运冠军的概率．
20．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，陈老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，陈老师一共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中D类学生所对应的圆心角是 ▲ 度；
（3）为了共同进步，陈老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
21．某校九年级举行毕业典礼，准备从九年级一班的2名男生和1名女生、九年级二班的1名男生和1名女生共5人中任意选出2名主持人．
（1）用画树状图或列表法列出主持人选择方案的所有可能情形．
（2）求2名主持人来自不同班级的概率．
（3）求2名主持人恰好一男一女的概率．
22．初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两个不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩条形统计图
初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩扇形统计图
（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整；
（2）如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有 人；
（3）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
23．王勇和李明两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了30次实验，实验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 2 5 6 4 10 3
（1）分别计算这30次实验中“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
（2）王勇说：“根据以上实验可以得出结论：由于5点朝上的频率最大，所以一次实验中出现5点朝上的概率最大”；李明说：“如果投掷300次，那么出现6点朝上的次数正好是30次”．试分别说明王勇和李明的说法正确吗？并简述理由；
（3）现王勇和李明各投掷一枚骰子，请用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
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概率初步 单元综合提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．明天早上会下雨
B．任意一个三角形，它的内角和等于
C．掷一枚硬币，正面朝上
D．一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等
【答案】B
【解析】【解答】解：A：明天早上会下雨，是随机事件；
B：任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件；
C：掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件；
D：一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件；
故答案为：B.
【分析】根据事件的分类解答即可.
2．下列说法正确的是（ ）
A．“通常加热到100℃时，水沸腾”是随机事件
B．重复抛掷同一枚矿泉水瓶盖50次，发现这枚瓶盖落地后盖面向上的次数为20 次，盖面向下的次数为30次，由此估计抛掷这枚瓶盖落地后盖面向上的概率为
C．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 .在某次试验中，小明前三次抛掷硬币的过程中有1次正面朝上，2次正面朝下，那么第四次抛掷该硬币一定是正面朝上
D．小东通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计出自己投中的概率为0.4.在接下来的投篮练习中，小东10 次投篮可能投中3次
【答案】D
【解析】【解答】
解：A、“通常加热到100℃时水沸腾”是必然事件，故A错误，不符合题意；
B、瓶盖不均匀，不能用频率直接估计概率，且20次盖面向上的频率为，故B错误，不符合题意；
C、抛硬币每次结果独立，第四次正面朝上是随机事件，故C错误，不符合题意；
D、频率估计概率为0.4，10次投篮可能投中3次(符合概率的随机性)，故D正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据事件的分类，“通常加热到100℃时水沸腾”是必然事件，可判断A；抛硬币每次结果独立，第四次正面朝上是随机事件，可判断C；根据频率估计概率可得瓶盖不均匀，不能用频率直接估计概率，可判断B；当频率估计概率为0.4时，10次投篮可能投中3次，符合概率的随机性，可判断D，逐一判断即可解答.
3．下列说法正确的是 （ ）
A．“经过有交通信号的路口，遇到红灯，” 是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为 ，则他投 次一定可投中 次
C．处于中间位置的数一定是中位数
D．方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小
【答案】D
【解析】【解答】A、“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是随机事件，故原题说法错误；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次，说法错误；
C、处于中间位置的数一定是中位数，说法错误；
D、方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小，说法正确；
故答案为：D.
【分析】经过有交通信号的路口，可能遇到红灯，也可能不遇到红灯，是随机事件，故A错误；根据概率的意义可知B错误，把一组数据从小到大排列，处在最中间的一个或两个数的平均数就是这组数据的中位数.由此可知C错误；方差是描述一组数据波动的大小， 方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小 .由此可知D正确.
4．从正方形的四个顶点中，任取三个顶点连成三角形，对于事件M：“这个三角形是等腰三角形”．下列说法正确的是（ ）
A．事件M为不可能事件 B．事件M为必然事件
C．事件M发生的概率为 D．事件M发生的概率为
【答案】B
【解析】【解答】解：根据正方形的性质可知，任取三个顶点连成三角形，
则这个三角形一定是等腰三角形，
所以事件M是必然事件，
故选：B．
【分析】根据正方形的性质对事件进行判断，比较各个选项得到答案．
5．一个布袋里装有6个只有颜色可以不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：因为一共有6个球，红球有2个，
所以从布袋里任意摸出1个球，摸到红球的概率为： = ．
故选D．
【分析】让红球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
6．学校要举行运动会，小亮和小刚报名参加100米短跑项目的比赛，预赛分A，B，C三组进行，小亮和小刚恰好在同一个组的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】如下图所示：
小亮和小刚恰好分在同一组的情况有三种，共有9种等可能的结果，
所以， 小亮和小刚恰好分在同一组的概率是 ，
故答案为：B
【分析】利用列表法或树状图法求出所有的情况，再利用概率公式求解即可。
7．下列说法正确的是（ ）
A．了解“贵港市初中生每天课外阅读书籍时间的情况“最适合的调查方式是全面调查
B．甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，若 则甲的成绩比乙的稳定
C．平分弦的直径垂直于弦
D．“任意画一个三角形，其内角和是360°”是不可能事件
【答案】D
【解析】【解答】解：A、了解“贵港市初中生每天课外阅读书籍时间的情况“最适合的调查方式是抽样调查，故不符合题意；
B、甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，若 则乙的成绩比甲的稳定，故不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故不符合题意；
D、“任意画一个三角形，其内角和是360°”是不可能事件，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据调查方式，可对A作出判断；利用方差越大，数据的波动越大，可对B作出判断；利用垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，可对C作出判断；利用三角形的内角和定理，可对D作出判断。
8．三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字“1”、“2”、“3”，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a、b、c，则以a、b、c为边长正好构成等边三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有27种等可能的结果，构成等边三角形的有3种情况，
∴以a、b、c为边长正好构成等边三角形的概率是： = ．
故选A．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与构成等边三角形的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．某校九年级学生中有5人在省数学竞赛中获奖，其中3人获一等奖，2人获二等奖．老师从5人中选2人向全校学生介绍学好数学的经验，则选出的2人中恰好一人是一等奖获得者，一人是二等奖获得者的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】根据题意列树状图如下：
根据树状图可知，总共有20中情况，其中一人是一等奖获得者，一人是二等奖获得者的情况有12种，则一人是一等奖获得者，一人是二等奖获得者的概率是.
故答案为：C
【分析】利用树状图列出所有可能，即可求解。
10．有三条带子，第一条的一头是黑色，另一头是黄色，第二条的一头是黄色，另一头是白色，第三条的一头是白色，另一头是黑色．若任意选取这三条带子的一头，颜色各不相同的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】由题意可知，一共三条带子，且每条色带均有两种颜色，则所有可能出现的颜色搭配情况一共有8中，且其树状图如下所示：
由树状图可知，一共出现8中情况的颜色搭配，但满足题目要求（颜色各不相同）的有黑—黄—白、黄—白—黑，共两种，则这种情况在8种颜色搭配情况中出现的概率为：，所以选项B符合题意，故选B。
【分析】本题首先将3条不同颜色的带子进行颜色搭配划分，可以借用树状图来清晰的表达颜色搭配情况，最终从所有的搭配情况中选择出颜色不同的情形，求出概率值。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一个不透明的布袋中仅有2个红球，1个黑球，这些球除颜色外无其它差别.先随机摸出一个小球，记下颜色后放回搅匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球颜色不同的概率是 .
【答案】
【解析】【解答】解：画树状图如图所示：
一共有9种等可能的情况，两次摸出的小球颜色不同的有4种，
∴两次摸出的小球颜色不同的概率为 ；
故答案为 .
【分析】画出树状图，找出总情况数以及两次摸出的小球颜色不同的情况数，然后根据概率公式进行计算.
12．如果从方程x+1＝0，x2﹣2x﹣1＝0，x 中任意选取一个方程，那么取到的方程是整式方程的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵在所列的6个方程中，整式方程有x+1＝0，x2﹣2x﹣1＝0，x4﹣1＝0这3个，
∴取到的方程是整式方程的概率是 ，
故答案为： ．
【分析】先求出整式方程的个数，利用整式方程的个数除以方程的总个数，即得结论.
13．小芳同学有两根长度为4cm、10cm的木棒，她想钉一个三角形相框，桌上有五根木棒供她选择（如图所示），从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵小芳同学有两根长度为4cm、10cm的木棒，
∴桌上有五根木棒供她选择（如图所示），从中任选一根，能钉成三角形相框的有：10cm，12cm长的木棒，
∴从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是： ．
故答案为： ．
【分析】由桌上有五根木棒供她选择（如图所示），从中任选一根，能钉成三角形相框的有：10cm，12cm长的木棒，直接利用概率公式求解即可求得答案．
14．小明用0﹣9中的数字给手机设置了六位开机密码，但他把最后一位数字忘记了，小明只输入一次密码就能打开手机的概率是 .
【答案】
【解析】【解答】解：随意拨动最后一位号码正好开锁的概率是： 。
故答案为： 。
【分析】根据题意，手机密码的最后一位数字有10种等可能的结果，其中正确的只有一种，根据概率公式即可算出答案。
15．在分别写有数字，，的三张小卡片中卡片只有数字不同，其余完全一样，随机抽出两张卡片，则卡片上数字和为偶数的概率为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：列表如下：
2 3 5
2 (2，3) (2，5)
3 (3，2) (3，5)
5 (5，2) (5，3)
共有6种等可能的结果，其中卡片上数字和为偶数的结果有：(3，5)，(5，3)，共2种，
∴卡片上数字和为偶数的概率为.
故答案为：.
【分析】根据题意，列出所有可能的情况，再根据概率的计算公式，求出卡片上数字和为偶数的概率.
16．有四张正面分别标有数字﹣4，﹣3，﹣2，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则a，b使得二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3当x≤1时y随x的增大而减小，且一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解的概率为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3，二次项系数为1，大于0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵要使得当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴应满足，
解得：；
∵一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解，
∴且，
∴且，
∴由题意可知，a仅能取-3或1，
当时，，
∴b取﹣4，﹣3，﹣2，1时，均满足；
当时，，
∴仅有b取﹣4时，满足；
综上分析，当时，b取﹣4，﹣3，﹣2，1，满足题意；当时，b取﹣4满足题意；共有5种情况满足题意；
∵由题意可得，两次抽取共有16种情况发生，
∴两次抽取后满足题意的概率为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数满足的条件求出a的范围，然后由一元二次方程有解，确定a、b的范围，再根据概率公式求解即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设A班剪纸、B班戏曲、C班武术三门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习．
（1）求甲同学选择A班剪纸课的概率．
（2）利用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一门课程的概率．
【答案】（1）解：该校开设A班剪纸、B班戏曲、C班武术共3门特色课程，
甲同学选择A班剪纸课的概率为；
（2）解：如下表所示：
乙甲
共有9种可能的情况，其中甲、乙两人选择同一门课程的情况有3种，
甲、乙两人选择同一门课程的概率为．
【解析】【分析】（1）学校共开设了三门特色课程，故甲同学有三种等可能的选择，而选择剪纸课的情况只有一种，从而根据概率公式计算可得答案；
（2）此题是抽取放回类型，根据题意列出表格，根据表格可知共有9种可能的情况，其中甲、乙两人选择同一门课程的情况有3种，再根据概率公式即可求解．
（1）解：该校开设班剪纸、班戏曲、班武术共3门特色课程，
甲同学选择班剪纸课的概率为．
（2）解：如下表所示：
乙甲
共有9种可能的情况，其中甲、乙两人选择同一门课程的情况有3种，
甲、乙两人选择同一门课程的概率为．
18．小明和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小明去观看，否则小亮去观看．
（1）转动转盘B一次，转出蓝色的概率是 ；
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由．（用树状图或列表法）
【答案】（1）
（2）解：这个游戏公平，理由如下：
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
蓝 蓝 红
蓝 蓝蓝 蓝蓝 蓝红
红 红蓝 红蓝 红红
共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有6种，
∴P（小明）＝＝，
P（小亮）＝＝，
因此游戏是公平．
【解析】【解答】解：（1）解：转动转盘B一次，转出蓝色的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）根据概率的定义，某一事件的概率=，即可求出；
（2）根据列表法将所有情况列入表格中，根据概率的定义分别算出小明和小亮获胜的概率，比较概率的大小即可判断游戏是否公平.
19．现有三位亚运冠军（依次标记为A，B，C）．为了让同学们了解他们的训练日常，陈老师设计了如下活动：取三张完全相同的卡片，分别在正面写上A，B，C三个标号，然后背面朝上放置，搅匀后请一位同学从中随机抽取一张，记下标号后放回，要求大家依据抽到标号所对应的人物查找相应亚运冠军的训练日常．
（1）求小张在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率；
（2）用树状图或列表法求小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同亚运冠军的概率．
【答案】（1）解：小张在这三种卡片中随机抽到标号为C的概率为：
（2）解：树状图如下，
∴小明和小亮两位同学抽到的卡片是不同亚运冠军的概率为：
【解析】【分析】（1）根据概率计算公式计算即可；
（2）利用树状图列举出所有的可能情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率计算公式计算即可.
20．学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，陈老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，陈老师一共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中D类学生所对应的圆心角是 ▲ 度；
（3）为了共同进步，陈老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）20
（2）解：如图
；36
（3）解：列表如下，A类学生中的两名女生分别记为A1和A2，
女A1 女A2 男A
男D 女A1男D 女A2男D 男A男D
女D 女A1女D 女A2女D 男A女D
共有6种等可能的结果，其中，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为＝．
【解析】【解答】解：⑴、由统计图可知“特别好”由3人，且占总调查人数的15%，
所以调查总人数=3÷15%=20（人），
故答案为：20.
⑵、一般：20×25%=5（名），其中女生数：5-2=3（名），
较差：20×（1-50%-25%-15%）=20×10%=2（名），其中男生数：2-1=1（名），
扇形统计图中D类学生所对应的圆心角是 ：360°×10%=36°，
故答案为：（图略），36，
【分析】⑴、由已知的小组频数以及小组百分比（频率）来计算总数，小组频数/总数=小组频率（百分比）；
⑵、由调查的总数及小组百分比计算小组人数，再补全条形统计图，而扇形统计图中，扇形圆心角的度数等于360度乘以该扇形百分比来计算；
⑶、陈老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，故可以列表或画树状图来找所有可能结果，然后明确恰好选中一名男生和一名女生的结果数，进而求得其概率。
21．某校九年级举行毕业典礼，准备从九年级一班的2名男生和1名女生、九年级二班的1名男生和1名女生共5人中任意选出2名主持人．
（1）用画树状图或列表法列出主持人选择方案的所有可能情形．
（2）求2名主持人来自不同班级的概率．
（3）求2名主持人恰好一男一女的概率．
【答案】（1）树状图如下，共有20种等可能的结果．
（2）解：由（1）知共有20种情况，2名主持人来自不同班级的情况有12种，
∴2名主持人来自不同班级的概率为：.
（3）解：由（1）知共有20种情况，2名主持人恰好一男一女的情况有12种，
∴2名主持人恰好一男一女的概率为：.
【解析】【分析】（1）画树状图，列出所有可能情况即可；
（2）由（1）知共有20种情况，2名主持人来自不同班级的情况有12种，进而根据概率公式计算即可；
（3）由（1）知共有20种情况，2名主持人恰好一男一女的情况有12种，进而根据概率公式计算即可.
22．初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两个不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩条形统计图
初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩扇形统计图
（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整；
（2）如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有 人；
（3）此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
【答案】（1），
参加活动的总人数为（人），“良好”的人数为（人），
将条形统计图补充完整，如图所示：
（2）136
（3）解：画树状图，如图所示，
共有种等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有个，
∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率为．
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有：（人），
故答案为：；
【分析】（）由乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心角度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可；
（）根据比赛成绩良好的占比乘以即可求解；
（）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出选中的两名同学恰好是甲、丁的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：，
故答案为：；
参加活动的总人数为（人），“良好”的人数为（人），
将条形统计图补充完整，如图所示：
（2）解：参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有：（人），
故答案为：；
（3）解：画树状图，如图所示，
共有种等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有个，
∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率为．
23．王勇和李明两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了30次实验，实验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 2 5 6 4 10 3
（1）分别计算这30次实验中“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
（2）王勇说：“根据以上实验可以得出结论：由于5点朝上的频率最大，所以一次实验中出现5点朝上的概率最大”；李明说：“如果投掷300次，那么出现6点朝上的次数正好是30次”．试分别说明王勇和李明的说法正确吗？并简述理由；
（3）现王勇和李明各投掷一枚骰子，请用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
【答案】解：（1）“3点朝上”的频率为：，
“5点朝上”的频率为：；
（2）王勇的说法是错误的
因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大，
只有当实验次数足够大时，该事件发生的频率才能稳定在事件发生的概率附近，也才能用该事件发生的频率区估计其概率．
李明的说法也是错误的，因为事件的发生具有随机性，所以投掷300次，出现“6点朝上”的次数不一定是30次．
（3）列表：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵朝上的点数之和为3的倍数共有12个，
∴P（点数之和为3的倍数）= ．
【解析】【分析】（1）利用概率公式结合表格中数据直接求出即可；
（2）利用频率估计概率的意义分析得出即可；
（3）利用列表法求出所有的可能，进而得出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
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