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二次根式 单元模拟演练卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果是最简二次根式，则x的值可能是（ ）
A．11 B．13 C．21 D．29
2．若 有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若x+y＝3+2 ，x﹣y＝3﹣2 ，则 的值为（ ）
A．4 B．1 C．6 D．3﹣2
5．在下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若 =10，则x的值等于（ ）
A．4 B．±2 C．2 D．±4
7．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形(长为，宽为4cm)的盒子底部(如图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是 （ ）
A． B．16 cm C． D．
8．下列式子：① ；② ；③﹣ ；④ ；⑤ ，是二次根式的有（ ）
A．①③ B．①③⑤ C．①②③ D．①②③⑤
9．已知二次根式 ，则a的取值范围是（ ）
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
10．下列计算正确的是（ ）.
A． B． =1
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若二次根式 与 能合并，则x可取的最小正整数是 ．
12．已知 ，那么 .
13．已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 ．
14．点P（x，y）在第二象限，化简 = ．
15．如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是＝ .
16．若x、y都为实数，且 ，则 = 。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．实数 ， 在数轴上的位置如图所示，
请化简：
18．如图，已知矩形纸板面积为8a，两邻边之比为3：4，现欲在每个角处裁下一个面积为a的正方形后，制成一个无盖的纸箱．求制成的纸箱的侧面积．
19．计算：
（1）
（2）
20．阅读下面问题：
；
；
．
（1）求的值；
（2）计算：．
21．（1）已知，为实数，且，求，的值．
（2）已知实数满足，求的值．
22．化简求值：
（1）已知a=-2，求代数式a3+4a2-a+6的值；
（2）已知x=-2，y=+2，求的值.
23．若一个含根号的式子可以写成的平方其中，，，都是整数，为正整数，即，则称为完美根式．是的完美平方根例如：因为，所以是的完美平方根．
（1）已知是的完美平方根，求的值；
（2）若是的完美平方根，用含，的式子表示，．
（3）已知为完美根式，直接写出它的一个完美平方根．
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二次根式 单元模拟演练卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果是最简二次根式，则x的值可能是（ ）
A．11 B．13 C．21 D．29
【答案】A
【解析】【解答】
A：x=11时，，是最简二次根式，A符合；
B：x=13时，，不是最简二次根式，B不符合；
C：x=21时，，不是最简二次根式，C不符合；
D：x=29时，，不是最简二次根式，D不符合；
故答案为：A
【分析】
把x值代入根式，观察被开方数，根据最简二次根式的定义进行判断。
2．若 有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】由 有意义，
则满足2m-3≥0，解得m≥ ，
即m≥ 时，二次根式有意义．
则m能取的最小整数值是m=2．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求解．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： ，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故答案选D．
【分析】根据合并同类项、二次根式的乘法、0指数幂的运算逐项判定即可。
4．若x+y＝3+2 ，x﹣y＝3﹣2 ，则 的值为（ ）
A．4 B．1 C．6 D．3﹣2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵x+y＝3+2 ，x﹣y＝3﹣2 ，
∴ ＝1．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的性质解答．
5．在下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵不是同类项，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵，∴D正确，
故答案为：D.
【分析】利用合并同类项，二次根式的性质及算术平方根的计算方法逐项判断即可.
6．若 =10，则x的值等于（ ）
A．4 B．±2 C．2 D．±4
【答案】C
【解析】【解答】解：3 + + ＝10，
5 ＝10，
＝2，
则2x＝4，
x＝2，
故答案为：C
【分析】由二次根式的性质“、、”可将方程左边化简得：3 + + ＝10，再合并同类二次根式得，5 ＝10，把方程两边同时平方可去掉根号，然后按照一元一次方程的解题步骤计算即可求解。
7．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面为长方形(长为，宽为4cm)的盒子底部(如图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是 （ ）
A． B．16 cm C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设小长方形的长、宽分别为a、b，
根据题意得：a+2b=，
∴ 图2中两块阴影部分的周长和为 2+2(4-2b)+2(4-a)
= 2+8-4b+8-2a= 2+16-2(a+2b)
=2+16+2×=16.
故答案为：B.
【分析】设小长方形的长、宽分别为a、b，则a+2b=，图2中两块阴影部分的周长和为 2+2(4-2b)+2(4-a)，然后整理代入计算即可.
8．下列式子：① ；② ；③﹣ ；④ ；⑤ ，是二次根式的有（ ）
A．①③ B．①③⑤ C．①②③ D．①②③⑤
【答案】B
【解析】【解答】解：是二次根式的有①③⑤；
②中被开方数小于0无意义，④是三次根式．
故选B．
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式可得答案．
9．已知二次根式 ，则a的取值范围是（ ）
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：2a-1≥0，
则a≥.
故答案为：D.
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式，求出a的范围即可。
10．下列计算正确的是（ ）.
A． B． =1
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 ，本选项错误；
B、 ，本选项错误；
C、 ，本选项错误；
D、 ，本选项正确.
故答案为：D.
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可判断A、B；根据平方差公式展开括号，用完全相同的项的平方减去互为相反数项的平方即可判断C；进行分母有理化后再约分就可判断D.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若二次根式 与 能合并，则x可取的最小正整数是 ．
【答案】11
【解析】【解答】∵二次根式 与 能合并，
∴ ，解得 （舍去），
，解得 （舍去），
，解得 ．
即当 取最小正整数11时，二次根式 与 能合并．
故答案为：11
【分析】根据题意，它们化简后的被开方数相同，列出方程求解即可
12．已知 ，那么 .
【答案】34
【解析】【解答】由题意得： = ， ；
∴ = = ，
故答案为34.
【分析】通过分母有理化得出x的值，根据倒数的定义可得 的值，然后将所求式子进行变形代入求解即可
13．已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 ．
【答案】1-2a
【解析】【解答】
故答案为：A.
【分析】从数轴上可以看出，a＜0＜1，所以1-a＞0，进一步根据绝对值的意义和二次根式的运算化简即可。
14．点P（x，y）在第二象限，化简 = ．
【答案】﹣x
【解析】【解答】解：∵点P（x，y）在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∴ =﹣x ，
故答案为：﹣x ．
【分析】先根据象限求出x、y的范围，再根据二次根式的性质开出来即可．
15．如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是＝ .
【答案】
【解析】【解答】
设正方形的边长为a，则有a2=3
∴边长为a=
故答案为：
【分析】根据二次根式的含义以及性质，由正方形的面积即可得到其边长。
16．若x、y都为实数，且 ，则 = 。
【答案】26
【解析】【解答】由题意，，，所以x-5=0所以x=5，y=1，所以x2+y=25+1=26．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，比较不等式组从而得出方程求解得出x的值，进而算出y的值，再代入代数式计算出结果。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．实数 ， 在数轴上的位置如图所示，
请化简：
【答案】解：由数轴可知 ， ，∴ ，
则
.
【解析】【分析】先判断a，b，a-b的符号，再根据二次根式的性质化简即可.
18．如图，已知矩形纸板面积为8a，两邻边之比为3：4，现欲在每个角处裁下一个面积为a的正方形后，制成一个无盖的纸箱．求制成的纸箱的侧面积．
【答案】解：设矩形的长宽分别为4k，3k．
由题意12k2=8a，
∴k= ，
∴矩形的长为 ，宽为 ，
∴纸箱的侧面积=2（ + ﹣2 ） =
【解析】【分析】设矩形的长宽分别为4k，3k．根据已知条件先求出矩形的长宽，再根据侧面积公式计算即可．
19．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
=3-2
=1
（2）解：
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质和二次根式的乘法运算法则进行化简，再进行有理数的减法运算即可求值；
（2）先利用二次根式的性质和二次根式的乘法运算法则进行化简，再进行二次根式的减法运算即可求值.
20．阅读下面问题：
；
；
．
（1）求的值；
（2）计算：．
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【解析】【分析】（1）将分母有理化，分母同时乘以，再进行化简即可求出答案；
（2）将分母有理化，化简计算即可求出答案。
21．（1）已知，为实数，且，求，的值．
（2）已知实数满足，求的值．
【答案】解：（1）和均有意义，
且
即且，
，
当时，
可得
∴，即，
，；
（2）有意义，
，
因此，可变为
即，
，
即
的值是2024．
【解析】【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是正确解答的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件可得出的值，再根据非负数的和为0得出的值即可；
（2）根据二次根式有意义的条件可得的取值范围，再根据绝对值的定义将原式化为，两边平方即可．
22．化简求值：
（1）已知a=-2，求代数式a3+4a2-a+6的值；
（2）已知x=-2，y=+2，求的值.
【答案】（1）解：∵a=-2，∴a+2=，∴(a+2)2=5，
∴a2+4a=1，∴原式=a(a2+4a)-a+6=a×1-a+6=6.
（2）解：∵x=-2，y=+2，∴x+y=2，xy=3-4=-1，∴原式==-14.
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 a+2=， 再求出 a2+4a=1， 最后代入计算求解即可；
（2）根据题意先求出 x+y=2，xy=3-4=-1， 再化简分式代入计算求解即可。
23．若一个含根号的式子可以写成的平方其中，，，都是整数，为正整数，即，则称为完美根式．是的完美平方根例如：因为，所以是的完美平方根．
（1）已知是的完美平方根，求的值；
（2）若是的完美平方根，用含，的式子表示，．
（3）已知为完美根式，直接写出它的一个完美平方根．
【答案】（1）解：是的完美平方根，
，
，
（2）解：是的完美平方根，
，
，
，
（3）解：是完美根式，
，
，
，，
，或，，
，都是整数，
，，
的完美平方根是或
【解析】【分析】(1)依据完美根式的定义，将完美平方根 平方展开，与 对应相等，进而求出a的值；
(2)把完美平方根 按完全平方公式展开，将展开式的有理项、含的项分别对应a和b，即可用
m、n表示a、b；
(3)设完美平方根为整数系数的 ，展开其平方后与 对应，求出m、n，得到一个完美平方
根。
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