18.2勾股定理的逆定理 课后培优训练（含答案）2025—2026学年沪科版八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 18.2勾股定理的逆定理 课后培优训练（含答案）2025—2026学年沪科版八年级数学下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 651.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-21 00:00:00 | ||
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文档简介
18.2勾股定理的逆定理课后培优训练沪科版2025—2026学年八年级数学下册
一、选择题
1．若三边满足，那么的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．12 D．16
6．如图，在中，，，那么的长为（ ）
A．5 B． C． D．
7．如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如果点与点的距离等于，那么的值等于___．
10．以一个正方形的一边为斜边，向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边向外作正方形，然后又以正方形的边向外作直角三角形，依次循环，就得到一棵美丽的“勾股树”．如图是一棵“勾股树”的一部分，已知，，，则______．
11．如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为______．
12．若是的高,，则的长为__________．
三、解答题
13．某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得．
(1)求点之间的距离；
(2)求四边形的面积．
14．如图，在中，E为边上一点，连接，过点A作交的延长线于点D，已知．
(1)试说明：为直角三角形；
(2)求的值．
15．如图，在某一景观河的一侧有一最佳观景点C，河边有两个入口A、B，通过道路、可前往观景点C，．因景区改造，需要关闭通道，为了方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点H在河边，A、H、B在同一直线上）．经测量：米，米，米．
(1)判断是否为从C到河边的最近道路，并说明理由．
(2)求原道路的长度．
16．如图，在中，是的中点，交于点，连接，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
17．如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点出发，沿向终点运动，速度为；点从点出发，沿向终点运动，速度为两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，设点运动的时间为秒．
(1)当点在边上运动时．
①___________________（用含的代数式表示）；
②若是等腰三角形，求出此时的值；
(2)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时的值．
18．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点、、在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理．
【问题解决】
（1）如图1，，，直角边分别为，，斜边为，证明勾股定理．
（2）如图2，，，，，，求阴影部分的面积．
【知识应用】
（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上，并新修一条路，使，现测得千米，千米，千米，则新修路的长为______千米．
参考答案
一、选择题
1．D
2．B
3．B
4．B
5．B
6．D
7．B
8．C
二、填空题
9．0或
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：连接，
∵，，，
∴，
∴，的距离为．
（2）解：由（1）得，
∵，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形的面积为：．
14．【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
（2）解：
．
15．【详解】（1）解：是，理由如下：
∵，，，
∴，
∴，即，
∴是从观景点到河边的最近道路．
（2）解：∵，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
所以，原来的路线的长为．
16．【详解】（1）证明：∵是的中点，交于点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
（2）解：由（）知，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴点在的角平分线上，即平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．【详解】（1）解：①当点在边上运动时，根据题意可得，，；
故答案为：，；
②，，，
，
为直角三角形，，
当点在边上运动时，是等腰三角形，则，
，
解得：；
当点Q在边上运动时，出发秒后，是等腰三角形；
（2）解：当点在边上运动时，
①若是以为底边的等腰三角形
则，
，
，，
，
，
，
解得：，
②若是以为底边的等腰三角形，
则，
，
解得：，
综上为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形．
18．【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
梯形的面积为，
∴，即．
（2）解：∵，，，
由勾股定理可得，
∵，，
满足，即，
∴阴影部分的面积为．
（3）解：设千米，则千米，
∵，即，
在中，，
在中，，
∴，即，
整理可得，
解得，
∴千米，
∴（千米），
则新修路的长为1.2千米．
故答案为：1.2．
一、选择题
1．若三边满足，那么的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．12 D．16
6．如图，在中，，，那么的长为（ ）
A．5 B． C． D．
7．如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如果点与点的距离等于，那么的值等于___．
10．以一个正方形的一边为斜边，向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边向外作正方形，然后又以正方形的边向外作直角三角形，依次循环，就得到一棵美丽的“勾股树”．如图是一棵“勾股树”的一部分，已知，，，则______．
11．如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为______．
12．若是的高,，则的长为__________．
三、解答题
13．某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得．
(1)求点之间的距离；
(2)求四边形的面积．
14．如图，在中，E为边上一点，连接，过点A作交的延长线于点D，已知．
(1)试说明：为直角三角形；
(2)求的值．
15．如图，在某一景观河的一侧有一最佳观景点C，河边有两个入口A、B，通过道路、可前往观景点C，．因景区改造，需要关闭通道，为了方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点H在河边，A、H、B在同一直线上）．经测量：米，米，米．
(1)判断是否为从C到河边的最近道路，并说明理由．
(2)求原道路的长度．
16．如图，在中，是的中点，交于点，连接，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
17．如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点出发，沿向终点运动，速度为；点从点出发，沿向终点运动，速度为两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，设点运动的时间为秒．
(1)当点在边上运动时．
①___________________（用含的代数式表示）；
②若是等腰三角形，求出此时的值；
(2)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时的值．
18．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点、、在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理．
【问题解决】
（1）如图1，，，直角边分别为，，斜边为，证明勾股定理．
（2）如图2，，，，，，求阴影部分的面积．
【知识应用】
（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上，并新修一条路，使，现测得千米，千米，千米，则新修路的长为______千米．
参考答案
一、选择题
1．D
2．B
3．B
4．B
5．B
6．D
7．B
8．C
二、填空题
9．0或
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：连接，
∵，，，
∴，
∴，的距离为．
（2）解：由（1）得，
∵，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形的面积为：．
14．【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
（2）解：
．
15．【详解】（1）解：是，理由如下：
∵，，，
∴，
∴，即，
∴是从观景点到河边的最近道路．
（2）解：∵，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
所以，原来的路线的长为．
16．【详解】（1）证明：∵是的中点，交于点，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴；
（2）解：由（）知，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴点在的角平分线上，即平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．【详解】（1）解：①当点在边上运动时，根据题意可得，，；
故答案为：，；
②，，，
，
为直角三角形，，
当点在边上运动时，是等腰三角形，则，
，
解得：；
当点Q在边上运动时，出发秒后，是等腰三角形；
（2）解：当点在边上运动时，
①若是以为底边的等腰三角形
则，
，
，，
，
，
，
解得：，
②若是以为底边的等腰三角形，
则，
，
解得：，
综上为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形．
18．【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
梯形的面积为，
∴，即．
（2）解：∵，，，
由勾股定理可得，
∵，，
满足，即，
∴阴影部分的面积为．
（3）解：设千米，则千米，
∵，即，
在中，，
在中，，
∴，即，
整理可得，
解得，
∴千米，
∴（千米），
则新修路的长为1.2千米．
故答案为：1.2．