17.4一元二次方程的根与系数的关系 课后培优训练（含答案）沪科版2025—2026学年八年级数学下册

17.4一元二次方程的根与系数的关系课后培优训练沪科版2025—2026学年八年级数学下册
一、选择题
1．设，是方程的两个实数根，则为（ ）
A． B． C． D．
2．若是方程的两个根，则代数式的值为（ ）．
A． B．2 C． D．6
3．已知关于x的一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（）
A． B． C．1 D．2
4．若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
5．若是关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值为（ ）
A．或1 B． C．1 D．1或4
6．已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“特根方程”．现有以下三个结论：
①方程是“特根方程”；
②若关于x的一元二次方程是“特根方程”，且方程的两根、满足，则k的值为2或；
③若关于x的一元二次方程是“特根方程”，则m有且只有一个整数解．
这三个结论中判断正确的是（　　）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
8．若实数a，b满足，，则的值为（ ）
A． B．或20 C．2或 D．
二、填空题
9．若一元二次方程的两根为、，则的值为______．
10．若关于的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为，则的值为_____．
11．a，b是关于x的方程的两个实数根，且，则___________．
12．已知，是一元二次方程的两个实数根，则=__________.
三、解答题
13．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，
(1)求k的取值范围；
(2)该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值．
14．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
15．已知关于x的二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求满足条件a的最小整数值；
(2)若方程至少有一整数根，求正整数a的值．
16．已知关于的方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根为，，求的值．
17．已知关于x的一元二次方程满足．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若一元二次方程的两实根为、，且，请求出的值．
18．阅读材料：
材料1：若一元二次方程的两个根为，，
则，
材料2：已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，
根据材料1得，，
所以．
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：
一元二次方程的两个根为，，则______，______．
(2)类比探究：
已知实数，满足，，且，求的值：
(3)思维拓展：
已知实数、分别满足，，且．求的值．
参考答案
一、选择题
1．A
2．D
3．A
4．B
5．C
6．A
7．C
8．C
二、填空题
9．2025
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，，．
，
解得；
（2）解：∵方程的两个不相等的实数根分别为，，
∴，，
∵
，
解得，
，
．
14．【详解】（1）证明：∵，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得，，，
∵方程的两个实数根的差为2，
∴，即，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴．
15．【详解】（1）解：关于x的二次方程有两个实数根，
，且．
解得：，
的最小整数值是1；
（2）解：将原方程变形为．
则，，
由于a是正整数，
，即，．
，．
．
当，，，0，1，2时，得a的值为1，6，，3，，1．
，3，6，．
依题意得，当时，有两个整数根，2；
当，6，时，方程只有一个整数根，
综上所述，当，3，6，时，关于x的一元二次方程至少有一个整数根．
16．【详解】（1）证明：，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由（１）知，方程为，
方程的两个实数根为，，
，
，即，
．
17．【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵方程的两实根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
∴或．
18．【详解】（1）解：由题意可得：，；
故答案为：；；
（2）解：，，且，
、可看作方程的两个不相等的实数根，
，，
；
（3）解：把变形为，又，
∴实数和可看作方程的两个不相等的实数根，
，，
．