17.4一元二次方程的根与系数的关系 课后培优同步训练（含答案）沪科版2025—2026学年八年级下册

17.4一元二次方程的根与系数的关系课后培优同步训练沪科版2025—2026学年八年级下册
一、选择题
1．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．2
2．在解关于x的一元二次方程时，佳佳将二次项系数“”看成了“1”，得到方程有两个相等的实数根，则原方程的两根之积为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．若实数m、n满足且，则的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．
4．已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．对于一元二次方程（为常数，且），给出下列说法：①，则方程必有一个根为1；②当时，方程至少有一个根为0；③若方程的两个根为，2，则必有成立；④若，则方程一定有两个相等的实数根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若、是方程的两根，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
7．若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
9．方程的根是与，则________．
10．已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为____ ．
11．阅读材料：如果分别是一元二次方程的两个实数根，则有，．
创新应用：如果是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________．
12．已知为实数，关于的方程有两个实数根，．若，则的值为_________．
三、解答题
13．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
14．先阅读，再回答问题：
如果是关于的一元二次方程的两个根，那么与系数的关系是：．例如：若是方程的两个根，则．
(1)若是方程的两个根，则___________，___________；
(2)若是方程的两个根，求的值．
15．规定：如果实数，，满足，那么称一元二次方程为“等差”二次方程．
(1)下列方程是“等差”二次方程的有______（填序号）；
①；②；③；④
(2)若“等差”二次方程的一个根为，求这个方程的另一个根；
(3)若，是“等差”二次方程的两个根，请写出，的数量关系，并说明理由．
16．设x1，x2是关于的方程的两根．
(1)当时，求及的值．
(2)求证：．
17．已知方程的两个根分别为，，
(1)求的值；
(2)求的值．
18．阅读材料：若一元二次方程的两个根为，，则，．
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则________，________．
(2)类比探究：已知实数，满足，．________．
(3)思维拓展：已知实数、、满足、，且，求的最大值．
参考答案
一、选择题
1．B
2．A
3．A
4．B
5．C
6．C
7．D
8．D
二、填空题
9．
10．15
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：
∵方程有两个不等实数根
即，
；
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根，，
∴ ，
，
．
14．【详解】（1）解：由题意得，在中，，，，
∴，；
（2）解：由题意得，在中，，，，
∴，，
∴
．
15．【详解】（1）①，，，，，，，故①是“等差”二次方程；
②，，，，，，，故②不是“等差”二次方程；
③，，，，，，，故③是“等差”二次方程；
④，a，b，c，，，，故④不是“等差”二次方程．
综上，符合条件的有①③；
（2）当时，代入原方程得：，
∵由得，
∴将代入得：，
∴，
∵根据韦达定理，，
∴，
∴；
（3）∵，是“等差”二次方程的两个根，
∴根据韦达定理，，，
∵由得，即，
∴，
∴，即，
整理得，
∴．
16．【详解】（1）解：把代入方程，
得，
∴．
∴，即．
解得：．
∴，．
（2）证明：方程可化为．
∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
∵方程即的两根为，
∴，．
∴
．
∵，
∴，即．
17．【详解】（1）解：∵方程的两个根分别为，，
∴,
∴；
（2）解：由（1）知,
∴，
∴
18．【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，；
故答案为：；；
（2）解：当时，符合题意，则，
当时，
，，
、可看作方程的两个根，
，，
，
故答案为：2或；
（3）解：，，
将、看作是方程的两实数根，
，
，
，
则，
，
，
，
，
的最大值为7．