17.2一元二次方程的解法 课后培优同步训练（含答案）沪科版2025—2026学年八年级数学下册

17.2一元二次方程的解法课后培优同步训练沪科版2025—2026学年八年级数学下册
一、选择题
1．方程经过配方法化为的形式，正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．方程 的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（ ）
A．9 B．12 C．12或9 D．10或7
3．关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．5
4．设a、b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为（ ）
A．1 B． C． D．无法确定
5．设方程的两个根为m、n，那么的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．某校组织校园足球联赛，某班级在联赛中胜场数是一个两位数．且这个两位数的个位数字与十位数字之和为5，且胜场数比它个位数字的平方小2，则该球队的胜场数为（ ）
A．14 B．23 C．32 D．41
7．对于任意实数、，定义新运算：，例如：，则方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．
8．已知，且，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．或
二、填空题
9．把关于x的一元二次方程配方，得，则______．
10．一元二次方程的解为______．
11．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则的值为_______．
12．已知代数式：与的值互为相反数，则整数x的值为 _____________
三、解答题
13．用适当的方法解下列方程．
(1)
(2)
14．下列每个图形都是由一些黑点和一些白点按一定的规律组成的．
(1)根据规律，第4个图中有　　　　个白点，第n个图形中，白点和黑点共有　　　　(用含n的式子表示，n为正整数)个．
(2)有没有可能黑点比白点少2025个 如果有，求出此时n的值；如果没有，请说明理由．
15．已知：是关于的方程的一个根，．其中均为正整数，且这三个数互不相等．
(1)求证：；
(2)求的值．
16．定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”．
(1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）；
(2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”；
(3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值．
17．配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”．
例如，把二次三项式进行配方，可求其最值．
解：
当时，的最小值为2．
请通过阅读以上材料，解决以下问题：
（1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）；
①11； ②34； ③60．
（2）若可配方成（，为正整数），则的值为________；
（3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值．
18．“读有益之书，做有益之事，成有益之人”，我们不妨约定：如果一个整数能表示成两个整数的平方差形式（即可以写成的形式其中a、b是整数），则称这个数为“有益数”．例如，3是“有益数”，理由：因为，所以3是“有益数”．
(1)按要求填空．
①已知20是“有益数”，请将它写成（、是整数）的形式______；（写一种即可）
②整式可表示成（m、n为常数且），则的值是______；
③请判断122是否为“有益数”，______；（填“是”或“否”）
(2)已知（x、y是整数，t是常数），要使Y为“有益数”，试求出符合条件的一个t值，并说明理由．
(3)已知是关于x的方程的解，是关于x的方程的解（其中k是常数），求“有益数”（是整数）的值．
参考答案
一、选择题
1．A
2．B
3．D
4．C
5．A
6．A
7．A
8．D
二、填空题
9．
10．，
11．或
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：，
，
，
，
或，
解得，；
（2）解：，
，
，
，
，
解得.
14．【详解】（1）解：第1个图中白点1个，黑点1个，
第2个图中白点 个，黑点个，
第3个图中白点个，黑点个，
∴第4个图中白点，黑点个，
第n个图中白点个，黑点个，
∴第个图形中，白点和黑点总数的和为，
故答案为：16，；
（2）解：有可能，
由题意，得，
解得，，
∵n是正整数，
∴，
∴黑点比白点有可能少2025个.
15．【详解】（1）证明：∵，
∴，
是关于的方程的一个根，
∴，
∴，
．
．
由①+②，得，
．
（2）解：由（1）得，
，
①②，得，
．
均为正整数，，
．
把代入，得．
．
16．【详解】（1）解：∵方程中，，，
∴，
∴方程是“和谐方程”；
（2）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”，
∴，
解得：，
解方程，
解得；
（3）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”，
∴，
∴，
∴
，
，
，
即代数式的最小值为．
17．【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数，
；；
所以，不能表示成（a，b是整数）的形式，不是完美数；
故答案为：②；
（2）由，
可配方成，
，，
，
故答案为：5；
（3）解：因为，
∴
∴
∴
∴当时，的最小值为2022．
18．【详解】（1）解：①由题意，∵20是“有益数”，
∴，
故答案为：；
②由题意得，，
∴对比可知，，
∴，
故答案为：12，
③假设122是有益数，
∵对于，，，
∴说明，与，是同时为奇数，或同时为偶数，
∵均为“一奇一偶”，
无满足条件的整数a、b，
∴122不是有益数，
故答案为：否．
（2）解：由题意得，
，
∵Y为“有益数”，
∴，
∴．
（3）解：由题意知，
∵是关于x的方程的解，是关于x的方程的解，
∴解得，，
∵为整数，
∴整除k，设（a为整数且），则，代入得，故，即或，
∵为整数，
∴整除，设（b为整数且），则，代入得，故，即或（此时方程无解，舍去），
联立、为整数的条件，通过消去k得：
由和，得，
即，
∵、为整数，
∴，，
当时，，此时k无意义，故排除，
∴．