广东 2026届高三一模
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 A= 2,a , B= -2,b ，若 A= B，则 a+ b=
A. - 2 B. 0 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】由于集合 A= 2,a , B= -2,b ，A= B，则 a=-2 , b= 2，故 a+ b= 0.
2.在 1-x 4 + 1-x 5 的展开式中，含 x2的项的系数是
A. - 4 B. 4 C. - 16 D. 16
【答案】D
【解析】对于 1-x 4 + 1-x 5 的展开式，含 x2的项为C2(-x)2+C24 5(-x)2= 16x2，故该项的系数为 16.
3.已知 i为虚数单位，复数 z= cos75°+isin75° cos15°+isin15° ，则 z =
A. 1 B. 2 C. 2 D. 6
【答案】A
【解析】因 z= cos75°+isin75° cos15°+isin15° = cos(75° +15°) + isin(75° +15°) = i，
则 z = 1.
4.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 y2= 3 x的图象上，则这个正三角形的边长
为
A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 6
【答案】D
【解析】设正三角形的边长为 2a，由抛物线的对称性及题意可得，其另外两个顶点的坐标为 3a,±a ，
又另外两个顶点 抛物线 y2= 3 x上，所以 a2= 3 3a，得 a= 3，所以这个正三角形的边长为 6.
5.已知数据 x1 , x2 , x3的平均数为 1，方差为 2，则数据 x1 , x2 , x3 , 2x1- 1 , 2x2- 1 , 2x3- 1的方差为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】因 x1 , x2 , x3的平均数为 1，方差为 2，则 x1+ x2+ x3= 3，
于是数据 x1 , x2 , x3 , 2x1- 1 , 2x - 1 , 2x - 1
x1+x2+x3+2x1-1+2x2-1+2x3-1
2 3 的平均数为 6 = 1，
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x1-1 2 + x 22-1 + x3-1 2
又 3 = 2，则 x
2
1-1 + x2-1 2 + x 23-1 = 6，
于是数据 x1 , x2 , x3 , 2x1- 1 , 2x2- 1 , 2x3- 1的方差为：
x -1 21 + x2-1 2 + x 23-1 + 2x1-1-1 2 + 2x2-1-1 2 + 2x3-1-1 2
6
= 5 26 x1-1 + x
2
2-1 + x3-1 2 = 56 × 6= 5.
6.已知下图是一个边长为 3的九宫格 (由 9个边长为 1的小正方形构成)，九宫格中有 16个节点 (如图加黑
的 16个点)，从这 16个点中任选互不相同的三个点 A , B ,C，则 AB AC的最大值为
A. 12 B. 13 C. 15 D. 18
【答案】C
【解析】建立如图所示的直角坐标系，
16个点的坐标为 0,0 , 0,1 , 0,2 , 0,3 , 1,0 , 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,0 , 2,1 , 2,2 ,
2,3 , 3,0 , 3,1 , 3,2 , 3,3
若 A点在原点，任取两点作为向量坐标，发现 2,3 · 3,3 = 15或 3,2 · 3,3 = 15取得最大值，故
AB·AC的最大值为 15.
经检验可知，当 AB，AC取其他坐标时，AB·AC的值均不会超过 15.
7.如图，正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为 4，P为正方形 BCC1B1的中心，Q为棱DD1的中点，过点 A , P ,
Q的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体积大小为
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A. 16 B. 18 C. 643 D. 24
【答案】D
【解析】如图，取CC1的中点 R，连接 BR ,QR ,过点 P作直线 EF BR，分别交 BB1 ,CC1于点 E , F，连接
BC1 ,QF , AE，
因 P为正方形 BCC1B1的中心，则 BC1∩ EF= P，因 BP=C 1 11P，则易得 BE=C1F= FR= 2 C1R= 4 CC1
= 1.
又因Q为棱DD1的中点，则易得QR DC AB ,QR=DC= AB，即四边形 ABRQ为平行四边形，
则得 BR AQ，故 AQ EF，于是，平面 AEFQ即过点 A , P ,Q的截面，
显然正方体被截面分成的较小的部分为多面体 ADQ- BEFC，记其体积为V，
则V=V 1 1三棱柱ABE-QRF+V三棱柱ADQ-BCR= 2 × 4× 1× 4+ 2 × 4× 2× 4= 24.
8.已知曲线C : x2-y 3x
2-y= 81，则曲线C上的点到原点距离的最小值为
A. 112 B. 2 C. 2 2 D. 22
【答案】A
【解析】设 t= x2- y t 3t= 81 t> 0 3t= 81，则得 ，显然 ，则 t ，
设 f (t) = 3t- 81 ，则 f (t) = 3tln3+ 81t 2 ，t
当 t> 0时，f (t)> 0 81，即函数 f (t) = 3t- t 在 (0 ,+∞)上单调递增，
f (3) = 33- 81又 3 = 0，则 t= 3，此时，C : y= x
2- 3，
设曲线C上任一点 P(m , n)，则m2= n+ 3，且 n=m2- 3≥-3，
2
则 |OP| = m2+n2= n2+n+3= n+ 1 + 112 4 ，
故当 n=- 12 时，|OP|
11
取得最小值为 2 .
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9. π下列四个函数中，以 2π为最小正周期，且在区间 2 ,π 上单调递减的有
A. y=-sinx B. y= 1+ cosx C. y=-tanx D. y= cos x2
【答案】BD
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【解析】对于 A，因函数 y= sinx π在 2 ,π 上单调递减，故 y=-sinx
π
在区间 2 ,π 上单调递增，故 A错
误；
对于 B，函数 y= 1+ cosx 2π π的最小正周期为 ，且在 2 ,π 上单调递减，故 B正确；
对于C，函数 y=-tanx的最小正周期为 π，故C错误；
对于D，因函数 y= cos x2 的最小正周期为 4π，则函数 y= cos
x
2 的最小正周期为 2π，
x∈ π ,π x ∈ π , π y= cos x π π当 2 时，2 4 2 ，函数 2 在 4 , 2 上单调递减且函数值为正，
故函数 y= cos x π2 在 2 ,π 上单调递减，即D正确.
10.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件 A , B存在如下关系：
P A P B∣A
P A∣B =
．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第P B
2 1
一天选择室内健身的概率为 3 ，选择户外运动的概率为 3 ．如果第一天选择室内健身，那么第二天继
1 2
续选择室内健身的概率为 2 ；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为 3 ．则张
同学
A. 5第二天去室内健身的概率为 9
B. 2第二天去户外运动的概率为 9
C. 2若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 5
D. 3若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 4
【答案】ACD
【解析】设 A1表示张同学第一天选择室内健身，A2表示张同学第二天选择室内健身，
B1表示张同学第一天选择户外运动，B2表示张同学第二天选择户外运动.
则 P A 2 11 = 3 ，P B1 = 3 ，P
1 2
A2 A1 = 2 ，P A2 B1 = 3 ，
P A
P A A = 2
P A1 A2
因为 2 1 = 12 ，所以 P A2 P A
1 2 1
P A 1
A2 = ×
1 2 3
= 3 ，
P A P B
P A B = 2 1
A2 = 2 P A P B A = 2 × 1 2因为 2 1 ，所以P B 3 2 1 2
= ，
1 3 3 9
1 2 5
对于 A，P A2 = P A2 P A1 A2 + P A2 P B1 A2 = 3 + 9 = 9 ，故 A正确；
对于 B，因为 P B2 = 1- P A2 = 1- 59 =
4
9 ，故 B错误；
2 2
对于C 9 9 2，因为 P B1 A2 = =P A2 5
= 5 ，故C正确；
9
2 1
P A P
D P A B = 1
B2 A1 P=
A1 1-P A2 A1 3 × 1- 2 3
对于 ，因为 1 2 =P B2 P B2 4
= 4 ，故D正确.
9
11.在半径为定值的球 O的表面上有四个不共面的点 A , B , C , D，且 AB为球 O的直径，已知 ∠AOC和
∠COD的大小，若再添加一个条件，则在确保四面体 ABCD存在的情况下，使得四面体 ABCD体积有唯
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一值的条件可以是
A. AD的长 B. ∠BCD的大小
C. CD与平面 ABC所成角的大小 D. 二面角C- AB-D的大小
【答案】ABC
【解析】如图，因 AB是球O的直径，所以∠ACB=∠ADB= 90°，
又∠AOC的大小已知，从而 AC为定值，从而 BC= AB2-AC2 也为定值，
由∠COD的大小已知，所以CD为定值 (△OCD唯一确定)，
V = 1由 D-ABC 3 S△ABCh(其中 h为点D到平面 ABC的距离)，要使四面体 ABCD的体积有唯一值 (即为定值)
只需点D到平面 ABC的距离 h为定值即可.
对于选项 A，当 AD的长为已知时，由∠ADB= 90°，那么 BD= AB2-AD2 也为定值，四面体 ABCD的 6
条边均可以唯一确定，四面体 ABCD的体积为唯一值，满足题意.
对于选项 B，当∠BCD的大小已知时，那么 BD为定值 (△BCD唯一确定)，同理，由∠ADB= 90°，AD=
AB2-BD2 也为定值，四面体 ABCD的 6条边均可以唯一确定，四面体 ABCD的体积为唯一值，满足题
意.
对于选项C，当CD与平面 ABC所成角已知时，不妨设为 θ，那么 h=CDsinθ，为定值，四面体 ABCD的体
积为唯一值，满足题意.
对于选项D，二面角C- AB-D为已知时，可以确定点C到平面 ABD的距离为定值，由于CD为定值，不
能唯一确定点D，△ABD不能唯一确定，不合题意.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12.已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 a5= 3，则 S9= .
【答案】27
9(a1+a9)
【解析】依题意，S9= 2 = 9a5= 9× 3= 27.
13.如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两
圆的圆心分别为坐标原点 O和点 C，月牙尖的坐标分别为 A -1,2 , B 2,-1 ，则圆 C的标准方程为
．
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【答案】 x-1 2 + y-1 2 = 5
【解析】由题易知，圆O的半径为 OA = 0+1 2 + 0-2 2 = 5，圆心C在 AB的垂直平分线上，
又 AB的斜率 k= 2+1-1-2 =-1，则直线OC的方程为 y= x，
设C a,a a≠0 ，所以 CA = a+1 2 + a-2 2 = 5，解得 a= 1，
所以圆C的方程为 x-1 2 + y-1 2 = 5.
2
14. x如图，O为坐标原点，F 21 , F2为椭圆C : 4 + y = 1的两个焦点，过 F1 , F2分别作椭圆C的切线 l的垂线，
垂足分别为H1 ,H2．当OH1⊥OH2时，△OH1H2的面积为 ．
【答案】2
【解析】由题意可知直线 l的斜率存在，设切线 l : y= kx+m，
y=kx+m
联立 x2 ，消去 y整理得 4k2+1 x22 + 8kmx+ 4m2- 4= 0，4 +y =1
∴Δ= 64k2m2- 4 4k2+1 4m2-4 = 0，化简得m2= 4k2+ 1；
因为 F1H1⊥ l，且 F1 - 3 ,0 ，则直线 F1H1 : x=-ky- 3，
km+ 3
x=-ky- 3 x=- k2+1 H - km+ 3 , m- 3k联立 y=kx+m ，解得 m- 3k ，所以 1 k2+1 k2+1 ，y= k2+1
km- 3
同理，可得H2 - 2 , m+ 3k2 ，k +1 k +1
2 2 2 2 2 2 2 2
∴ OH km+ 3 m- 3k k m +m +3 k +1 m +3 4 k +1 1 = - k2+1 + k2+1 = = k2+1 2 k2+1 = k2+1 = 2，
同理，可得 OH2 = 2，
1 1
又OH1⊥OH2，所以 S△OH =1H2 2 OH1 OH2 = 2 × 2× 2= 2.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图，平面 ABEF⊥平面 ABCD，四边形 ABEF与 ABCD都是直角梯形，∠BAD= ∠FAB= 90° , AD=
2BC , AF= 2BE．
(1)求证：C，D，E，F四点共面；
(2)设 AB= 2 , BC= BE= 1，求平面 ADE与平面CDE夹角的余弦值.
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【解析】(1)由平面 ABEF⊥平面 ABCD，AF⊥ AB，得 AF⊥平面 ABCD，以 A为坐标原点，建立如图所示
的直角坐标系 A- xyz：
设 AB= a , BC= b , BE= c，
则 B(a , 0 , 0) ,C(a , b , 0) , E(a , 0 , c) ,D(0 , 2b , 0) , F(0 , 0 , 2c)，
EC= 0,b,-c , FD= 0,2b,-2c
1
故 EC= 2 FD，∴ EC FD，
∴C ,D , E , F共面.
(2)设 AB= 2 , BC= BE= 1，故 B(2 , 0 , 0) ,C(2 , 1 , 0) , E(2 , 0 , 1) ,D(0 , 2 , 0)，
设平面 ADE的法向量为m= (x , y , z )，
1 1 1
由 AE= (2 , 0 , 1) , AD= (0 , 2 , 0)，CE= (0 ,-2 , 2)
2x1+z1=0
得 2y =0 ，取 x1= 1，可得 z1=-2；1
∴m = (1 , 0 ,-2)，
设平面CDE 的法向量为 n= (x , y , z )，
2 2 2
由CD= (-2 , 1 , 0)，BD= (-1 ,-1 , 0) ,CE= (0 ,-1 , 1)
-2x2+y2=0
得 -y +z =0 ，取 x2= 1，所以 y2= 2 , z2= 2，2 2
∴ n = (1 , 2 , 2)，
设平面 ADE与平面CDE夹角为 θ
m n 1-4
∴ cosθ= cos m ,n =
5
m
= = ,
n | 5 3 5
5
即平面 ADE与平面CDE夹角的余弦值 5 .
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16.设函数 f x = ex- a，已知 x= 0是函数 y= xf x 的极值点．
(1)求 a的值；
x- f x
(2) 设函数 g x = ，证明：gxf x
x >-1.
【解析】(1)因为 f x = ex- a，所以 y= xf x = xex- ax，则 y = ex- a+ xex，
因为 x= 0是函数 y= xf x 的极值点，所以 y x=0 = 1- a= 0，解得 a= 1，
当 a= 1时，y= xf x = xex- x，y = ex- 1+ xex，
当 x> 0时，ex> 1，则 ex- 1> 0，xex> 0，故 y = ex- 1+ xex> 0，所以函数 y= xf x 在 0,+∞ 上单调
递增；
当 x< 0时，ex< 1，则 ex- 1< 0，xex< 0，故 y = ex- 1+ xex< 0，所以函数 y= xf x 在 -∞,0 上单调
递减；
综上，x= 0是函数 y= xf x 的极值点，符合题意，故 a= 1.
x- f x x- ex-1
(2)由 (1) f x = ex- 1 g x = 得 ，所以 = , x≠ 0，xf x x ex-1
由 (1)可知，x= 0是函数 y= xf x 的最小值点，所以对任意的 x≠ 0，y= xf x > 0，
x- f x
要证 g x
= >-1，即证 x- f x >-xf xxf x
，
即证 x- ex-1 >-x ex-1 ，只需证 x-1 ex-1 + x> 0，
令 h x = x-1 ex-1 + x，则 h x = xex，
当 x∈ -∞,0 时，h x < 0，h x 单调递减，当 x∈ 0,+∞ 时，h x > 0，h x 单调递增，
所以 h x > h 0 = 0，
x- f x
综上，g x = >-1在 x∈ -∞,0 ∪ 0,+∞ 上恒成立.xf x
17.设△ABC的内角 A , B ,C sinA+cosAtanB所对的边分别为 a , b , c，且 A≤ B，记m= sinC+cosCtanB .
(1)若 A , B ,C成等差数列，求m的最小值；
(2)若 a , b , c成等比数列，求m的取值范围.
【解析】
sinB
(1)m= sinA+cosAtanB
sinA+cosA
= cosB = sinAcosB+cosAsinB
sin A+B sinC
sinC+cosCtanB sinC+cosC sinB sinCcosB+cosCsinB
= =
sin B+C sinA
，
cosB
因为 A , B ,C成等差数列，所以 2B= A+C，
又 A+ B+C= π，所以 B= π3 ，又 A≤ B
π
，所以 0< A≤ 3 ，
所以 sinC= sin π-A-B = sin π A+B = sin A+ 3 ，
sin A+ π 1 3sinC 3 2 sinA+ 2 cosA∴m= 1 3 1sinA = sinA = sinA = 2 + 2 tanA ，
当 tanA取得最大值时，m取得最小值，
因为 0< A≤ π3 ，所以 0< tanA≤ 3，
π
所以当 A= 3 时，m取得最小值 1.
(2)因为 a , b , c成等比数列，所以 b2= ac，
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(1) m= sinC由 知 sinA ，
a = b = c m= sinC c因为 sinA sinB sinC ，所以 sinA = a > 0，
将 b= ac代入 a-c < b< a+ c，化简得 a-c 2 < ac< a+c 2 ，
a c a c 1
两边同除以 ac，得 c - 2+ a < 1< c + 2+ a ，即 m - 2+m< 1<
1
m + 2+m，
所以 m
2-3m+1<0 3- 5
m2+m+1>0 ，解得 2 3+ 5
2 ，
A≤ B a≤ b a≤ ac c因为 ，所以 ，即 ，得 a ≥ 1，
所以m 3+ 5的取值范围为 1, 2 .
x2 y218.设双曲线 C : 2 - 2 = 1 a,b>0 的离心率为 2，其左、右焦点分别是 F1 , F2，过 F2的直线 l与双曲线 Ca b
的右支交于点M ,N．当MN与 x轴垂直时， MN = 6．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)求 MF2 NF2 的最小值；
(3)记△F1MN的内切圆⊙ P与双曲线C的一个公共点为Q，双曲线C的左顶点为 A，证明：∠APQ=
2∠F2PQ.
c
【解析】(1)不妨设点M在第一象限，点N在第四象限，离心率 e= a = 2①，
x2 - y
2 2 2 2
在 2 2 = 1中，当 x= c时，y=±
b
a ，故 |MN | =
2b
a = 6
b
，即 a = 3②，a b
又因 c2= a2+ b2 a=1③，联立①②③，解得 b= 3，
y2
故双曲线C的标准方程为 x2- 3 = 1.
(2)由 (1)得 F2(2 , 0)，当直线MN的斜率为 0时，直线MN与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符
合条件；
当直线MN的斜率不为 0时，设直线MN的方程为 x= ty+ 2，
x= ty+2由 2 ，化简得 (3t2- 1)y2+ 12ty+ 9= 0，x2- y3 =1
3t2-1≠0
2
设M (x , y ) ,N(x , y )，则 Δ=36t +36>0 2 11 1 2 2 ，解得 0≤ t < 3 ，
y y =
9
1 2 3t2-1 <0
9(1+ t2
则 MF NF = 1+ t2
)
2 2 y1 1+ t2 y 2
12
2 =- (1+ t )y1y2=- 2 =-3+ ，3t -1 1-3t2
因 0≤ t2< 13 ，则 0< 1- 3t
2≤ 1 12 12，故 2 ≥ 12，即-3+ ≥ 9.1-3t 1-3t2
故 MF2 NF2 的最小值为 9.
(3)如图，设⊙ P与边MN切于点 E，
由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得，2|ME| = |MF1| +|MN | -|NF1|
= |MF1| +|MF2| +|NF2| -|NF1| = (2+ |MF2|) + |MF2| - (|NF1| -|NF2|)
= 2+ |MF2| +|MF2| -2= 2|MF2|，即点 F2与点 E重合，即⊙ P与边MN切于点 F2.
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设⊙ P与边 F1M切于点G，则 |GF1| = |MF1| -|MG| = |MF1| -|MF2| = 2，
在 Rt△PGF1中，|PF1|2= |PG|2+ |GF1|2= |PF 22| + |GF1|2= |PF |22 + 4.
设点 P(x , y )，点Q(x , y )，则 (x + 2)2+ y2= (x - 2)2+ y2+ 4 x = 10 0 3 3 0 0 0 0 ，解得 0 2 ，
1
即点 P在直线 x= 2 上，过点Q(x3 , y3)作直线 x=
1
2 的垂线，交直线 x=
1
2 于点 T，
|QF 2 2 2 2 2 x -
1
2| = (x3-2) +y3 = (x3-2) +3(x3-1)
3 2
其中，| | = = 2，QT x - 1 1 13 2 x3- 2 x3- 2
设点Q 1关于直线 x= 2 的对称点为点D，所以 |QF2| = 2|QT | = |QD|.
1
因为点Q与点D，点 A与点 F2分别关于直线 x= 2 对称，
所以 |DA| = |QF2| = |QD|，|PA| = |PF2|且 |PQ| = |PD|，
所以点 A ,D ,Q均在⊙ P上，且∠APD=∠DPQ=∠QPF2，
所以∠APQ= 2∠F2PQ.
19.甲社区有 n个女生和 n个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有 n个女生 g1 , g2 , , gn和 2n- 1个
男生 b1 , b2 , , b2n-1，其中女生 gi i=1,2, ,n 认识男生 b j j=1,2, ,2i-1 ，但不认识其他男生．现从
甲社区和乙社区分别选出m m=1,2, ,n 队选手参加社区比赛，每队选手均为 2人．
(1)若 n= 3，m= 1，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率；
(2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的m队的不同的选
法种数为 An m 和 Bn m ．
(ⅰ)求 An m ，并证明：当 2≤m≤ n- 1时，An m = An-1 m + 2n-m An-1 m-1 递推公式，并说明理
由；
(ⅱ)若乙社区将选出的m个男生和m个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率.
【解析】(1)设事件 A1表示“甲社区的参赛选手都是女生”，事件 B1表示“乙社区的参赛选手都是女生”，
事件 A2表示“甲社区的参赛选手都是男生”，事件 B2表示“乙社区的参赛选手都是男生”，
C2 1 C2 2P A = P A = 3 = P B = 3 = 3 P B = C5 = 5则 1 2 2 5 ， ，C 1 C2 28 2 C26 8 8 14
，
所有参赛队伍的参赛选手性别相同只有两种情况，都是男生或者都是女生，即 A1B1∪ A2B2，
因为 A1∩ A2= ，所以 A1B1∩ A2B2= ，即事件 A1B1与 A2B2互斥，
又事件 A1与 B1互相独立，事件 A2与 B2互相独立，
1 3 1 5 13
所以所求事件的概率 P= P A1B1∪A2B2 = P A1 P B1 + P A2 P B2 = 5 × 28 + 5 × 14 = 140 .
数学试题 第 10 页 共 11 页
2
(2) (i)因为甲社区中男生和女生都认识，因此 A m = Cm 2 Am
n!
n n m=
，
n-m ! 2 m!
n-1 ! 2
当 2≤m≤ n- 1时，A m = Cm 2 Am=
，A m-1 = Cm-1 2 m-1n-1 n-1 m 2 n-1 n-1 Am-1= n-m-1 ! m!
n-1 ! 2
，
n-m ! 2 m-1 !
n2 n-1 ! 2
所以 An m = 2 2 ， n-m m n-m-1 ! m-1 ！
n-1 !A m =
2 n-1 ! 2
n-1 2 =
1 ，
n-m-1 ! m！ m n-m-1 ! 2 m-1 ！
n-1 ! 2A m-1 = = 1
n-1 ! 2
n-1 ，
n-m ! 2 m-1 ！ n-m 2 n-m-1 ! 2 m-1 ！
1 n-m 2+ 2n-m m 2 2 2 2
因为 m + 2n-m
1 = = n -2mn+m +2mn-m 2 2 =
n
，
n-m n-m m n-m 2 m n-m 2 m
n-1 ! 2
两边同乘以 ，得 A m = A
n-m-1 ! 2 m-1 n n-1
m + 2n-m An-1 m-1 .
！
(ii)先考虑 Bn m 的递推关系式.
当 2≤m≤ n- 1时，考虑乙社区中的女生 gn，有以下两种情况：
①当女生 gn被选中时，其余m- 1队共有 Bn-1 m-1 种不同的选法，
gn可在余下 2n-1 - m-1 = 2n-m个男生中任选一人，有 2n-m种选法，
因此由乘法计数原理可知，共有 2n-m Bn-1 m-1 种选法；
②当女生 gn没被选中时，此时从 g1 , g2 , , gn-1中选出m个女生，从 b1 , b2 , , b2n-3中选出m个男生组
队，共有 Bn-1 m 种选法；
所以当 2≤m≤ n- 1时，Bn m = Bn-1 m + 2n-m Bn-1 m-1 ，
当m= n时，由前述分析可得 Bn n = nBn-1 n-1 ，
由 (i) A n =nA n-1可知 An m n
n-1
满足相同的递推公式 An m =An-1 m + 2n-m An-1 m-1 ，
因为 A 1 = n2
n 1+2n-1
n ，Bn 1 = 1+ 3+ + 2n-1 = 2 = n
2= An 1 ，A2 2 = 2= B2 2 ，
所以 An m 和 Bn m 有相同的递推关系和初始值，
所以对任意 n∈N *和m= 1 , 2 , , n，均有 An m = Bn m .
所以 An m = Cm 2n Amm，
设乙社区中各选m个男生和m个女生，男、女组成m个队，共有Ω m 种情况，且Ω m =Cm m mn C2n-1 Am，
B
P= n
m A= n
m Cm 2 m m= n
Am C n! 2n-1-m !
因此，满足组队要求的概率 = n
Ω m Ω m Cm Cm Am Cm
= .
n 2n-1 m 2n-1 n-m ! 2n-1 !
数学试题 第 11 页 共 11 页广东 2026届高三一模
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 A= 2,a , B= -2,b ，若 A= B，则 a+ b=
A. - 2 B. 0 C. 2 D. 4
2.在 1-x 4 + 1-x 5 的展开式中，含 x2的项的系数是
A. - 4 B. 4 C. - 16 D. 16
3.已知 i为虚数单位，复数 z= cos75°+isin75° cos15°+isin15° ，则 z =
A. 1 B. 2 C. 2 D. 6
4.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 y2= 3 x的图象上，则这个正三角形的边长
为
A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 6
5.已知数据 x1 , x2 , x3的平均数为 1，方差为 2，则数据 x1 , x2 , x3 , 2x1- 1 , 2x2- 1 , 2x3- 1的方差为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6.已知下图是一个边长为 3的九宫格 (由 9个边长为 1的小正方形构成)，九宫格中有
16个节点 (如图加黑的 16个点)，从这 16个点中任选互不相同的三个点 A , B , C，
则 AB AC的最大值为
A. 12 B. 13 C. 15 D. 18
7.如图，正方体 ABCD- A1B1C1D1的棱长为 4，P为正方形 BCC1B1的中心，Q为棱
DD1的中点，过点 A , P ,Q的平面将正方体分成上、下两部分，则较小的部分体
积大小为
A. 16 B. 18
C. 643 D. 24
8.已知曲线C : x2-y
2
3x -y= 81，则曲线C上的点到原点距离的最小值为
A. 112 B. 2 C. 2 2 D. 22
数学试题 第 1 页 共 4 页
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9. π下列四个函数中，以 2π为最小正周期，且在区间 2 ,π 上单调递减的有
A. y=-sinx B. y= 1+ cosx C. y=-tanx D. y= cos x2
10.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件 A , B存在如下关系：
P A P B∣AP A∣B = ．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第P B
2 1
一天选择室内健身的概率为 3 ，选择户外运动的概率为 3 ．如果第一天选择室内健身，那么第二天继
1 2
续选择室内健身的概率为 2 ；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为 3 ．则张
同学
A. 5第二天去室内健身的概率为 9
B. 2第二天去户外运动的概率为 9
C. 2若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 5
D. 3若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 4
11.在半径为定值的球 O的表面上有四个不共面的点 A , B , C , D，且 AB为球 O的直径，已知 ∠AOC和
∠COD的大小，若再添加一个条件，则在确保四面体 ABCD存在的情况下，使得四面体 ABCD体积有唯
一值的条件可以是
A. AD的长 B. ∠BCD的大小
C. CD与平面 ABC所成角的大小 D. 二面角C- AB-D的大小
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12.已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 a5= 3，则 S9= .
13.如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在
圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点O和点C，月牙尖的坐标分别为 A -1,2 ,
B 2,-1 ，则圆C的标准方程为 ．
2
14.如图，O为坐标原点，F1 , F2为椭圆C : x4 + y
2= 1的两个焦点，过 F1 , F2分别作椭圆C
的切线 l的垂线，垂足分别为H1 ,H2．当OH1⊥OH2时，△OH1H2的面积为 ．
数学试题 第 2 页 共 4 页
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图，平面 ABEF⊥平面 ABCD，四边形 ABEF与 ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB= 90° , AD= 2BC
, AF= 2BE．
(1)求证：C，D，E，F四点共面；
(2)设 AB= 2 , BC= BE= 1，求平面 ADE与平面CDE夹角的余弦值.
16.设函数 f x = ex- a，已知 x= 0是函数 y= xf x 的极值点．
(1)求 a的值；
x- f x
(2)设函数 g x =
，证明：g x >-1.xf x
17.设△ABC的内角 A , B ,C所对的边分别为 a , b , c sinA+cosAtanB，且 A≤ B，记m= sinC+cosCtanB .
(1)若 A , B ,C成等差数列，求m的最小值；
(2)若 a , b , c成等比数列，求m的取值范围.
数学试题 第 3 页 共 4 页
x2 y218.设双曲线 C : 2 - 2 = 1 a,b>0 的离心率为 2，其左、右焦点分别是 F1 , F2，过 Fa b 2
的直线 l与双曲线 C
的右支交于点M ,N．当MN与 x轴垂直时， MN = 6．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)求 MF2 NF2 的最小值；
(3)记△F1MN的内切圆⊙ P与双曲线C的一个公共点为Q，双曲线C的左顶点为 A，证明：∠APQ=
2∠F2PQ.
19.甲社区有 n个女生和 n个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有 n个女生 g1 , g2 , , gn和 2n- 1个
男生 b1 , b2 , , b2n-1，其中女生 gi i=1,2, ,n 认识男生 b j j=1,2, ,2i-1 ，但不认识其他男生．现从
甲社区和乙社区分别选出m m=1,2, ,n 队选手参加社区比赛，每队选手均为 2人．
(1)若 n= 3，m= 1，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率；
(2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的m队的不同的选
法种数为 An m 和 Bn m ．
(ⅰ)求 An m ，并证明：当 2≤m≤ n- 1时，An m = An-1 m + 2n-m An-1 m-1 递推公式，并说明理
由；
(ⅱ)若乙社区将选出的m个男生和m个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率.
数学试题 第 4 页 共 4 页
参考答案
1. B
【解析】由于集合 A= 2,a , B= -2,b ，A= B，则 a=-2 , b= 2，故 a+ b= 0.
2. D
【解析】对于 1-x 4 + 1-x 5 的展开式，含 x2的项为C24(-x)2+C25(-x)2= 16x2，故该项的系数为 16.
3. A
【解析】因 z= cos75°+isin75° cos15°+isin15° = cos(75° +15°) + isin(75° +15°) = i，
则 z = 1.
4. D
【解析】设正三角形的边长为 2a，由抛物线的对称性及题意可得，其另外两个顶点的坐标为 3a,±a ，
又另外两个顶点 抛物线 y2= 3 x上，所以 a2= 3 3a，得 a= 3，所以这个正三角形的边长为 6.
5. B
【解析】因 x1 , x2 , x3的平均数为 1，方差为 2，则 x1+ x2+ x3= 3，
x +x +x +2x -1+2x -1+2x -1
于是数据 x1 , x2 , x3 , 2x1- 1 , 2x2- 1 , 2x3- 1的平均数为 1 2 3 1 2 36 = 1，
x1-1 2 + x -1 22 + x3-1 2
又 3 = 2，则 x -1
2
1 + x 22-1 + x3-1 2 = 6，
于是数据 x1 , x2 , x3 , 2x1- 1 , 2x2- 1 , 2x3- 1的方差为：
x 2 21-1 + x2-1 + x3-1 2 + 2x1-1-1 2 + 2x2-1-1 2 + 2x3-1-1 2
6
= 5 56 x -1
2
1 + x -1 22 + x3-1 2 = 6 × 6= 5.
6. C
【解析】建立如图所示的直角坐标系，
16个点的坐标为 0,0 , 0,1 , 0,2 , 0,3 , 1,0 , 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,0 , 2,1 , 2,2 ,
2,3 , 3,0 , 3,1 , 3,2 , 3,3
若 A点在原点，任取两点作为向量坐标，发现 2,3 · 3,3 = 15或 3,2 · 3,3 = 15取得最大值，故
AB·AC的最大值为 15.
经检验可知，当 AB，AC取其他坐标时，AB·AC的值均不会超过 15.
7. D
【解析】如图，取CC1的中点 R，连接 BR ,QR ,过点 P作直线 EF BR，分别交 BB1 ,CC1于点 E , F，连接
BC1 ,QF , AE，
参考答案 1 页 共 8 页
P BCC B BC ∩ EF= P BP=C P BE=C F= FR= 1 C R= 1因 为正方形 1 1的中心，则 1 ，因 1 ，则易得 1 2 1 4 CC1
= 1.
又因Q为棱DD1的中点，则易得QR DC AB ,QR=DC= AB，即四边形 ABRQ为平行四边形，
则得 BR AQ，故 AQ EF，于是，平面 AEFQ即过点 A , P ,Q的截面，
显然正方体被截面分成的较小的部分为多面体 ADQ- BEFC，记其体积为V，
1
则V=V三棱柱ABE-QRF+V三棱柱ADQ-BCR= 2 × 4× 1× 4+
1
2 × 4× 2× 4= 24.
8. A
t= x2- y t 3t= 81 t> 0 3t= 81【解析】设 ，则得 ，显然 ，则 t ，
设 f (t) = 3t- 81t ，则 f
(t) = 3tln3+ 812 ，t
当 t> 0时，f (t)> 0，即函数 f (t) = 3t- 81t 在 (0 ,+∞)上单调递增，
又 f (3) = 33- 813 = 0，则 t= 3，此时，C : y= x
2- 3，
设曲线C上任一点 P(m , n)，则m2= n+ 3，且 n=m2- 3≥-3，
2
则 |OP| = m2+n2= n2+n+3= n+ 1 + 112 4 ，
故当 n=- 12 时，|OP|
11
取得最小值为 2 .
9. BD
【解析】对于 A，因函数 y= sinx π在 2 ,π 上单调递减，故 y=-sinx
π
在区间 2 ,π 上单调递增，故 A错
误；
对于 B，函数 y= 1+ cosx的最小正周期为 2π π，且在 2 ,π 上单调递减，故 B正确；
对于C，函数 y=-tanx的最小正周期为 π，故C错误；
对于D x x，因函数 y= cos 2 的最小正周期为 4π，则函数 y= cos 2 的最小正周期为 2π，
π x π π x π π
当 x∈ 2 ,π 时，2 ∈ 4 , 2 ，函数 y= cos 2 在 4 , 2 上单调递减且函数值为正，
y= cos x π故函数 2 在 2 ,π 上单调递减，即D正确.
10. ACD
【解析】设 A1表示张同学第一天选择室内健身，A2表示张同学第二天选择室内健身，
B1表示张同学第一天选择户外运动，B2表示张同学第二天选择户外运动.
则 P 2 1 A1 = 3 ，P B1 = 3 ，P A2 A1 =
1 P A B = 22 ， 2 1 3 ，
参考答案 2 页 共 8 页
P
P A A =
A2 P A1 A2 = 1 1 2 1因为 2 1 P A 2
，所以 P A2 P A1 A2 =
1 2
× 3 = 3 ，
P A2 P B1 AP A B = 2 = 2 2 1 2因为 2 1 P B 3
，所以 P A2 P B1 A2 = 3 × 3 = ， 1 9
对于 A，P A2 = P A2 P A1 A2 + P A2 P B 1 21 A2 = 3 + 9 =
5
9 ，故 A正确；
5 4
对于 B，因为 P B2 = 1- P A2 = 1- 9 = 9 ，故 B错误；
2 2
对于C，因为 P B1 A = 9 = 92 5 =
2
5 ，故C正确；P A2
9
2
P A P B A P A 1-P A A 3 ×1 2 1 1 2 1 1-
1
2 D 3对于 ，因为 P A1 B2 = = = 4 = 4 ，故D正确.P B2 P B2
9
11. ABC
【解析】如图，因 AB是球O的直径，所以∠ACB=∠ADB= 90°，
又∠AOC的大小已知，从而 AC为定值，从而 BC= AB2-AC2 也为定值，
由∠COD的大小已知，所以CD为定值 (△OCD唯一确定)，
1
由VD-ABC= 3 S△ABCh(其中 h为点D到平面 ABC的距离)，要使四面体 ABCD的体积有唯一值 (即为定值)
只需点D到平面 ABC的距离 h为定值即可.
对于选项 A，当 AD的长为已知时，由∠ADB= 90°，那么 BD= AB2-AD2 也为定值，四面体 ABCD的 6
条边均可以唯一确定，四面体 ABCD的体积为唯一值，满足题意.
对于选项 B，当∠BCD的大小已知时，那么 BD为定值 (△BCD唯一确定)，同理，由∠ADB= 90°，AD=
AB2-BD2 也为定值，四面体 ABCD的 6条边均可以唯一确定，四面体 ABCD的体积为唯一值，满足题
意.
对于选项C，当CD与平面 ABC所成角已知时，不妨设为 θ，那么 h=CDsinθ，为定值，四面体 ABCD的体
积为唯一值，满足题意.
对于选项D，二面角C- AB-D为已知时，可以确定点C到平面 ABD的距离为定值，由于CD为定值，不
能唯一确定点D，△ABD不能唯一确定，不合题意.
12. 27
9(a1+a9)
【解析】依题意，S9= 2 = 9a5= 9× 3= 27.
13. x-1 2 + y-1 2 = 5
【解析】由题易知，圆O的半径为 OA = 0+1 2 + 0-2 2 = 5，圆心C在 AB的垂直平分线上，
又 AB 2+1的斜率 k= -1-2 =-1，则直线OC的方程为 y= x，
参考答案 3 页 共 8 页
设C a,a a≠0 ，所以 CA = a+1 2 + a-2 2 = 5，解得 a= 1，
所以圆C的方程为 x-1 2 + y-1 2 = 5.
14. 2
【解析】由题意可知直线 l的斜率存在，设切线 l : y= kx+m，
y=kx+m联立 x2 2 ，消去 y整理得 4k2+1+y =1 x2+ 8kmx+ 4m2- 4= 0，4
∴Δ= 64k2m2- 4 4k2+1 4m2-4 = 0，化简得m2= 4k2+ 1；
因为 F1H1⊥ l，且 F1 - 3 ,0 ，则直线 F1H1 : x=-ky- 3，
x=- km+ 3
联立 x=-ky- 3 k2+1 km+ 3 m- 3k y=kx+m ，解得 m- 3k ，所以H1 - ,k2+1 k2+1 ，y= k2+1
H - km- 3 m+ 3k同理，可得 2 k2 , ，+1 k2+1
km+ 3 2 m- 3k 2 k2m2 2∴ OH = - + = +m +3 k
2+1 2 4 k2+1
m +31 k2+1 k2+1 k2
= = = 2，
+1 2 k2+1 k2+1
同理，可得 OH2 = 2，
又OH1⊥OH 1 12，所以 S△OH H = 2 OH1 OH2 = 2 × 2× 2= 2.1 2
15. (1)由平面 ABEF⊥平面 ABCD，AF⊥ AB，得 AF⊥平面 ABCD，以 A为坐标原点，建立如图所示的直角
坐标系 A- xyz：
设 AB= a , BC= b , BE= c，
则 B(a , 0 , 0) ,C(a , b , 0) , E(a , 0 , c) ,D(0 , 2b , 0) , F(0 , 0 , 2c)，
EC= 0,b,-c , FD= 0,2b,-2c
故 EC= 12 FD，∴ EC FD，
∴C ,D , E , F共面.
(2)设 AB= 2 , BC= BE= 1，故 B(2 , 0 , 0) ,C(2 , 1 , 0) , E(2 , 0 , 1) ,D(0 , 2 , 0)，
设平面 ADE的法向量为m = (x1 , y1 , z1)，
由 AE= (2 , 0 , 1) , AD= (0 , 2 , 0)，CE= (0 ,-2 , 2)
2x1+z1=0得 2y =0 ，取 x1= 1，可得 z1=-2；1
∴m = (1 , 0 ,-2)，
设平面CDE 的法向量为 n= (x2 , y2 , z2)，
参考答案 4 页 共 8 页
由CD= (-2 , 1 , 0)，BD= (-1 ,-1 , 0) ,CE= (0 ,-1 , 1)
-2x2+y2=0得 -y +z =0 ，取 x2= 1，所以 y2= 2 , z2= 2，2 2
∴ n = (1 , 2 , 2)，
设平面 ADE与平面CDE夹角为 θ
m n 1-4
∴ cosθ= cos m ,n = =
= 5 ,
m n | 5 3 5
即平面 ADE与平面CDE 5夹角的余弦值 5 .
16. (1)因为 f x = ex- a，所以 y= xf x = xex- ax，则 y = ex- a+ xex，
因为 x= 0是函数 y= xf x 的极值点，所以 y x=0 = 1- a= 0，解得 a= 1，
当 a= 1时，y= xf x = xex- x，y = ex- 1+ xex，
当 x> 0时，ex> 1，则 ex- 1> 0，xex> 0，故 y = ex- 1+ xex> 0，所以函数 y= xf x 在 0,+∞ 上单调
递增；
当 x< 0时，ex< 1，则 ex- 1< 0，xex< 0，故 y = ex- 1+ xex< 0，所以函数 y= xf x 在 -∞,0 上单调
递减；
综上，x= 0是函数 y= xf x 的极值点，符合题意，故 a= 1.
x x- f x x- e
x-1
(2) 由 (1)得 f x = e - 1，所以 g x = = , x≠ 0，xf x x ex-1
由 (1)可知，x= 0是函数 y= xf x 的最小值点，所以对任意的 x≠ 0，y= xf x > 0，
x- f x
要证 g x = >-1，即证 x- f x >-xf x ，xf x
即证 x- ex-1 >-x ex-1 ，只需证 x-1 ex-1 + x> 0，
令 h x = x-1 ex-1 + x，则 h x = xex，
当 x∈ -∞,0 时，h x < 0，h x 单调递减，当 x∈ 0,+∞ 时，h x > 0，h x 单调递增，
所以 h x > h 0 = 0，
x- f x
综上，g x =
>-1在 x∈ -∞,0 ∪ 0,+∞ 上恒成立.xf x
sinB
17. (1)m= sinA+cosAtanB
sinA+cosA
= cosB sinAcosB+cosAsinB
sin A+B sinC
sinC+cosCtanB sinC+cosC sinB
= sinCcosB+cosCsinB = = sinA ，sin B+C
cosB
因为 A , B ,C成等差数列，所以 2B= A+C，
π π
又 A+ B+C= π，所以 B= 3 ，又 A≤ B，所以 0< A≤ 3 ，
所以 sinC= sin π-A-B = sin A+B = sin A+ π3 ，
sinC sin A+
π
3
1 sinA+ 3 cosA
∴m= sinA = sinA =
2 2 = 1 + 3 1sinA 2 2 tanA ，
当 tanA取得最大值时，m取得最小值，
0< A≤ π因为 3 ，所以 0< tanA≤ 3，
π
所以当 A= 3 时，m取得最小值 1.
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(2)因为 a , b , c成等比数列，所以 b2= ac，
由 (1) m= sinC知 sinA ，
a = b = c m= sinC c因为 sinA sinB sinC ，所以 sinA = a > 0，
将 b= ac代入 a-c < b< a+ c，化简得 a-c 2 < ac< a+c 2 ，
两边同除以 ac a，得 c - 2+
c
a < 1<
a
c + 2+
c 1
a ，即 m - 2+m< 1<
1
m + 2+m，
m2-3m+1<0 3- 5 3+ 5所以 m2+m+1>0 ，解得 2 因为 A≤ B，所以 a≤ b，即 a≤ ac c，得 a ≥ 1，
m 3+ 5所以 的取值范围为 1, 2 .
18. (1) c不妨设点M在第一象限，点N在第四象限，离心率 e= a = 2①，
x2 - y
2 2 2 2
在 2 2 = 1中，当 x= c时，y=±
b 2b b
a ，故 |MN | = a = 6，即 a = 3②，a b
又因 c2= a2+ b2 a=1③，联立①②③，解得 b= 3，
y2
故双曲线C的标准方程为 x2- 3 = 1.
(2)由 (1)得 F2(2 , 0)，当直线MN的斜率为 0时，直线MN与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符
合条件；
当直线MN的斜率不为 0时，设直线MN的方程为 x= ty+ 2，
x= ty+2由 2 ，化简得 (3t2- 1)y2+ 12ty+ 9= 0，x2- y3 =1
2
3t -1≠0 2
设M (x , y ) ,N(x , y )，则 Δ=36t +36>0 11 1 2 2 ，解得 0≤ t2<
y y = 9 <0 3
，
1 2 3t2-1
9(1+ t2)
则 MF 2 2 122 NF2 = 1+ t y1 1+ t y2 =- (1+ t2)y1y2=- =-3+3t2-1 1-3t2
，
因 0≤ t2< 13 ，则 0< 1- 3t
2≤ 1 12，故 2 ≥ 12
12
，即-3+ 2 ≥ 9.1-3t 1-3t
故 MF2 NF2 的最小值为 9.
(3)如图，设⊙ P与边MN切于点 E，
由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得，2|ME| = |MF1| +|MN | -|NF1|
= |MF1| +|MF2| +|NF2| -|NF1| = (2+ |MF2|) + |MF2| - (|NF1| -|NF2|)
= 2+ |MF2| +|MF2| -2= 2|MF2|，即点 F2与点 E重合，即⊙ P与边MN切于点 F2.
设⊙ P与边 F1M切于点G，则 |GF1| = |MF1| -|MG| = |MF1| -|MF2| = 2，
在 Rt△PGF 中，|PF |2= |PG|2+ |GF |21 1 1 = |PF2|2+ |GF1|2= |PF2|2+ 4.
设点 P(x0 , y0)，点Q(x3 , y3)，则 (x 2 2 20+ 2) + y0= (x0- 2) + y20+ 4，解得 x0=
1
2 ，
即点 P在直线 x= 12 上，过点Q(x3 , y3)
1
作直线 x= 2 的垂线，交直线 x=
1
2 于点 T，
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1
|QF | (x -2)2+y22 = 3 3 = (x3-2)
2+3(x23-1) 2 x3- 2
其中，| | 1 = = 2，QT x3- 2 x
1
3- 2 x3-
1
2
1
设点Q关于直线 x= 2 的对称点为点D，所以 |QF2| = 2|QT | = |QD|.
1
因为点Q与点D，点 A与点 F2分别关于直线 x= 2 对称，
所以 |DA| = |QF2| = |QD|，|PA| = |PF2|且 |PQ| = |PD|，
所以点 A ,D ,Q均在⊙ P上，且∠APD=∠DPQ=∠QPF2，
所以∠APQ= 2∠F2PQ.
19. (1)设事件 A1表示“甲社区的参赛选手都是女生”，事件 B1表示“乙社区的参赛选手都是女生”，
事件 A2表示“甲社区的参赛选手都是男生”，事件 B2表示“乙社区的参赛选手都是男生”，
2 2 2
则 P A = P A =
C3 = 1 ，P C B = 3 = 3 ，P B =
C
5
5
1 2 C2 1 2 2 2
= ，
6 5 C8 28 C8 14
所有参赛队伍的参赛选手性别相同只有两种情况，都是男生或者都是女生，即 A1B1∪ A2B2，
因为 A1∩ A2= ，所以 A1B1∩ A2B2= ，即事件 A1B1与 A2B2互斥，
又事件 A1与 B1互相独立，事件 A2与 B2互相独立，
1 3 1 5 13
所以所求事件的概率 P= P A1B1∪A2B2 = P A1 P B1 + P A2 P B2 = 5 × 28 + 5 × 14 = 140 .
n! 2(2) (i)因为甲社区中男生和女生都认识，因此 A m = Cm 2 m
n n Am= ，
n-m ! 2 m!
n-1 ! 2
当 2≤m≤ n- 1时，A n-1 m = Cm 2n-1 Amm= 2 ，An-1 m-1 = Cm-1
2 m-1
n-m-1 ! m! n-1
Am-1=
n-1 ! 2
，
n-m ! 2 m-1 !
n2 n-1 ! 2
所以 An m = ，
n-m 2 m n-m-1 ! 2 m-1 ！
n-1 !A m =
2
= 1
n-1 ! 2
n-1 ，
n-m-1 ! 2 m！ m n-m-1 ! 2 m-1 ！
n-1 ! 2A m-1 = = 1
n-1 ! 2
n-1 ，
n-m ! 2 m-1 ！ n-m 2 n-m-1 ! 2 m-1 ！
1 1 n-m 2 + 2n-m m n2-2mn+m2+2mn-m2 2
因为 m + 2n-m = = =
n
，
n-m 2 n-m 2 m n-m 2 m n-m 2 m
n-1 ! 2
两边同乘以 ，得 A m = A
n-m-1 ! 2 m-1 n n-1
m + 2n-m An-1 m-1 .
！
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(ii)先考虑 Bn m 的递推关系式.
当 2≤m≤ n- 1时，考虑乙社区中的女生 gn，有以下两种情况：
①当女生 gn被选中时，其余m- 1队共有 Bn-1 m-1 种不同的选法，
gn可在余下 2n-1 - m-1 = 2n-m个男生中任选一人，有 2n-m种选法，
因此由乘法计数原理可知，共有 2n-m Bn-1 m-1 种选法；
②当女生 gn没被选中时，此时从 g1 , g2 , , gn-1中选出m个女生，从 b1 , b2 , , b2n-3中选出m个男生组
队，共有 Bn-1 m 种选法；
所以当 2≤m≤ n- 1时，Bn m = Bn-1 m + 2n-m Bn-1 m-1 ，
当m= n时，由前述分析可得 Bn n = nBn-1 n-1 ，
( ) A n =nAi A m n n-1 n-1 由 可知 n 满足相同的递推公式 An m =An-1 m + 2n-m An-1 m-1 ，
n
A
1+2n-1
因为 n 1 = n2，Bn 1 = 1+ 3+ + 2n-1 = 2 = n
2= An 1 ，A2 2 = 2= B2 2 ，
所以 An m 和 Bn m 有相同的递推关系和初始值，
所以对任意 n∈N *和m= 1 , 2 , , n，均有 An m = Bn m .
所以 An m = Cm 2n Amm，
设乙社区中各选m个男生和m个女生，男、女组成m个队，共有Ω m 种情况，且Ω m =Cm Cm mn 2n-1 Am，
Bn m AP= = n
m Cm 2= n
Am mm Cn n! 2n-1-m !因此，满足组队要求的概率
Ω m Ω m Cm m m
= m = .
n C2n-1 Am C2n-1 n-m ! 2n-1 !
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