2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习二十三：二次函数中特殊三角形存在性问题（含答案）

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2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习二十三：二次函数中特殊三角形存在性问题
1．如图，二次函数的图象与x轴相交于点A和点，交y轴于点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形的面积（请在图1中探索）；
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
2．如图，抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线下方的抛物线上有一点动点M（不与点B、C重合）：
①若点M是抛物线的顶点，判断是否为直角三角形，并说明理由；
②求出面积的最大值及此时的点的坐标．
3．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)写出点A，B，C的坐标；
(2)点P为第一象限内抛物线上一动点，求面积的最大值；
(3)若M为抛物线的对称轴上的一个动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
4．已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求的值；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标；
(3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标．
5．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为．
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标．
(2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若在y轴上存在一点E，使为等腰三角形，请直接写出以为腰时点E的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线 经过，两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若是直角三角形，请直接写出点的坐标．
7．抛物线交轴于点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标；
(3)在抛物线对称轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标．
8．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，是否存在点Q，使得以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当时，直接写出y的取值范围；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
(4)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，直接写出点M的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作轴的平行线交直线于点，求线段的最大值；
(3)在直线找一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标．
11．如图，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线交于点E，垂足为F，连接
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D横坐标为t，
①用含有t的代数式表示线段的长度；
②是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点E是对称轴上的一个动点．点P在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在第一象限内，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积．
(3)在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，点B的坐标为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
14．已知二次函数的图象与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点C．
(1)求A、B、C的坐标；
(2)设抛物线的顶点为，求四边形的面积；
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数解析式及其对称轴．
(2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标．
(3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标．
(4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．【详解】（1）解：由题意得，
，
；
（2）解：如图，连接，
，
，
，，
由得，，，
，
；
（3）解：令，
解得或，
，
设，
∵，
则，，，
当时，则，
，
，
；
当时，则，
，
解得，
或；
当时，则，
，
解得，
或；
综上，坐标为或或或或．
2．【详解】（1）解：把代入得，
解得，
∴抛物线的解析式；
（2）解：令，解得，
∴，，
∴，
设直线下方的抛物线上有一点动点，
过作轴于，
①为直角三角形，理由如下：
∵的顶点，点M是抛物线的顶点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
②∵在直线下方，
∴，，
∴，
∴
，
∴当时，最大，此时，
∴．
3．【详解】（1）解：令，则或5，令，则，
故点、、的坐标分别为：、、；
（2）解：设点，其中，过点作轴交于，交直线于点，
设直线：，将、代入其中，
，解得：，
，
，
，
，
，抛物线开口向下，其最大值在顶点处取得，
，代入上式得：最大值为，
面积的最大值；；
（3）解：设点，而点、的坐标分别为：、，
则，，，
①当为斜边时，则，解得：；
②当为斜边时，同理可得：；
③当为斜边时，同理可得：或；
综上点的坐标为：或或或．
4．【详解】（1）解：将、入得：
解得：，
∴抛物线解析式为
（2）解：将代入得：，
，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：
，
解得：
即直线的表达式为：，
过点作轴交于点，
设点，则，
则面积，
，
故面积有最大值，
当时，面积的最大值为，此时点P坐标为；
（3）解：存在，
由抛物线的表达式知，其对称轴为，
设点，
由勾股定理得：，
同理可得：，，
由为直角三角形，分三种情况讨论：
当时，
则，
解得：，
即点或；
当时，
则，
解得：，
即点；
当时，
则，
解得：，
即点，
综上，点的坐标为：或或或．
5．【详解】（1）解：将点，代入得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为，
，
∴对称轴为直线，当时，，
∴顶点D坐标为；
（2）存在，；
∵，对称轴为直线，与是关于对称轴对称的对应点，
∴，
∴，
作点B关于y轴对称点，
则，
∴周长
，
当且仅当B、M、D三点共线时取等，
设的解析式为，
∵和，
∴，
解得：，
∴直线表达式为，
令，得，
∴；
（3）设点，
则，，，
由题意可分两种情况：
①，即，
解得：，
∴或；
②，即，
解得：，
∴或；
综上，点E坐标为或或或．
6．【详解】（1）解：令，则，
则；
令，则，
，，
把，坐标代入，
得，
解得，
抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：当时，如图，
∵轴，
∴当时，轴，
即D纵坐标等于B点纵坐标，
当时，代入得：
，
解得，
∴；
当时，
作轴，轴，
∵，
∴，
又∵，
，
又∵，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
整理得
解得，
当时，代入，
∴；
综上所述D的坐标为或 ．
7．【详解】（1）解：将点，代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴交于点，
设直线的解析式为，将A、B两点的坐标代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
当时，的面积有最大值，，
此时；
（3）∵ 抛物线的解析式为，
∴对称轴为，
设点坐标为，
由点，，可得：
，，，
当时，，解得：，，即点，，
当时，，解得：，即点，，
当时，，解得：，即点，
综上所述：点坐标为或或或或．
8．【详解】（1）解：中，代入、得：
，
解得，
∴．
（2）解：∵、，
∴直线解析式为，
设，
∴，
解得或或，
把或或，代入，
得或或，
∴点坐标为 、、；
（3）解：存在，
∵，且以点P、E、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，
当，时，
∴Q横坐标是点横坐标加减2，Q点纵坐标与点纵坐标相同；
当点坐标为时，
Q坐标为：，
当点坐标为时，
Q坐标为： ，
当点坐标为时，
Q坐标为：，
当点坐标为时，
Q坐标为：，
当，时，
当点坐标为时，，
Q坐标为：，
当点坐标为时，
Q坐标为： ，
当点坐标为时，，
Q坐标为：，
当点坐标为时，，
Q坐标为：，
当，时，
当点坐标为时，
Q坐标为：，
当点坐标为时，
Q坐标为：，
当点坐标为时，
Q坐标为：，
当点坐标为时，
Q坐标为：，
∴Q坐标为：，，，．， ，，；，，，．
9．【详解】（1）解：由题意知，将，代入中，
得，解得：，
∴抛物线的解析式为，
将抛物线的一般解析式转化为顶点式为，
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）解：由（1）可知，
则抛物线开口向下，且当时，y取得最大值为4，
当时，，
当时，，
故当时，．
（3）解：存在，
如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，
当时，有，
解得：，，
∴点B的坐标为，
∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为，
将、代入中，
得：，解得：，
∴直线的解析式为，
∵当时，，
∴当周长最小时，点P的坐标为．
（4）解：如图，设点M的坐标为，
由勾股定理得，，
，
，
此时分三种情况考虑：
①当时，有，即，
解得：，
∴点M的坐标为，
②当时，有，即，
解得：，，
∴点M的坐标为或，
③当时，有，即，
解得：，
∴点M的坐标为，
综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或．
10．【详解】（1）解：根据题意，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，当时，，
∴，
点是直线下方的抛物线上一动点，
设，，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为．
过点作轴的平行线交直线于点，
，
，
，
当时，有最大值为．
线段的最大值为．
（3）解：①，
，
，
当点与点重合时，满足为等腰三角形，
；
②当时，过点作于点，如图，
，，
，
点的纵坐标为，
点在直线上，
，
．
；
③当时，过点作于点，如图，
，
，．
，
，
，
；
当时，过点作于点，如图，
，
．
∴，
，
，
，
∴．
综上，在直线找一点，使得为等腰三角形，点坐标为或或或．
11．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，
∴，
∴
解得：，
∴抛物线表达式为；
（2）解：①对于抛物线表达式，
当，
∴，
设直线表达式为：，
则，
解得：，
∴直线：，
∵，
∴，，
∴，
∴；
②存在，
，而
当时，，
解得：或（舍），
，
∴；
当时，
整理得：，
解得：或（舍），
，
∴；
当时，
整理得：，
解得：或（舍）或（舍），
，
∴，
综上：是等腰三角形时，或或．
12．【详解】（1）解：∵抛物线经过，，
∴，解得，
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵点A与关于直线对称，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入可得，解得：，
∴直线的解析式为，
设点P坐标为，
如图，过点P作轴交于点D，则点D的坐标为，
∴，
∴，
对于二次函数，其中，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值，
∵对称轴为，
∴当时，有最大值为，
将代入得：，
即当点P坐标为时，的面积最大，最大面积为．
（3）解：设，，
①当点P在x轴上方时，，
过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，解得，（舍），，（舍），
∴，；
②当点P在x轴下方时，或，
如图，过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K，
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，解得，（舍），（舍），，
∴，，
综上所述，点P的坐标为，，，．
13．【详解】（1）解：将、代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴点A的坐标为；
（3）解：设点P的坐标为，
∵，，
∴，，，
∵是以为直角边的直角三角形，
∴分以下两种情况讨论：
当为斜边时，则，
∴，
解得，
∴；
当为斜边时，则，
∴，
解得，
∴．
综上所述，存在符合条件的P点，，．
14．【详解】（1）解：令，则，
解得或，
∴抛物线与轴交于点，；
当，
∴抛物线与轴交于点；
（2）解：，
故顶点，
过点作轴于点，
∵，
∴；
（3）解：存在，
∵，，
∴，
①时，而，
∴或；
②时，
由等腰三角形的性质可得点关于轴对称，
∴；
③时，设，
解得，
∴，
综上：存在，点P的坐标为，，，．
15．【详解】（1）设抛物线解析式为，
将点C坐标代入解析式得：，
解得，
，
抛物线对称轴为直线．
（2）∵点A与点B关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴当点B，P，C共线时，的值最小．
设直线解析式为，
将点B的坐标代入直线解析式可得：
，
，
，
令，
．
（3）∵，
设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵的顶点坐标为，
∴，
∴，
解得，
∴或；
（4）存在，理由如下：
作垂直于直线l交直线l于点H，则，
设，
则，
，
，
①若，则，
，
解得：，
∴点M的坐标为；
②若，则，
，
解得： ，
∴点M的坐标为，；
③若，则，
，
解得：或6，
设直线解析式为，
将点A坐标代入直线解析式得：，
解得：，
直线解析式为，
令，
当时，点M在直线上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去，
，
点M的坐标为．
综上，符合条件的点M的坐标为：，，， ．
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