2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习十六：二次函数中矩形存在性问题综合训练（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习十六：二次函数中矩形存在性问题综合训练
1．如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点．
(1)求的值；
(2)求点的坐标；
(3)该二次函数图象上有一点，使，求点的坐标；
(4)若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线与轴交于，，顶点为．
(1)抛物线的解析式是___________，顶点D的坐标是___________，对称轴是___________．
(2)为抛物线上一点，当时，求M点坐标．
(3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E，F使得四边形是矩形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由．
3．我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，，，则称函数y1与y2互为“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题：
(1)求二次函数的“回旋”函数的解析式；
(2)若关于x的二次函数的顶点在它的“回旋”函数图象上，且当时，，求a，c的值；
(3)关于x的函数的图象顶点为M，与x轴的交点为A、B，当它的“回旋”函数的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若，是否存在b使得为矩形？
4．综合与探究
已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)如图，作直线，是第一象限内抛物线上一点，且横坐标为，过点分别作轴交于点，作轴交抛物线于点，且点在点的左侧，以线段，为邻边作矩形，当矩形的周长为时，求点的坐标．
(3)当点E满足（2）的条件时，连接，．试探究抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，其顶点A的横坐标为1．点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点，其横坐标为m，点Q的坐标为，连接并延长交该抛物线的对称轴于点M，连接，以、为边作平行四边形．
(1)求该抛物线对应的函数关系式；
(2)当，且轴时，求点Q的坐标；
(3)当点N与点Q的纵坐标之和为0时，求m的值；
(4)当四边形是矩形时，直接写出m的值．
6．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值；
(3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标．
7．如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求证：直线与该抛物线没有交点；
(3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值；
8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称．
(1)求直线和抛物线的表达式；
(2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值；
(3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标．
10．已知，拋物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是拋物线上的任意一点（点不与点重合），设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点位于第二象限时，过点作直线、分别交轴于、两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
(3)过点作轴于点，点为轴上的一点，纵坐标为，以、为邻边构造矩形，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，顶点为，与轴负半轴交于点．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点为抛物线对称轴上的一点，，求点的坐标：
(3)抛物线沿射线平移至第一象限，顶点为，与原抛物线交于点．在原抛物线上是否存在点，使四边形为矩形，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由．
12．已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当是以为底边的等腰三角形时．
（i）求线段的长；
（ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．已知二次函数（m为常数，且）．
(1)当时，求该二次函数的图象的顶点坐标；
(2)直线与该二次函数的图象交于两点，若当时，有，求b的取值范围；
(3)顺次连接， ，，，得到矩形，若该二次函数的图象与矩形有三个公共点，请直接写出m的取值范围．
14．如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，，抛物线的顶点为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是线段上一点，是抛物线上一点，当轴，且时，求点的坐标；
(3)是抛物线上一动点，是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点H，与线段交于点M．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，若，求的面积．
(3)如图2，若是以为底边的等腰三角形时，求线段的长．
(4)已知Q是直线上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【详解】（1）解：将代入二次函数解析式，
得．
解得，．
（2）由（1）可得，二次函数解析式为，
令，得．
解得或．
∴点的坐标为．
（3）在中，令，得，则点的坐标为，
∵，
∴
当当在轴的上方时，点、关于二次函数对称轴对称．
∵由二次函数解析式可得其对称轴为，点的坐标为，
∴点的坐标为．
当在轴的下方时，，
当时，，
解得：，
∴点的坐标为，
综上所述，点的坐标为；
（4）设直线的解析式为：，代入，
则，
解得，
∴直线的解析式为：，
如图，
若为矩形的对角线，
∵，
∴，
∵
∴，，矩形是正方形
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，平分，
∴，，
若为矩形的边，
同理可得，矩形是正方形，
由，，得，，
综上所述，存在，，使能构成矩形．
2．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴顶点D的坐标是，对称轴是直线；
（2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
过点作的垂线交于点，交抛物线于点，
∵，，
∴，，
即点为的中点，
∴，
即，
设直线的函数解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的函数解析式为，
由，解得，，
∴；
（3）解：存在．
∵，
∴，
设，，
如图，
∵，
∴，
整理得，，
∴，
∴，
∴对角线交点的坐标为，
∴，，
∴，，
∴．
3．【详解】（1）解：∵，
∴，，，
∴二次函数的“回旋”函数的解析式为．
（2）解：的“回旋”函数为：，
由知，其顶点坐标为，
将该点代入得，
解得，
则函数的表达式为，
即时，，
当时，
当时，，
解得，则；
当时，
当时，，
解得，则；
综上，，或，．
（3）解：如下图：
设点、、、的横坐标分别为：，，，，，
∴点的坐标为：且，，点的坐标为：
且，，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
设左侧抛物线的对称轴交轴于点，
∵，，
∴．
在中，，
∴，
∵，
∴
同理：，
∴，
即，
解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或，
∴存在使得为矩形．
4．【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，
解得：，
∴点，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，且，则，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
依题意得，
解得（舍去）或，
∴,
∴
（3）解：如图，过点作轴交于点，
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴或，
当时，设直线的解析式为，
，
解得：，
∴的解析式为：
联立
解得：或
∴
当时，同理可得的解析式为
联立
解得：或
∴
综上所述，或
5．【详解】（1）解：如图：
∵顶点A的横坐标为1，
∴，
∴，
∴，
将点代入，，
解得，
∴；
（2）解：∵P点横坐标为m，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
直线的解析式为，
∴，
∵轴，
∴，
解得或（舍）；
∵点Q的坐标为，
∴；
（3）解：∵四边形是平行四边形，
∴Q点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到M点，
∴A点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到，
∵点N与点Q的纵坐标之和为0，
∴，
解得；
（4）解：过点Q作轴，过点M作交于H点，过点A作交于G点，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
6．【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ，
解得 ，
抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）知，
抛物线对称轴为直线，
点和点关于抛物线的对称轴对称，
，
设直线的解析式为，
把，分别代入得 ，
解得 ，
直线的解析式为
记于轴的交点为，
当时，，则，
，
为等腰直角三角形，
，
过作轴交于，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
当时，有最大值，
的最大值为：；
（3）解：如图，当在的右边，
记直线交轴于，，则，
设直线的解析式为，
把、分别代入得 ，
解得 ，
直线的解析式为，
当时，，则，
设，而四边形为矩形，
，
，
解得：，即，
由平移的性质可得：；
如图，当在的左边，
同理可得：，
解得：，即，
由平移的性质可得：；
综上：或．
7．【详解】（1）解：由题意可设抛物线的函数解析式为，
将点代入解析式可得，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）证明：将直线与抛物线联立可得，
整理得；
∴，
直线与抛物线没有交点；
（3）解：由题意得，则
∵四边形是矩形，
∴，
∴点G和点D关于抛物线对称轴对称，
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，
由（1）可得抛物线对称轴为直线，
，
，．
，即与的函数关系式是
当时，的值最大，的最大值是20．
8．【详解】（1）解：∵B、C分别是直线与x轴，y轴的交点，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
∵B、C在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴顶点，
设，
①如图：当时，
则，解得：，
∴；
②如图：当时，
则，解得：，
∴．
所以或．
9．【详解】（1）解：把A、B两点坐标分别代入中，得：，
解得：，
∴；
上式中令，得，即；
∵抛物线的对称轴为直线，C、D关于对称轴对称，
∴;
设直线解析式为，把A、D两点坐标代入得：，
解得：，
∴直线解析式为；
（2）解：如图，设交y轴于点E，
当时，，则，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
过F作轴交于点N，则，
∴为等腰直角三角形，
∴；
设，则，
∴，
由于二次项系数为负，则当时，有最大值，
∴；
即的最大值为；
（3）解：如图，当点P在的右边时，设直线交y轴于点R，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
即；
设直线的解析式，则有，解得，
∴直线的解析式，
上式中令，则，即；
设，
∵四边形为矩形，
∴，
由勾股定理得，
即，
解得：，即；
∵，
∴由平移得；
如图，当点P在的左边时，
同理：由勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
由平移得：；
综上，或．
10．【详解】（1）解∶ 拋物线与轴交于，两点，
解得
故抛物线解析式为．
（2）解：的值为定值，理由如下∶
设，
，，
则根据待定系数法可得直线的表达式为∶，
同理可得直线的表达式为∶，
则， ，
．
（3）解：当时，则，点G在的上方，如下图
令，解得或（不符题意，舍去）．
点G在的下方，如下图，不符题意；
当时，则，点P在的上方，如下图
令，解得或（舍去）．
故；
点P在的下方，如下图
令，解得或（不符题意，舍去）．
综上，或或
11．【详解】（1）解：∵顶点为，
∴设解析式为：，
又∵抛物线经过原点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：设对称轴与x轴交于点D，在轴上方对称轴上取点，使得，联结，
∵顶点为，
∴对称轴为直线，，
∵关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设直线的表达式为，
将点代入得：，
解得：，
∴直线的表达式为，
设，
∴平移后的抛物线表达式为，
与抛物线的联立得：，
解得：，
∴，
过点M作y轴的平行线，过点N、P作平行线的垂线，垂足分别为G、H，
∴.，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∵矩形，，
∴，
∴，，
∴，
将代入原抛物线解析式得：，
∴点Q在原抛物线上，
∴．
12．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
，
，
，
抛物线的解析式为．
（2）解：（i）设直线的解析式为，将点代入，得，
直线的解析式为，
设，则，
，
由题意知，
如图，过点作，则，
，
在中，由勾股定理得，
解得（舍去），，
；
（ii）由（i）可知，，
设直线的解析式为，
将代入得，
，
设，
若以为顶点的四边形是矩形，如图所示，
∴四边形为矩形，
，
点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，
将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，
，
，
，
，
，
，
，
，
则四边形为矩形，满足题意，
点的坐标为．
13．【详解】（1）解：当时，，
∴顶点坐标为；
（2）解：联立方程组，
整理，得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：
，
∴抛物线的顶点坐标为，
当时，，
∴抛物线过定点，
当时，，
∴，
∴，
当，即时，，
此时抛物线的顶点在x轴上，
如图1，
该抛物线与矩形有2个公共点，
当时，如图2，
该抛物线与矩形有2个公共点，
当时，如图3，
该抛物线与矩形恰好有3个公共点，
当时，当顶点在时，，解得，如图4，
该抛物线与矩形恰好有3个公共点，
抛物线经过时，
解得，如图5，
该抛物线与矩形恰好有3个公共点，
综上，该抛物线与矩形恰好有3个公共点时，m的取值范围或或．
14．【详解】（1）解：抛物线过原点，
，
将代入抛物线中，得，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设，
是抛物线上一点，轴，
，
，
，
，
解得：，（舍去），，，
点的坐标为或或；
（3）存在，满足条件的点的坐标有4个．
①如图，若是四边形的边，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
拋物线的对称轴与直线相交于点，，
联立，
解得：或，
，
过点，分别作直线的垂线交抛物线于点，，
，，，
，，．
，
．
．
点与点重合．
当，时，四边形是矩形．
向右平移个单位，向上平移个单位得到．
向右平移个单位，向上平移个单位得到，
此时直线的解析式为．
直线与平行且过点，
直线的解析式为．
点是直线与拋物线的交点，
，
解得：，（舍去）．
．
当，时，四边形是矩形，
向左平移个单位，向上平移个单位得到．
向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．
②如图，若是四边形的对角线，
当时．过点作轴，垂足为，过点作，垂足为．
可得，．
．
．
设，
．
点不与点，重合，
和．
．
，．
如图，满足条件的点有两个．即，．
当，时，四边形是矩形．
向左平移个单位，向下平移个单位得到．
向左平移个单位，向下平移个单位得到．
当，时，四边形是矩形．
向右平移个单位，向上平移个单位得到．
向右平移个单位，向上平移个单位得到．
综上，满足条件的点的坐标为或或或．
15．【详解】（1）解：∵对称轴为直线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∴轴．
∵，
∴．
将代入中，
得，
解得，，
∴，．
∴；
（3）解：设直线的表达式为，将点B代入，得，
∴直线的表达式为．
设，则，
∴．
由题意知．
如图，过点C作，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
解得（舍去），，
∴；
（4）解：存在，．
理由如下：由（3）可知，，．
设直线的解析式为，将代入得，
∴．
设，，
若以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形，只能是四边形为矩形，
∴，，．
∵点C先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点M，
∴将点K先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点Q，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
则四边形为矩形，满足题意，
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)