2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习二十二：二次函数中相似三角形存在性问题（含答案）

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2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习二十二：二次函数中相似三角形存在性问题
1．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点，．
(1)求点的坐标和抛物线的解析式；
(2)为轴上一个动点，过点垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点、，点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
2．如图，二次函数的图像交轴于点、，点A坐标为与轴交于点，以、为边作矩形，点为线段上的动点，过点作轴的垂线分别交、和二次函数的图像于点、、，连结．
(1)写出点B的坐标___________；
(2)求线段长度的最大值；
(3)试问：在上方的二次函数的图像部分是否存在这样的点，使得以、、为顶点的三角形和相似？若存在，求此时点的横坐标，并判断的形状；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线的顶点坐标为，且抛物线与y轴交于点，点B的坐标为，C（不与点A重合）为抛物线上一动点，以点C为圆心，的长为半径的圆交x轴于点M，N（点M在点N的左侧）．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当点C在抛物线上运动时，弦的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出弦的长．
(3)当与相似时，直接写出点M的坐标．
4．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点，点分别是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，当点在直线下方时，求面积的最大值；
(3)如图，直线与线段相交于点，当与相似时，符合条件的点有_____个位置，直接写出此时点的坐标．
5．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为的中点，直线交抛物线于点，且点坐标为，点坐标为．
(1)求这条抛物线对应的函数关系式；
(2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由；
(3)连接交直线于点，在直线上，是否存在这样的点不与点重合，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
(1)求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标；
(2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标；
(3)连接，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
7．如图，抛物线分别与轴和轴交于点和点，且．
(1)将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到抛物线，求，的值；
(2)连接，点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，交该抛物线于点．当以，，为顶点的三角形与相似时，求所有满足条件的点的坐标．
8．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点，是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在直线下方时，求面积的最大值．
(3)直线与线段相交于点，当与相似时，直接写出点的横坐标___________．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是抛物线上对称轴右侧的点．
①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标；
②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标．
10．抛物线过点，顶点为，与轴交于、两点（在点左侧），且．
(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标；
(2)若点在抛物线上且，求点的坐标；
(3)若点在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点坐标．
11．如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接、．求的面积最大值及此时点的坐标；
(3)点为轴上一动点．
①若的垂直平分线交于点，交抛物线于、两点，且点在第三象限，当线段时，求点的坐标；
②若点是直线上一点，当与相似时，请直接写出点的坐标．
12．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，是坐标原点，已知点的坐标是，．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标．
13．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且其顶点为点，连接，，．
①求证：；
②若点是轴上一点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
14．如图，抛物线（）与轴交于点．和点，与轴交于点，点是第二象限内抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设对称轴交线段于点，点在对称轴上，且在点的下方，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标．若不存在，请说明理由．
15．如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
(1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标；
(2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标；
(3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
1．【详解】（1）解：∵与轴交于点，与轴交于点，
∴，
解得，
∴；
∵抛物线经过点，，
∴，解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：由（1）可知直线解析式为，
∵为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，，
∴，，
∴，， ，
∵相似，且，
∴或，
当时，则有，
∴点的纵坐标为，
∴，
解得（舍去）或，
∴；
当时，过点作轴于点，
则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
∴．
综上可知当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或．
2．【详解】（1）解：将A点坐标代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当时,，
解得或，
即B点坐标为，
故答案为：；
（2）解：设直线的解析式为，
∵点A坐标为，点C坐标为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
∵点M在直线上，
∴，
∵点P在二次函数的图象上，
∴，
∴()，
∴当时，取最大值3；
（3）解：存在，理由：
∵，
∴，
∴当以、、为顶点的三角形和相似时，以、、为顶点的三角形和相似，
∵点P在二次函数的图象上，点F在矩形边上，
设，则，
∴，，
①若，
则，
∵，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
此时，，
∴，
∴是直角三角形；
②若，
则，
∴，
∴，
解得（舍去）或，
此时，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
3．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设此抛物线的解析式为．
∵抛物线与y轴的交点的坐标为，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：弦的长度不变．
设抛物线上动点C的坐标为，则有，
∴点C的坐标为．
如图，过点C作，连接，则，且点H的横坐标为t．
在中，，
∴，
∴（负值不合题意，舍去），
∴．
（3）解：当与相似时，由点M，N在x轴上，，
可设点，则点．
∵和均为直角三角形，
∴，即．
由于，，，
∴，即．
当时，展开得，解得；
当时，展开得，解得（不符合题意，舍去）．
综上所述，当与相似时，点M的坐标为或．
4．【详解】（1）解：将点，点，点代入得
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，设与轴相交于点，直线与抛物线相交于点，
设，直线的解析式为，
∴，解得：
∴直线的解析式为，当时，，
∴它与轴的交点坐标为，
∴，
∴
，
∵点在直线下方，
∴，
∴当时，面积的最大值为；
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴当时，，
∴，
同理得：直线的解析式为，直线的解析式为，
如图，当时，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得：，，
联立，解得：，
∴，，；
如图，当时，作轴于，
由，，得，，，
∵
∴，
∴，
∴，
设，
∴，解得：或（舍去），
∴，
同理可得：直线的解析式为，
联立，解得，，
∴，
故答案为：，
综上可得：符合条件的点有个位置，此时点的坐标为或．
5．【详解】（1）解：∵点，，在抛物线上，
则，
解得，
∴这条抛物线对应的函数关系式为；
（2）解：，理由如下，
令，则，
解得或
∴点坐标为，
∵为的中点，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，即；
（3）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即点符合条件，点与点重合，
∴点的坐标为．
6．【详解】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于点B，点C，
∴令得：，令得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线顶点．
（2）解：如图：过E作轴交于H，
设，则，
∴，
，
，
∴当时，取最大值，
此时，
∴．
（3）解：存在以B，P，N为顶点的三角形与相似，理由如下：
如图：过P作轴于Q，
在中，令得，解得：或，
∴，
∵，，
∴，，， ， ，
∴，
以B，P，N为顶点的三角形与相似时，N在B左侧，只需满足
或，
当时，，
解得：，即；
当时，
解得：，即．
综上，点N的坐标为或．
7．【详解】（1）解：由题意可知．
抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，
得到新的抛物线为．
，．
（2）解：将代入，得．
．
．
，，
是直角三角形．
设，
①当时，，
．
．
解得（舍去）或，
．
②如图，连接，当时，过点作轴于点．
，，
．
．
，即，
．
．
，
解得（舍去）或．
．
综上所述，点的坐标为或．
8．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点，
∴设抛物线解析式为，
把代入得，，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设直线与轴交于点，如图，
设，直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，的最大值为；
（3）解：由（）得抛物线解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当与相似时，分两种情况，
当时，即，如图，
∴，
由题意可得，，，
∴，
∴，
由，，同理可得直线解析式为，
设，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，
解得：或；
∴点的横坐标为或；
当时，即，如图，
∴，
由，，同理可得直线解析式为，
∴直线解析式为，
联立，
解得：或；
∴点的横坐标为或；
综上可得：点的横坐标为或或或，
故答案为：或或或．
9．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：①令，解得，，
∴，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴，
过P作轴，交于Q，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得（不符合题意舍去），，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵点在对称轴上，且与相似，
∴当时，
或，
设，
则或，
解方程，得，，
∴，
∴，
解，得，，
∴，
∴，
当时，
过P作于H，
则，
又，
∴，
又与相似，
∴与相似，，
∴或，
同理可求或，
综上：或．
10．【详解】（1）解：∵抛物线过点，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴点的坐标为，
在线段上取点，使，此时，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
则，
∴，
∵，
∴，
当点在轴上方时，设交轴于点，
∴，
解得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
整理得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标；
当点在轴下方时，设交轴于点，
∴，解得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
整理得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标；
综上，点的坐标或；
（3）解：∵，
∴，
如图，作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和，
∴是等腰直角三角形，且，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
整理得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标．
11．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴是直线，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：对于，当时，，
解得，，
∵点在点左侧，
∴，
设直线的解析式为，
将、代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为．
如图，连接、，过点作轴交直线于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∴．
∵，
∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为；
（3）①过作轴于，如图：
在中令得，令得，，
∴，，，且对称轴，
∴，直线解析式为，
∵，
∴，
∵轴，由对称性可得，对称轴，
∴，即横坐标为，
∴，
∵垂直平分，
∴
∴
②∵，，，
∴，
当与相似时，是直角三角形，且两直角边比为，分三种情况：
为直角顶点，如图3：
∵，
∴若时，则可得，同理，
若，则，可得，同理，
为直角顶点，如图：
，
若，则，，同理可得，
若，则，，同理可得，
为直角顶点，过、作直线的垂线，垂足分别是、，如图：
∵，，
∴，
∴，
∴，且，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，
综上所述，当与相似时，的坐标为：或或或或或
12．【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，
令，得，
∴点的坐标为．
∴．
∵，
∴，
即点A的坐标为．
∵点，
∴，
解得．
∴抛物线的函数表达式是，即．
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）解：如图1，过点作轴于点，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴．
∴．
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴．
设直线的解析式为，把代入得：，解得，
∴直线的解析式为．
设点的坐标为，
∵轴，
∴．
把代入得：，解得，
∴．
∴
．
∴当时，有最大值，且最大值为．
∴的最大值为，此时点P的坐标为．
（3）解：如图2，
设点的坐标为，
∵，，
∴为的锐角三角形．
也是锐角三角形．
∴点在点的上方．
∴．
∴．
∵，，，
①当时，
∴，即，解得，
即点．
②当时，
∴，即，解得，
即点．
综上所述，符合条件的点的坐标为或．
13．【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和，
，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）当时，，解得或，
点在点的左侧，
点的坐标为，点的坐标为，
当时，，
点的坐标为；
，
顶点的坐标为，
①由两点间距离得，，
，
，，
，
是直角三角形，
；
②当点在轴正半轴上时，设点坐标为，
以点，，为顶点的三角形与相似，
或，
或，
或，
解得或，此时点的坐标为或；
当点在轴负半轴上时，同理可得点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
14．【详解】（1）解：将点和点代入可得：
，解得：，
故抛物线的表达式为．
解：存在；
∵抛物线的表达式为，
∴当时，，即
∵，
∴，即为等腰直角三角形，
∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，
∴为等腰直角三角形，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的表达式为，
∵抛物线解析式为，
∴该抛物线的对称轴为：直线，
当时，，即点，
∵，
故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意；
当为直角时，则，
当时，解得：或（舍去），
∴点．
15．【详解】（1）解：直线，令，得，令，得，
所以，，代入得，
，解得：，∴，
∴，
∴顶点P的坐标为：；
（2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，
设点，则点，
∴，
∴
，
∴当时，的面积有最大值，
此时，点E的坐标为；
（3）解：存在，理由如下，
连接，设，
当时，，
解得，，
∴，
∵，，，
∴，且非等腰三角形，
若为顶点的三角形与相似，
，则点在点的左侧，
，
①当时，，
∴，
解得，所以点N的坐标为，
②当时，，
∴，
解得，所以点N的坐标为，
综上所述，点N的坐标为或．
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