7.1不等式及其基本性质 课后培优同步训练（含答案）沪科版2025—2026学年七年级数学下册

7.1不等式及其基本性质课后培优同步训练沪科版2025—2026学年七年级数学下册
一、选择题
1．下列式子的变形错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．设可分别表示三种不同物体．现用天平称两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）
A． B． C． D．
3．若，，则下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则化简代数式的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数m，n满足，，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，．若，则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若，则________．（填“＞”“＜”或“=”）
10．已知关于的不等式，两边同时除以，得，则的取值范围为__________．
11．已知，，化简____ ．
12．若的解集为，则的取值范围是________．
三、解答题
13．一直关于的不等式两边都除以，得．
（1）求的取值范围；
（2）试化简．
14．利用不等式的性质，把下列各式化成或或或的形式：
（1）
（2）
（3）
（4）
15．【阅读材料】：
“已知均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法：
∵，
∴，
∵，是非负数，
∴即，
∴，
∵，
∴，
∴．
【回答问题】：已知，，．
(1)试确定的取值范围；
(2)求出的取值范围．
16．阅读下面解题过程，再回答问题．
已知，试比较与的大小．
解：∵，①
∴，②
∴．③
(1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误；
(2)错误的原因是什么？
(3)请写出正确的解题过程．
17．如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒．
(1)的长为 个单位长度，x的值为 ；
(2)当时，求点M表示的数；
(3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长；
(4)当机器人M，N和点C中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出t的值．
18．代数推理：在解一元一次方程时，我们根据等式的基本性质对方程进行变形．在研究不等式时，我们也需要利用不等式的基本性质进行变形．
【阅读理解】已知“，且，试求的取值范围”．有如下解法：
解：．
．
，
即．
(1)【启发应用】已知，且．
①用含的式子表示，则______；
②求的取值范围．
(2)【思维拓展】已知是整数，，且，，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【详解】解：A、，两边同时加得，变形正确．
B、等式中，分母不为，两边同乘得，变形正确．
C、∵，
∴，
∵，
∴，变形正确．
D、当时，，此时
∴不能推出，变形错误．
C
【详解】
解：设为a，为b，为c，
则由第一个图可知，
，
，
由第二个图可知，
，
，
这三种物体按质量从大到小排列应为．
故选：C．
3．D
【详解】解：∵，
∴．
由题意得，
将代入不等式得，，
解得，选项A正确；
∵，，
∴，
∴，即，选项B正确；
∵，
又∵，
∴，
∴，即，选项C正确；
∵，
又∵，
∴，
∴，即，选项D错误．
4．C
【详解】A、由m＜n，根据不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立．两边减去9，得到：m-9＜n-9；成立；
B、两边同时乘以不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须把不等号的方向改变，所得到的不等式成立．两边同时乘以-1得到-m＞-n；成立；
C、m＜n＜0，若设m=-2，n=-1验证不成立．
D、由m＜n，根据两边同时乘以不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须把不等号的方向改变，所得到的不等式成立．两边同时除以负数n得到，成立；
故选：C．
5．A
【详解】解：∵﹣1≤x≤2，
∴x﹣3＜0，x+1≥0，
∴=（3﹣x）﹣2（x+1）＝﹣3x+1；
故选：A．
6．D
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，选项A错误，不符合题意；
同理：，即，
∴，选项B错误，不符合题意；
∴，，，
∴，，选项C错误，不符合题意；选项D正确，符合题意；
故选：D．
7．B
【详解】解：∵，，，
∴
A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D.∵
，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
8．B
【详解】解：
，
，
故选：B．
二、填空题
9．
【详解】解：由，两边同时乘，得，
故答案为：．
10．
【详解】解：已知不等式，两边同时除以后不等号方向改变，得：．
根据不等式的性质，这说明除数
解这个不等式：：
．
故答案为：．
11．
【详解】解：∵，
∴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴，
∵，，
∴，得 ，
∴，
∴ ，
∴原式 ．
故答案为：．
12．
【详解】解：已知的解集为．
根据不等式的基本性质：当不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向改变．
由此可得，系数，
解得：．
故答案为：．
三、解答题
13．【详解】（1）∵ 关于的不等式两边都除以得,
∴ ,
∴ ；
由（1）得,
∴，,
∴.
14．【详解】（1） ，
根据不等式性质1，不等式两边减去12，不等号的方向不变，所以，
根据不等式性质3，不等式两边同时除以-1，不等号的方向改，所以，
．
（2），
根据不等式性质1，不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，所以，
，
，
根据不等式性质3，不等式两边同时乘以，不等号的方向改，所以，
．
（3） ，
根据不等式性质1，不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，所以，
，
，
根据不等式性质3，不等式两边同时乘以，不等号的方向改，所以，
．
（4），
根据不等式性质2不等式两边同时乘以，不等号的方向改，所以，
，
根据不等式性质1，不等式的两边同时减去，不等号的方向不变，所以，
，
，
根据不等式性质2不等式两边同时乘以，不等号的方向改，所以，
．
15．【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
由（）得，
∴，
即，
∴，
∴的取值范围是．
16．【详解】（1）解：根据题意即可得出从第②步开始出现错误，
故选：②；
（2）解：错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
（3）解：∵，
∴，
∴．
17．【详解】（1）解：∵数轴上点A，B表示的数分别为，，
∴，
∵ 是的中点，
∴，
∴表示的数分别为，即的值为，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴点只能在点的右边，位置如图所示：
∴，即，整理得，解得，
∴点表示的数为；
（3）解：由（）可知，从运动到需秒，
∴，，
∴，
当追上时，
，
解得，
当追上之前，
∵，
∴
解得，
∴，
当追上之后，
，
∵，
∴
解得，
∴，
综上可知，，
（秒）
∴机器人变成彩色的总时长为秒；
（4）解：当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，设机器人的运动时间为秒，则机器人的运动时间为秒，
当时，即点到点和点到点距离相等时，
当机器人到达点，此时点与点重合，即，
当机器人过点时，即，
解得或，
当时，即点到点和点到点距离相等时，
当机器人到达点时，即，
当机器人超过机器人时，，
解得或（舍去），
当时，即点到点和点到点距离相等时，
当机器人未到达点时，即，
当机器人与机器人相遇时，即，
解得或，
综上可知，的值为或或或或．
18．【详解】解：（1）①
②：，
，
，
，
，
，
，
，即．
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是整数，
为整数，
．