参考答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. C
2. A
3. A
4. A.
5. B
6. D
7. A
8. A
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. AB
10. ACD
11. ABD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
13. 72.
14.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
15. （1）依题意，圆的方程可化为，所以，解得，所以实数的取值范围是；
（2）由（1）知，圆心，半径为，所以圆心到直线的距离为；
所以，解得.
16. （1）零假设为：顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别无关.
经计算得，
依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，
即顾客对该款坚果礼盒的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）由题意，从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人，
结合列联表可得，对该款坚果礼盒满意的顾客共120人，其中男性有40人，女性有80人，
抽取2人至少有1名女性的概率为.
17. （1）设与相交于点，连接，为菱形，，
连接，四边形为菱形且，为等边三角形，
又为中点， ，
又平面，平面，，
平面.
（2）由（1）可知 ，又为中点，，，
又平面，平面，，平面，
两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，四边形为菱形且，，
为等边三角形，，
则
，
设平面的法向量为，
则，令，则，得，
由图可知平面的法向量为，
，
故平面与平面所成二面角的余弦值为.
18. （1）证明
在数列中，，当时，，
两式相减得，即，则，
而，则，，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，即，
所以的通项公式为.
（2）由（1）知，
，
所以
.
（3）假设存在正整数，使得，
由，得，则，又，
于是，则，
因此，
即，得，
所以存在正整数，使得成立.
19. （1）抛物线,抛物线的焦点坐标为，
当直线的斜率为1时，直线的方程为，
联立，得：，
由，解得：，
抛物线的方程为．
（2）①证明：由题意，可设直线的方程为，
联立，得，
所以，，
设，，则直线方程为：，
如图所示，
联立，得：，，
同理： ，.
当直线的斜率存在时，，
直线的方程为：，
化简，得，即
令，则，直线过定点．
当直线的斜率不存在时，易知，
代入，得：，
直线的方程为：，直线过定点．
综上，直线过定点．
②由①知，
，
，
当且仅当时等号成立，
与面积和的最小值为40．辽西重点高中2025~2026学年度下学期高二开学联考
数学试题
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. “曲线表示椭圆”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. 1 B. C. 5 D.
4. 设是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（ ）
A. 第二天去甲影院的概率为0.54
B. 第二天去乙影院的概率为0.46
C. 已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为
D. 已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为
7. 在正三棱柱中，，P是线段上的一动点，则点P到直线的距离的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆左焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与E交于M，N两点，若，则E的离心率为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的有（ ）
A. 设，，是三个空间向量，则
B. 方程表示曲线，为实数，曲线不可能表示圆
C. 直线的斜截式方程可以表示平面内的所有直线
D. 点关于直线的对称点为
10. 已知为坐标原点，点在直线上，是圆的两条切线，为切点，则（ ）
A. 直线恒过定点
B. 若圆上恰有三个点到的距离为，则
C. 若为等边三角形，则
D. 若，则的取值范围是
11. 设随机事件A，B满足，，，则（ ）
A. B. ，相互独立 C. D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是_____．
13. 大润发超市的店员准备把待打折处理的两袋不同的蔬菜和两袋不同的水果摆上如图所示的货架，要求同类商品不摆在同一行也不摆在同一列，则共有______种不同的摆放方法.（用数字作答）
A B C
D E F
14. 在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
15. 已知圆的方程为.
（1）求实数的取值范围；
（2）若圆与直线交于两点，且，求的值.
16. 某商场为了解顾客对某款坚果礼盒的满意程度，随机调研了200名购买过该款坚果礼盒的顾客，得到如下列联表.
性别 满意 不满意 合计
男性 40 40 80
女性 80 40 120
合计 120 80 200
（1）根据小概率值的独立性检验，分析顾客对该款坚果礼盒的满意度是否与性别有关联；
（2）从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人，求这2人至少有1名女性的概率
附：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
17. 如图所示，四边形与均为菱形，，且.
（1）求证：平面；
（2）求面与面所成二面角余弦值.
18. 已知数列的前项和为，且
（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求的前项和；
（3）是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有满足条件正整数；若不存在，请说明理由.
19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当直线的斜率为时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，直线，分别交抛物线于，两点．
①求证：直线过定点；
②求与面积和最小值．
